24 Приближенные граничные условия Леонтовича-Щукина (вывод и запись условия).

Задача определения поля в присутствии металлических тел с конечной проводимостью имеет большое значение. Ее решение часто можно упростить введением приближенных граничных ус­ловий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных условий, связывающих значения составляющих поля на границе раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина

выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной среде.

В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49) плоская волна, падающая под любым углом ср на границу раздела двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, рас­пространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раз­дела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то ее можно считать однородной. При этом должны выполняться соотношения

где п₀-единичная нормаль, внешняя к плотной среде.

Соотношение (7.52) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина. Из него следует, что на поверх­ности реального проводника касательная составляющая напря­женности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае σ₂→∞совпадает с обычным условием Е_1τ=0, которое должно выполняться на поверхности идеального проводника.

Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойнтинга, т.е. уходящий в металл поток энергии. В инженерных расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев, когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником той же конфигурации.

Граничное условие (7.52) является приближенным. Это сле­дует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось, что образующиеся во второй среде волны распространяются строго по нормали к поверхности раздела. В действительности направление распространения образует некоторый (в случае ме­таллов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.

Условие (7.52) было получено в предположении, что граница раздела является плоской. При произвольной форме поверхности раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях, если минимальный радиус кривизны поверхности R_minзначительно превышает глубину проникновения Δ⁰ (см. 6.1.6):

25 . Явление поверхностного эффекта

Выше (см.6.1.5) было показано, что напряженность переменного электрического поля внутри металла, а следовательно, и плотность тока (j = оЕ) экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Это приводит к увеличению активного сопротивления провода. На высоких частотах оно может во много раз превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию, сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение внутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода, по существу, не используется, то на высоких частотах для экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода заменяют полыми.

Явление поверхностного эффекта позволяет использовать металлические экраны для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля. Если экран полностью охватывает объект, а его толщина составляет несколько глубин проникновения (Д°), то внешнее электромагнитное поле практически сквозь него не проникает.

Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее пространство. Если защищаемый объект неполностью охватывается экраном, то электромагнитное поле будет частично проникать за экран в результате дифракции волн.

Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла.

Потери энергии в проводнике

Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус кривизны поверхности которого велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся электрические токи, на поддержание которых расходуется электромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процессу среднюю за период мощность джоулевых потерь. Запишем уравнение баланса средних за период значений мощности для объема V, занимаемого рассматриваемым объектом. Учитывая, что внутри объема V нет сторонних источников, приходим к равенству 0 = Р_пср + Рюр, из которого следует, что

(7.54)

где По-орт внешней нормали к поверхности рассматриваемого объекта S. Как видно, для определения мощности Р_гср нет необходимости вычислять поле внутри объекта, достаточно проинтегрировать по S перпендикулярную к ней составляющую комплексного вектора Пойнтинга. Знак минус в формуле (7.54) объясняется тем, что джоулевы потери определяются потоком энергии, направленным внутрь проводника, а орт п₀ направлен из объема V в окружающее пространство. Нормальная составляющая вектора Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов

Испольуя приближенное граничное условие Леонтовича-Щукина, получаем :

Для сокращения записи введем обоначение

Раскрывая двойное векторное произведение по формуле получаем

(7.55) где ц₂ и <з₂ - абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость проводника.

Таким образом, средняя за период мощность джоулевых потерь в проводнике

Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального проводника близка к структуре поля у такой же поверхности идеального проводника. Поэтому при вычислении потерь обычно предполагают, что H°_m = Н° |. Это предположение существенно упрощает расчеты, обеспечивая достаточную для инженерной практики точность результатов.

Поверхностное сопротивление проводника

Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё_ч и плотность эквивалентного поверхностного тока j_s направлены одинаково. Следовательно, можно записать

Козфффициент пропорциональности Z_s принято называть поверхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.50) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем, что поверхностное сопротивление

Активная часть поверхностного сопротивления

Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной Д° без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина проникновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в проводнике [формула (7.57)] можно выразить также через эквивалентный поверхностный ток и активную часть поверхностного сопротивления: