- •1.Классификации сред по отношению к электромагнитному полю
- •2.Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах
- •3.Уравнение баланса мгновенных значений мощности
- •4 Волновые уравнения Общий случай
- •Монохроматическое поле
- •Комплексный вектор Пойнтинга (вывод уравнения, объяснить слагаемые).
- •Векторный и скалярный электродинамические потенциалы (определение, назначение). Электродинамические потенциалы Общий случай
- •7.Уравнение баланса мгновенных значений мощности (см. Вопрос №3)
- •8. Классификация задач электродинамики. Единственность решения внутренних задач электродинамики классификация задач электродинамики
- •Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики Вводные Замечания
- •. Единственность решения внутренних задач электродинамики
- •2.2.3. Единственность решения внешних задач электродинамики
- •9 Магнитные токи. Магнитные заряды (определение, назначение). Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов. Принцип перестановочной двойственности.
- •10. Излучение электромагнитных волн (теоретическое объяснение, простейшие системы, излучающие электромагнитные волны).
- •11.Элементарный электрический вибратор
- •5.3. Анализ структуры электромагнитного поля элементарного электрического вибратора
- •5.3.1. Деление пространства вокруг вибратора на зоны
- •12. Деление пространства вокруг ээв на зоны. Напряженность электрического и магнитного полей ээв в ближней зоне.
- •5.3.3. Ближняя зона
- •13.Напряженность электрического и магнитного полей ээв в дальней зоне. Структура электромагнитного поля ээв в дальней зоне. Волновое сопротивление среды.
- •Вопрос 14. Диаграммы направленности (дн). Пространственная, мери-дианальная, экваториальная дн. Нормированная дн. Дн ээв
- •15. Комплексный вектор Пойнтинга, электромагнитная энергия, мощность излучения поля ээв. Сопротивление излучения. -Комплексный вектор Пойнтинга
- •-Мощность излучения элементарного электрического вибратора
- •-Сопротивление излучения
- •-Система координат, связанная с ээв
- •18. Элементарная рамка с током (эр). Поле эр в дальней зоне. Мощность излучения, дн эр. Действующая высота эр.
- •19 Элемент Гюйгенса (эг). Система координат, связанная с эг. Электрическое и магнитное поле эг в плоскости yoz. Дн эг в плоскости yoz.
- •20 Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности.
- •6.1.4. Волны в проводниках
- •6.1.5. Затухание волн
- •6.1.6. Глубина проникновения
- •23. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред (преломление, отражение волн, законы Снеллиуса, коэффициенты отражения и прохождения световой волны).
- •24 Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина (вывод и запись условия).
- •25 . Явление поверхностного эффекта
- •26. Направляющие системы ,виды направляющих систем. Виды э-м волн в направляющах системах.
- •28. Прямоугольный волновод (форма, геометрические параметры волновода, критическая длина волны, индексы m и n, пример рисунка структуры поля в волноводе).
- •29.Основная волна прямоугольного волновода
- •30.Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи
- •31. Круглый волновод Вывод формул для поля
- •10.2.2. Токи на стенках круглого волновода
- •10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу
- •32. Общие свойства объемных резонаторов
- •11.1.2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах
- •11.1.3. Резонансные частоты свободных колебаний
- •11.1.4. Добротность объемных резонаторов
- •11.1.5. Собственная добротность закрытых резонаторов
- •11.1.6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем
- •Коаксиальный резонатор
- •Прямоугольный резонатор
- •11.2.5. Цилиндрический резонатор
- •33 Проходной резанатор
20 Лемма Лоренца (запись в дифференциальной и интегральной формах). Теорема взаимности (получение из леммы Лоренца). Следствия, вытекающие из теоремы взаимности.
Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами
Равенство (5.44) называют леммой Лоренца.
На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности,. Предположим, что источники первой группы сосредоточены в конечном объеме V1 а источники второй группы -в конечном объеме V2. Области Vi и V2 пространственно разделены (не пересекаются
друг с другом).
Интегрируя равенство (5.44) по произвольной области V, включающей в себя V1 и V2 (рис. 5.31), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем
где S - поверхность, ограничивающая объем V.
