- •1.Классификации сред по отношению к электромагнитному полю
- •2.Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах
- •3.Уравнение баланса мгновенных значений мощности
- •4 Волновые уравнения Общий случай
- •Монохроматическое поле
- •Комплексный вектор Пойнтинга (вывод уравнения, объяснить слагаемые).
- •Векторный и скалярный электродинамические потенциалы (определение, назначение). Электродинамические потенциалы Общий случай
- •7.Уравнение баланса мгновенных значений мощности (см. Вопрос №3)
- •8. Классификация задач электродинамики. Единственность решения внутренних задач электродинамики классификация задач электродинамики
- •Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики Вводные Замечания
- •. Единственность решения внутренних задач электродинамики
- •2.2.3. Единственность решения внешних задач электродинамики
- •9 Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности.
- •10. Излучение электромагнитных волн (теоретическое объяснение, простейшие системы, излучающие электромагнитные волны).
- •11.Элементарный электрический вибратор
- •5.3. Анализ структуры электромагнитного поля элементарного электрического вибратора
- •5.3.1. Деление пространства вокруг вибратора на зоны
- •12. Деление пространства вокруг ээв на зоны. Напряженность электрического и магнитного полей ээв в ближней зоне.
- •5.3.3. Ближняя зона
- •13.Напряженность электрического и магнитного полей ээв в дальней зоне. Структура электромагнитного поля ээв в дальней зоне. Волновое сопротивление среды.
- •Вопрос 14. Диаграммы направленности (дн). Пространственная, мери-дианальная, экваториальная дн. Нормированная дн. Дн ээв
- •15. Комплексный вектор Пойнтинга, электромагнитная энергия, мощность излучения поля ээв. Сопротивление излучения. -Комплексный вектор Пойнтинга
- •-Мощность излучения элементарного электрического вибратора
- •-Сопротивление излучения
- •-Система координат, связанная с ээв
- •18. Элементарная рамка с током (эр). Поле эр в дальней зоне. Мощность излучения, дн эр. Действующая высота эр.
- •19 Элемент Гюйгенса (эг). Система координат, связанная с эг. Электрическое и магнитное поле эг в плоскости yoz. Дн эг в плоскости yoz.
- •20 Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности.
- •6.1.4. Волны в проводниках
- •6.1.5. Затухание волн
- •6.1.6. Глубина проникновения
- •23. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред (преломление, отражение волн, законы Снеллиуса, коэффициенты отражения и прохождения световой волны).
- •24 Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина (вывод и запись условия).
- •25 . Явление поверхностного эффекта
- •26. Направляющие системы ,виды направляющих систем. Виды э-м волн в направляющах системах.
- •28. Прямоугольный волновод (форма, геометрические параметры волновода, критическая длина волны, индексы m и n, пример рисунка структуры поля в волноводе).
- •29.Основная волна прямоугольного волновода
- •30.Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи
- •31. Круглый волновод Вывод формул для поля
- •10.2.2. Токи на стенках круглого волновода
- •10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу
- •32. Общие свойства объемных резонаторов
- •11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах
- •11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний
- •11.1.4. Добротность объемных резонаторов
- •11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов
- •11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем
- •Коаксиальный резонатор
- •Прямоугольный резонатор
- •11.2.5. Цилиндрический резонатор
- •33 Проходной резанатор
2.2.3. Единственность решения внешних задач электродинамики
В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не охватывает рассматриваемую часть пространства, простирающуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения кроме одного из условий (2.1)-(2.4) требуется задать дополнительное условие, характеризующее поведение векторов Е и Н в точках, бесконечно удаленных от поверхности S. Выясним, каким должно быть это дополнительное условие.
Пусть на S выполняется одно из условий (2.1)-(2.4). Предположим, что имеется два решения задачи E1, H1 и Е2, Н2, и введем в рассмотрение разностное поле Е3, Н3 по формулам (2.6). Как и в случае внутренней задачи электродинамики, векторы
Ё3 и Н3 удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.9) и одному из условий (2.10)—(2.13) на поверхности S. Из произвольной точки 0 внутри области V мысленно проведем сферу радиуса г так, чтобы вся область V и все сторонние источники оказались внутри этой сферы. Объем, заключенный между поверхностями S и S', обозначим через V (рис.2.1). Составим уравнение баланса для средних за период значений мощности поля Ё3,Н3 в объеме V:
Перейдем в уравнении (2.18) к пределу при r→ ∞. Тогда область V распространится на все пространство, внешнее по отношению к области V. Если в пределе третье слагаемое в левой части уравнения (2.18) окажется равным нулю, то получающееся при этом соотношение
не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравнения (2.14) для внутренней задачи электродинамики, и, следовательно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное решение. Действительно, при выполнении условий (2.1)-(2.3), второе слагаемое в левой части (2.19) обращается в нуль, и это уравнение принимает вид
В частном случае, когда потери в среде обусловлены только наличием проводимости, т.е. когда уравнение (2.20) записывается в форме
Так как а то из (2.21) получаем Ё3 =0, а из второго
уравнения Максвелла - Н3 = 0. Следовательно, Ё2 = Ё1 и Н2 = Н1.
