Метод прогонки. Метод прогонки используется для решения систем специального вида

содержащих n+1 уравнение с неизвестными z₀, z₁, ..., z _n .

Построим матрицу системы:

Основная система называется трехточечной разностной схемой, а первое и последнее уравнения – краевыми (граничными) условиями.

Если выполняются следующие условия:

и ,

то находим неизвестные:

,

,

где ; ; i = n – 1, n – 2, ..., 2, 1.

Произвольные системы линейных уравнений легче всего решать методами исключения с применением обращения матриц. Итерационные методы эффективны лишь в том случае, если матрицы содержат много нулевых элементов.

5.3. Решение систем алгебраических нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений. Нахождение корней уравнения. Рассмотрим нелинейное уравнение , где – непрерывная функция на отрезке [а, b]. Прежде чем вычислять корни с необходимой точностью, нужно или определить их границы, или найти приближенные значения корней. Одним из самых простых методов является метод половинного деления, который применим, если , т.е. функция на концах интервала имеет разные знаки. Разделим отрезок [а, b] пополам и возьмем ту по­ловину, на концах которой имеет разные знаки. В свою очередь разделим эту половину пополам и поступим далее аналогично. В результате получа­ем последовательность вло­женных друг в друга отрез­ков. Процесс продолжа­ют, пока не будет выполнено условие , где  – точность, с которой нуж­но найти корень. Середина отрезка [а_n, b_n] дает нужное приближение к корню. Сходимость к корню в этом методе обязатель­на и от требуется лишь непре­рывность.

5.3.1. Метод итераций

Рассмотрим уравнение вида на отрезке [a; b] при условии, что данная функция дифференцируема на [a; b]. Тогда на этом отрезке функция имеет единственный корень, который может быть найден как предел последовательности приближений:

,

где x₀ – начальное приближение; .

Погрешность метода простых итераций:

,

где все x_k  [x₀; x₀+r]; – константа (0 <  < 1). Сходимость имеет место со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем меньше 1.

Геометрический смысл метода итераций заключается в отыскании точки пересечения графиков функций y = x и y = (x). Процесс сходимости показан на рис. 5.2,а если функция убывает (-1 <  < 0), и на рис. 5.2,б если функция возрастает (0 <  <1).

а) б)

Рис. 5.2. Метод итераций

Условие 0 <  < 1 является достаточным, но не необходимым: если  > 1, то итерации могут разойтись, а уравнение может иметь решение. (Например функция (x) = bx, где b > 1. Итерации разойдутся, если в качестве начального приближения взять любое x₀  0.)

Метод итераций можно применять и для решения нелинейных систем уравнений. Рассмотрим пространство Rⁿ с введенной на этом пространстве нормой x. Замкнутым шаром S(x⁽⁰⁾, r) с центром в точке x⁽⁰⁾ и радиусом r называется множество всех n-мерных векторов x таких, что расстояние между x и Y не превосходит r: .

Рассмотрим нелинейное уравнение , где  – вектор-функция, а х – n-мерный вектор, т.е. рассмотрим систему:

Определим матрицу .

Если функция  непрерывно дифференцируема в шаре S и в шаре S выполняются условия: и , то для решения нелинейных систем уравнений можно применять метод итераций.