Соотношение (5.45) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.
Распространим интегрирование в уравнении (5.45) на все пространство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общностисти рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов Ё1Н1, Ё2 и Н2 убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем 1/r . Тогда при r→∞ левая часть уравнения (5.45) обратится в нуль. Кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токов отличен от нуля только в объеме Vb а вектор -только в объеме V2, получаем
В полученном выражении Ё1, - вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объема V2 токами распределенными в объеме V1 a E2- напряженность электрического поля, создаваемого в точках объема V1 токами, протекающими в объеме V2.
Соотношение (5.46) является одной из формулировок теоремы взаимности.
Следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы V1 и V2 и распределение токов в них совершенно одинаковы. Из равенства (5.44) следует, что в этом случае векторы Ё1 и Ё2 также будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым, распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или нет, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1. На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры ε и μ (хотя бы один из них) будут тензорами.
Тогда вместо уравнения (5.44) получаем
21. Переход от сферической волны к плоской. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (напряженность электрического поля плоской волны, действительная и мнимая части, параметра , их физический смысл).
Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы Е и Н требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника (r0). Введем дёкартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена .вдоль радиуса-вектора, соединяющего середину вибратора Q с точкой О, принятой за начало координат (рис.6.1). В пределах области V можно пренебречь изменением амплитуд векторов Ёт и Нт -и, кроме того, считать, что их фазы зависят только от координаты z, т.е. считать, что sin θ/r= = const, a exp(-ikr)=exp[-ik(ro+z)]. Вводя обозначение (2λr0) =E0 перепишем формулы (5.20) в виде
В (6.1) учтено, что векторы Ёт и Нт перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны (оси Z). Ориентация векторов Ёт и Нт относительно осей X и У зависит от ориентации вибратора, создающего поле. В общем случае эти векторы могут иметь как х-ю, так и у-ю составляющие, связанные соотношениями
Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким образом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.
Очевидно, аналогичный результат получится и в тех случаях, когда источником поля являются элементарный магнитный вибратор, элемент Гюйгенса, система таких излучателей и др. При этом в общем случае между составляющими вектора Ёо по осям X и У может иметь место фазовый сдвиг.
Свойства плоской волны в однородной изотропной среде
Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области. Поэтому векторы Ёт и Нт удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца (2.33) и (2.34) соответственно. Предположим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (2.33) и (2.34) принимают вид
Рассматривая таким же образом фазу напряженности электрического поля волны 2), придем к равенству ω∆t=-β∆z. В этом случае положительным ∆t соответствуют отрицательные значения ∆z, то есть волна 2) распространяется противоположно оси Z.
Предположим, что источник, создающий электромагнитное поле, расположен со стороны отрицательных значений z (рис. 6.1). Так как среда считается безграничной и однородной, в рассматриваемой области пространства должна существовать только волна, распространяющаяся в положительном направлении оси Z. Поэтому в первом слагаемом в формуле (6.4) в соответствии с выбором вида множителя exp(-i kz) следует положить
В среде без потерь и формулы (6.13) переходят в (6.1).
При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол ψс увеличивается от нуля до π/4, а модуль Zc убывает от до нуля. Как видно, наличие потерь приводит к уменьшению абсолютной, величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению | Н | при заданном значении | Е |. Это обусловлено тем, что величина Н определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь существуют только токи смещения. В среде с потерями при тех же значениях Е и ε токи смещения остаются прежними, но к ним добавляются токи проводимости.
Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим сначала случай, когда вектор. Ёm имеет лишь одну составляющую, например, Ёхт. Тогда вектор Нт также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную Ет (в рассматриваемом примере Нут). Считая вектор Ёо вещественным (Ё0=х0Е0) и переходя к мгновенным значениям векторов Е и Н из (6:13) получаем
Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.
