5. Векторный и скалярный электродинамические потенциалы (определение, назначение). Электродинамические потенциалы Общий случай

Выведенные в предыдущем разделе дифференциальные уравнения позволяют в принципе определить векторы Е и Н через функции j^ст и ρ^ст. Однако наличие в их правых частях выражений gradρ^ст и rotj^ст в ряде случаев несколько затрудняет получение

удобных расчетных формул. Поэтому указанные уравнения обы­чно используют в тех случаях, когда сторонние источники рас­положены за пределами рассматриваемой области, т.е. когда уравнения (2.27) и (2.28) становятся однородными и соответ­ственно уравнения (2.31) и (2.32) переходят в (2.33) и (2.34).

В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют векторы Е и Н. Эти вспомогательные функции можно ввести различным образом в зависимости от специфических особенно­стей анализируемой задачи. Для упрощения решения многих задач вводят так называемые электродинамические потенциалы. Рассмотрим систему уравнений Максвелла (2.25). Последнее уравнение этой системы представляет собой четвертое уравнение Максвелла divВ = 0, записанное для случая однородной изо­тропной среды. Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю (divrota = 0), то из уравнения divВ = 0 следует, что вектор В можно представить в виде В = rotА. При этом вектор

При известном вектореА уравнение (2.35) позволяет одно­значно найти вектор Н. Однако оно допускает некоторый произвол в определении вектора А. Действительно, если вместо А взять вектор A₁= А + grad ψ, где ψ - произвольная скалярная функция, то значение вектора Н не изменится, так как

Неоднозначность определения вектораА будет использована при выводе дифференциального уравнения для А.

Подставим выражение (2.35) во второе уравнение системы (2.25) и изменим порядок дифференцирования по времени и пространственным координатам. Объединив затем векторы Е и дА/дtпод знаком ротора, получим rot(E + дА/дt) = 0. Учитывая тождество (2.36), можно положить, что стоящее под знаком ротора выражение равно - gradи, где и- некоторая скалярная функ­ция, или

Знак минус перед gradи в формуле (2.37) введен, чтобы в случае электростатического поля функция и совпадала с обычным эле­ктростатическим потенциалом.

Таким образом, все векторы, определяющие электромаг­нитное поле, выражаются через две функции: векторный поте­нциалА и скалярный потенциал и. Следовательно, задача состоит теперь в том, чтобы найти функции А и и. Подставляя (2.35) и (2.37) в первое уравнение системы (2.25) и преобразовывая левую часть получающегося при этом соотношения с помощью тождества (2.26), приходим к равенству

Упростим уравнение (2.38). Как уже отмечалось, векторА определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции. Следовательно, можно потребовать, чтобы векторА удовлетворял добавочному условию. Потребуем, чтобы

Соотношение (2.39) принято называть условием калибровки.учетом (2.39) уравнение (2.38) принимает вид

Аналогичное уравнение получается и для скалярного потен­циала и. Подставляя (2.37) в третье уравнение системы (2.25), получаем

 

Используя условие калибровки (2.39) и тождество divgradи =Δ²u, приходим к уравнению

(2.41)

Таким образом, векторный и скалярный потенциалы, как и векторы Е и Н, удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера. Однако правые части уравнений для потенциалов имеют более простой вид. Поэтому уравнения (2.40) и (2.41) оказываются более удобными при решении многих конкретных задач.

Найдем частные решения уравнений (2.40) и (2.41), считая функции j^ст и ρ^ст. известными. Вначале рассмотрим уравнение (2.41). Предположим, что электрическое поле создается точечным неподвижным зарядом постоянной величины Q= const, располо­женным в начале координат, вектор Е в этом случае определяется выражением (1.7). Так как поле не должно зависеть от времени, то dA/дt= 0 и соотношение (2.37) принимает видЕ =- gradи. Рас­писывая gradи в сферической системе координат r,θ,φ (см. приложение 4) и учитывая, что вектор Е в рассматриваемом случае может зависеть только от координаты r(от расстояния от заряда Q до точки наблюдения), получаем

где r₀ - координатный орт переменной r. Подставляя выражение (2.42) в (1.7) и выполняя интегрирование по переменной r, находим функцию и:

Постоянная интегрирования в (2.43) принята равной нулю, чтобы при r→ ∞ функция и обращалась в нуль. Формула (2.43) полностью совпадает с известным из курса общей физики вы­ражением для электростатического потенциала точечного заряда (см. замечание по поводу выбора знака перед gradи в выражении (2.37)). Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dVс плотностью ρ^ст, то и =ρ^стdV/(4πεR), где R- расстояние от элемента dVдо точки наблюдения. От этой формулы легко перейти к выражению для электростатического потенциала, создаваемого произвольным распределением зарядов в объеме V. В соот­ветствии с принципом суперпозиции получаем

Значение и, определяемое формулой (2.44), можно рассма­тривать как решение уравнения

 получающегося из равенства (2.41), если в пос­леднем положить д²u/дt²=0. Уравнение (2.45) называют уравнением Пуассона.