Если на поверхности S выполняется условие (2.4), то из уравнений (2.19) и (2.13) имеем
откуда также следует единственность решения.
В более общем случае, когда единственность решения доказывается также на основе формулы (2.20) для краевых условий (2.1)-(2.3) и на основе уравнения (2.19) в случае краевого условия (2.4). При этом должно быть использовано соотношение (1.156).
Найдем условие, при котором
и, следовательно, проведенное выше доказательство справедливо. При r→ ∞ поверхность S' возрастает пропорционально r2. Поэтому для выполнения условия (2.22) необходимо, чтобы абсолютная величина произведения [Ё3,Нз] при r→ ∞ убывала быстрее r-2. Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы Е и Н убывали быстрее, чем 1/r.
Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на поверхности S, ограничивающей объем V, выполняется одно из условий (2.1)-(2.4) и, кроме того, при r→ ∞ векторы Е и Н убывают быстрее, чем 1/r. Последнее всегда имеет место, так как в любых реальных средах имеются потери энергии.
Отметим, что теорему единственности для внешней задачи электродинамики можно доказать и в случае среды без потерь, если вместо условия убывания векторов Е и Н при r→ ∞ быстрее 1/г потребовать выполнения следующих условий:
Предельные соотношения (2.23) называются условиями излучения. Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически эти условия эквивалентны требованию, чтобы при r→ ∞ поле имело характер поперечных волн, распространяющихся вдоль направления r0 (предполагается, что источники поля находятся на конечном расстоянии от поверхности S). Использованный здесь термин "поперечная волна" определен в гл.5.
Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет особенности типа изломов, острых кромок и др., для единственности решения краевой задачи электродинамики перечисленных условий недостаточно. Необходимо выполнение дополнительных условий, определяющих поведение составляющих векторов Е и Н вблизи этих особенностей.
К таким условиям относятся, в частности, "условия на ребре", сформулированные Мейкснером для случая идеально проводящих тел. Рассмотрим эти условия. Пусть контур Со представляет собой ребро (острую кромку) идеально проводящей поверхности S. Введем систему координат (рис. 2.2), связанную с контуром Со, где s - длина дуги, отсчитываемая вдоль контура Со от некоторой точки О Є Со, а - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной Со. Условия на ребре записываются в виде
Соотношения (2.24) должны выполняться равномерно по
Условия на ребре (2.24) обеспечивают существование интеграла
где Vr - объем кольцевой области радиуса r, охватывающей контур Со. Существование этого интеграла эквивалентно выполнению требования ограниченности энергии электромагнитного поля в любом конечном объеме, охватывающем контур Со (рис.2.3). Анализируя соотношения (2.24) совместно с уравнениями Максвелла,
можно показать, что касательные к ребру (контуру Со) составляющие должны быть ограниченными, а нормальные к ребру составляющие могут иметь
особенности вида г-x, где 0<х < 1. Для определения параметра и нужно знать внутренний угол так называемого эквивалентного клина, который строится следующим образом. Через произвольную точку М на рассматриваемом ребре Со проводится касательная l к Со и две полуплоскости, касательные к S в точке М, так, чтобы их ребра совпали с l Клин, образованный этими полуплоскостями, и называют эквивалентным клином (на рис. 2.4 показано сечение поверхности S плоскостью, перпендикулярной ребру эквивалентного клина в точке М; касательная l перпендикулярна плоскости рисунка, а ее след совпадает с точкой М). Пусть внутренний угол эквивалентного клина равен Ω. (предполагается, что Ω< π). Анализируя структуры полей вблизи ребра идеально проводящего клина, найденные на основе
решения соответствующих краевых задач, получили, что x = (π - Ω)/(2π - Ω). В частном случае, когда поверхность S имеет острую кромку (например, на краю бесконечно тонкого экрана), Ω = 0 и х = 1/2. На таком ребре составляющие имеют
особенность вида const , а составляющие обращаются в нуль как
Из приведенного выше доказательства единственности решения краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии потерь энергии в области V решение внутренней задачи может быть неединственным. Физически это означает, что в такой системе помимо полей, созданных непрерывно действующими сторонними источниками, могут существовать незатухающие поля, созданные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно долго (например, собственные колебания идеального объемного резонатора).