Волна является поперечной. Комплексные амплитуды (Ёт и Нт) векторов Е и Н всегда взаимно перпендикулярны, а в частном случае, когда вектор Ёо имеет одну составляющую (например, Ёо =хоEо), взаимно перпендикулярны и их мгновенные значения. Более подробно вопрос о перпендикулярности мгновенных значений векторов Е и Н рассмотрен в 6.2. Поверхности равных фаз определяются уравнением z = const и представляют собой семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают вдоль оси Z. Постоянную а называют коэффициентом ослабления. В среде без потерь α= 0 и
амплитуды векторов Е и Н не зависят от координат. При σ≠0 поверхности равных амплитуд (ПРА) совпадают с ПРФ. Волны, обладающие таким свойством, как и волны, амплитуды векторов Е и Н которых не зависят от координат, называют однородными. При
σ≠0 между векторами Е и Н имеется фазовый сдвиг. Вектор Н опаздывает по фазе относительно вектора Е на угол В среде без потерь векторы Е и Н изменяются синфазно. При изменении а от нуля до бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до π/4. На рис. 6.2 и 6.3 показаны зависимости мгновенных значений векторов Е и Н от времени tв некоторой фиксированной точке пространства (z = z0) в среде с σ≠0 (см. рис. 6.2) и в среде без потерь (см. рис.6.3). На рис.6.4 и 6.5 показаны зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент
времени t=t0 для случаев σ≠0 (см.рис.6.4) и σ =0 (см. рис. 6.5).
Фазовая скорость vф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны (см.5.3). Используя формулу (6.13), рассмотрим перемещение ∆z ПРФ за время ∆t. В результате придем к равенству из которого следует, что при σ≠0
В среде без потерь т.е. равна скорости света в среде с теми же параметрами ε и μ. Так как то vф в среде с потерями меньше уф в среде без потерь с теми же ε и μ.
Параметр β, определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно из (6.16), при σ≠0 фазовая скорость зависит от частоты (tg δ =σ/(ωε)): с увеличением последней она возрастает. Предельное значение vф при ω→∞ равно
Кроме того, величина vф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.
Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же ε и μ. Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны λ убывает с увеличением σ; при σ = О длина волны
Распространение волны сопровождается переносом энергии. При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга
содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:
При σ≠0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:
Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.
Возникновение реактивного потока энергии в среде с σ≠0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают электрические токи с плотностью j = σЕ, на поддержание которых расходуется часть энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.
Скороcть распространения энергии вычисляется по формуле (1.162) и равна фазовой скорости:
Как видно, при σ≠0 скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без потерь одинакова при любой частоте.
Характеристическое сопротивление волны Zc при σ≠ 0 также
зависит от частоты. Модуль Zc возрастает с увеличением f. Его
предельное значение при f→∞ совпадает с характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же ε и μ, т.е. равно Аргумент характеристического сопротивления ψс изменяется от π/4 (при f→0 ) до нуля (при f→∞).
Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (vф, v3, a, Zc и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды - диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при σ = 0, если характеризующие ее параметры е и ц зависят от частоты.
В общем случае вектор Ёт имеет две составляющие Ёхт и Ёут, между которыми возможен фазовый сдвиг. При этом вектор Нт также будет иметь две составляющие Нхт и Нут. Если составляющие вектора E по осям X и Y (Ех и Eу) изменяются синфазно, то поворотом осей координат X и У вокруг оси Z этот случай сводится к уже рассмотренному, когда вектор Ёт имеет одну составляющую. При наличии между составляющими Ёхт и Ёут фазового сдвига, не равного nπ, где п - целое число, волна имеет некоторые особенности, например при f→0 мгновенные значения векторов Е и Н не являются взаимно перпендикулярными (см.6.2). Перечисленные выше остальные свойства плоской волны имеют место и в этом случае.
Рассмотрим два частных случая реальных сред: диэлектрики и проводники.
Свойства плоской волны в однородной изотропной среде (волновое сопротивление, форма незатухающей и затухающей плоской волны, комплексный вектор Пойнтинга). Плоские волны в проводниках. Глубина проникновения.
Волны в диэлектриках
В диэлектриках tgδ<<1, поэтому можно приближенно положить Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (6.7), получаем
Из полученных результатов следует, что параметры волны (β,λ,vф,vэ,Zc), распространяющейся в реальном диэлектрике, мало отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же ε и μ. Коэффициент ослабления α является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются незначительно.