3. Физические математические модели
-
3.1 Использование математических моделей
С помощью функциональных математических моделей можно исследовать самые разнообразные физические, химические, социальные и др. состояния или объекты.
Рассмотрим свободное движение тела в поле тяготения Земли с учетом сил сопротивления.
По второму закону Ньютона ускорение тела равно
.
Ускорение свободного падения g постоянно и направлено вниз по вертикали, а силы вязкого трения направлены обратно направлению скорости и равны
,
где с – коэффициент лобового сопротивления; S – площадь мидельного сечения (наибольшее сечение тела в плоскости нормальной к скорости) тела; – плотность среды; u – скорость движения тела. Коэффициент лобового сопротивления равен:
-
с = 1,11
– для диска
;
с = 1,33
– для полусферы
;
с = 0,55
– для полусферы
;
с = 0,4
– для шара
;
с = 0,045
– для капли
;
с = 0,1
– для капли
.
В качестве примера движения тела в поле тяготения Земли с учетом сил сопротивления рассмотрим движение футбольного мяча, движущегося в начальный момент времени со скоростью u под углом к горизонту.
Уравнение движения мяча имеет вид
,
,
с начальными условиями
,
,
,
и
с конечными условиями
,
,
где
k
– расчетный коэффициент,
;
;
с – коэффициент лобового
сопротивления, с = 0,4; S
– площадь сечения шара по диаметру;
– плотность воздуха; u
– скорость мяча.
В качестве исходных данных выберем диаметр мяча d = 0,3 м, масса мяча m = 0,7 кг, начальная скорость u = 20 м/с, угол к горизонту = 57. Чтобы реализовать данную модель в MathCad можно решать систему дифференциальных уравнений первого порядка
,
,
,
с помощью команды rkfixed (метод Рунге-Кутта IV порядка с фиксированным шагом).
Исходные данные:
Решение системы дифференциальных уравнений движения мяча по горизонтали
Решение системы дифференциальных уравнений движения мяча по вертикали
Траектория движения мяча приведена на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Траектория движения мяча брошенного