4 Волновые уравнения Общий случай

При решении прямых задач электродинамики требуется найти векторы Е и Н по известным (заданным) сторонним источникам. Предположим, что сторонние источники расположены в безграничной однородной изотропной среде. Для упрощения преоб­разований будем считать, что σ= 0. Записывая уравнения Макс­велла для данного частного случая, получаем

Определение векторов Е и Н непосредственно из системы уравнений (2.25) затруднительно. Поэтому целесообразно преоб­разовать ее, исключив либо вектор Е, либо вектор Н, т.е. получить из нее такое дифференциальное уравнение, в которое входил бы только один из векторов Е или Н. Для этого возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным коор­динатам. Учитывая известное из векторного анализа равенство

где Δ²≡Δ-оператор Лапласа, и третье равенство рассматри­ваемой системы, приходим к уравнению

Аналогично выводится и уравнение для вектора Н:

Каждое из векторных уравнений (2.27) и (2.28) эквивалентно трем скалярным уравнениям, получающимся при проецировании векторного уравнения на оси X, Y и Z декартовой системы коор­динат. Эти скалярные уравнения относятся к уравнениям вида

где w и f(x, у, z, f)-искомая и заданная (известная) функции соответственно. Как известно, уравнения вида (2.29) описывают волновые процессы, причем параметр v равен скорости этого процесса. Такие уравнения принято называть неоднородными уравнениями Даламбера или неоднородными волновыми урав­нениями. Уравнения (2.27) и (2.28) отличаются от (2.29) только тем, что входящие в них функции являются векторными. Уравнения такого типа называют неоднородными векторными уравнениями Даламбера или неоднородными векторными волновыми уравнениями. Аналогичные уравнения, правые части кото­рых равны нулю, называют однородными векторными уравне­ниями Даламбера (однородными векторными волновыми урав­нениями).В дальнейшем будет показано, что входящий в уравнения (2.27) и (2.28) параметр являющийся аналогом параметра v в (2.29), в случае среды без потерь также представляет собой скорость распространения электромагнитного поля и равен ско­рости света ев рассматриваемой среде. Этот результат не яв­ляется неожиданным, так как свет - это электромагнитные волны определенного диапазона частот.

Без затруднений записываются аналогичные уравнения для векторов Е и Н и в том случае, когда σ≠ 0 (см., напр., [1]).

Монохроматическое поле

 В случае монохроматического поля полная система уравнений Максвелла в комплексной форме, учитывающая сторонние эле­ктрические источники, имеет вид

Предположим, что среда, заполняющая рассматриваемую часть пространства, является однородной и изотропной. Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения системы (2.30) и исключим вектор Н, используя первое уравнение. Учитывая фор­мулу (2.26) и равенство справедливое для одно­родной изотропной среды, придем к уравнению

где  Для вектора Н получаем аналогично

Очевидно, что такие же уравнения связывают между собой комплексные амплитуды

Если   в  рассматриваемой  области   отсутствуют  сторонние источники, уравнения (2.31) и (2.32) упрощаются:

 Для перехода к случаю среды без потерь в уравнениях (2.30)-(2.34) нужно положить .  Каждое

из векторных уравнений (2.33) и (2.34) эквивалентно трем однотип­ным скалярным уравнениям для декартовых составляющих соот­ветствующего вектора: ∆²w+k²w = 0, где w-любая из состав­ляющих