Предположим теперь, что поле также соз­дается точечным зарядом, расположенным в начале координат, но величина этого заряда изменяется со временем Q = Q(t). Тогда в любой точке, кроме начала координат, потен­циал и будет удовлетворять однородному урав­нению Даламбера

Для решения уравнения (2.46) удобно использовать сфери­ческую систему координат r, θ, φ (рис.2.5). Оператор Лапласа Δ² в этой системе координат определяется формулой (П. 18). Так как лоле создается точечным зарядом, расположенным в начале координат, то потенциал и не должен зависеть от углов θ и φ. Поэтому уравнение (2.45) можно переписать в виде

Учитывая, что  и переходя от и к функции и₁, связанной с и соотношением u₁ = rи, получаем

Общее решение уравнения (2.47) имеет вид    -

произвольные дважды диф­ференцируемые функции аргументов t-rlcи t+rlcсоответ­ственно. В том, что функции f₁(t-r/c) и f₂(t+r/c) удовлетворяют (2.47), можно убедиться непосредственной подстановкой их в это уравнение. Таким образом, скалярный потенциал и можно представить в виде

Первое слагаемое в выражении (2.48) представляет собой волну, распространяющуюся из начала координат вдоль ради­усов r со скоростью света    Действительно, функция в фиксированный момент времени tимеет одинаковые значения на сфере радиуса r = const. В момент времени t + Δtфункция принимает то же значение на сфере радиуса r+cΔt, так как t+ Δt-(r+ cΔt)/c= t-r/c. Волны типа  принято называть расходящимися сферическими волнами. Соот­ветственно второе слагаемое в выражении (2.48) представляет собой сферическую волну, распространяющуюся из бесконечности со скоростью света с и сходящуюся к началу координат. Отметим существенную особенность функций, описывающих волновые про­цессы. Они всегда содержат множители вида f(t±r/v), характер зависимости которых от расстояния вдоль направления распро­странения волны в фиксированный момент времени повторяет характер их зависимости от времени в фиксированной точке пространства, а v-скорость распространения волны.

Если источники поля сосредоточены в ограниченной области, то сходящаяся сферическая волна может возникнуть только в результате отражения расходящейся сферической волны. Так как пространство считается однородным, то отраженной волны не может быть, и функцию f₂(t +r/с) нужно считать равной нулю. Следовательно, и = f₁(t- r/c)/r. Значения потенциала и должны быть связаны с интенсивностью источников поля. В рассмат­риваемом случае источником поля является точечный заряд Q(t). Полученное выражение дляи должно быть справедливым при любом законе изменения функции Q(t). Так как в статическом случае потенциал и определяется формулой (2.43), естественно предположить, что f₁-r/c) = Q(t-r/c)/(4πε). Тогда u=Q(t-R/c)/(4πεr). Если заряд сосредоточен в малом элементе объема dVс пло­тностью ρ^ст = ρ^ст(t), то скалярный потенциал и = p^СТ(t-R/c)dV/(4πεR), где R-как и ранее, расстояние от элемента dVдо точки наблю­дения. От этой формулы легко перейти к выражению для скалярного потенциала, обусловленного произвольным распреде­лением сторонних зарядов в объеме V:

декартовы координаты элемента dV; x, у, z-декартовы координаты точки наблюдения N; элемент объема  (рис.2.6). 

Выражение (2.49) является частным решением неоднородного уравнения Даламбера (2.41). Отметим, что приведенный здесь вывод не является строгим, он имеет лишь наводящий характер. Строгий вывод формулы (2.49) можно найти, например, в [12].

Аналогично можно записать и решение уравнения (2.40). Для этого нужно в (2.49) заменить и на А, ρ^ст на j^СТ и ε на 1/μ. В результате получим

Из (2.49) и (2.50) следует, что для вычисления электро­динамических потенциалов ииА в произвольной точке прост­ранства N=N(х, у, z) в момент времени t нужно брать значения токов и зарядов в каждом элементе dVв более ранний по срав­нению с tмомент времени t’=t-R/c, определяемый расстоянием Rот элемента dVдо точки наблюдения N(х, у, z) (рис.2.6). Иными словами, влияние источников электромагнитного поля проявля­ется не мгновенно: требуется некоторое время Δt = Rlc, за которое электромагнитные колебания, вызванные зарядами и токами в элементе dV, успеют распространиться от элемента dVдо точки наблюдения. Поэтому функцииА и и в форме (2.50) и (2.49) часто называют запаздывающими потенциалами.