2.2.2. Типовые динамические звенья.

Тип звена однозначно определяется видом переходного процесса при одном и том же входном воздействии и не зависит от его физической природы. Звенья, характеризуемые простой математической зависимостью между входной и выходной величинами, называются элементарными. Обычно динамические свойства элементарных звеньев описываются линей­ными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Усилительное звено. Рассмотрим простую электрическую цепь приведенную на рис. 2.6. Для нее ; .

Рис. 2.6. Электрическая цепь – усилительное звено	Рис. 2.7. Механический аналог усилительного звена – поворотный рычаг

Отсюда и или , где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция усилительного звена W(p) = k, его КЧХ также равна k и изображается точкой на вещест­венной оси.

Усилительные звенья часто встречаются в электрических цепях и механических передачах, примером такого звена служит рычаг для преобразования усилий (рис. 2.7) при .

Инерционное звено I порядка. Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2.8). Приложение на входе цепи напряжения вызывает в ней переходный процесс. Ток причем

; .

Следовательно, .

Рис. 2.8. RC-цепочка – инерционное звено	Рис. 2.9. Гидравлическая модель инерционно­го звена

Другим при­мером инерционного звена может служить бак с постоянным подпором воды на стоке (рис. 2.9). Действительно, при возмущении расхода воды на при­токе (например, при увеличении притока на ) уровень воды в баке не будет возрастать безгранично, так как с ростом увеличивается перепад давлений на кране сто­ка, расход через который описывается выражением , где µ – коэффициент расхода. При неко­тором постоянном значении возросший сток сравняется с . Наступит новое состояние равновесия системы при новом установившемся значении уровня.

Кривая разгона этого элементарного звена, называемого инерционным или апериодическим, представляет собой экспоненту, изображенную на рис. 2.3. Импульсная характеристи­ка приведена на рис. 2.4.

Передаточная функция и КЧХ инерционного звена имеет вид и .

График КЧХ инерционного звена, приведенный на рис 2.10, является графиком полуокружности с радиусом , касающейся мнимой оси в начале коорди­нат, с центром 0', расположенным на вещественной оси. При прохождении сигнала через инерционное звено выходной сигнал отстает по фазе от входного. Звенья такого типа называются фазосдвигающими.

Рис. 2.10. График КЧХ инерционного звена

Инерционное звено II порядка. Инерционное звено II по­рядка образуется при наличии двух соединенных емкостей, способных запасать энергию и обмениваться ею. Приме­рами инерционных звеньев II порядка могут служить ме­ханическая система (рис. 2.11), представляющая собой массу, подвешенную на пружине и имеющую демпфирующее устройство, и электрическая цепь, содержащая емкость, ин­дуктивность и сопротивление (рис. 2.12).

Рис. 2.11. Гидромеханический аналог колебательного звена	Рис. 2.12. RCL-цепочка – колебательное звено

Уравнением электрической цепи, изображенной на рис. 2.12, является

,

где .

Следовательно, .

Обозначив , , получим уравнение связи между вы­ходным и входным сигналами:

.

Дифференциальное уравнение инерционного звена II порядка представим в общем виде

или в операторной форме

,

где и – коэффициенты, имею­щие размерность времени; k – коэффициент усиления, равный от­ношению установившихся значений выходной и входной величин.

Инерционные звенья II порядка имеют переходную характеристику колебательной формы или апериодической (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Переходная характеристика инерционного звена II порядка:

1 – апериодического; 2 – колебательного

Передаточная функция колебательного звена .

КЧХ колебательного звена равна

.

Интегрирующее звено. Рассмотрим поведение уровня воды в баке, на выходе которого установлен откачивающий насос. Математическое описание этого объекта при возмущении расходом воды на притоке дано уравнением

. В операторной форме .

Звенья с интегральной математической зависимостью между выходной и входной величинами называются ин­тегрирующими. К ним от­носятся объекты, связанные с регулированием уровней жидкости в открытых баках и сосудах под давлением, ис­полнительные механизмы автоматических регуляторов и др. Интегрирующее звено, так же как и инерционное, принад­лежит к фазосдвигающим.

Переходная характеристика интегрирующего звена или его реакция на скачкообразное возмущение есть прямая, выходящая из начала координат под углом .

КЧХ звена равна .

Звено запаздывания. Примером звена запаздывания является ленточный транспортер для переброски сыпучего материала из одного бункера в другой. Особенность его работы как отдельного звена заключается в том, что входной сигнал, проходя через него, не претерпевает изменений по амплитуде, но сдвигается во времени (по фазе). Иными словами, если изменить количество поступающего на ленту материала, то точно такое же изменение произойдет на выходе ленты через время , где – длина транспортерной ленты; – скорость ее движения. Время τ называется временем запаздывания. Технические устройства, обладающие свойством «за­держки» во времени поступающего на вход сигнала без изменения его значения, относятся к звеньям запаздывания. Примером звена запаздывания служат также сравнительно длинные участки трубопровода. Математическое описание звена запаздывания в функции вре­мени имеет вид: y(t) = 0 при t   и y(t) = x(t) при t ≥ . Временная характеристика зве­на запаздывания имеет вид скачка, сдвинутого во времени относитель­но момента возмущения на отрезок τ. Если подать на вход звена транс­портного запаздывания синусои­дальный сигнал, то на выходе полу­чим синусоиду той же амплитуды, сдвинутую во времени на постоянную величину τ независимо от частоты. При этом фазовый сдвиг, выражен­ный в градусах или радианах, линейно зависит от частоты:

.

КЧХ звена запаздывания имеет вид

.

Это означает, что при изменении ω от 0 до ∞ вектор описывает на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат.

Передаточная функция звена запаздывания .

Реальное дифференцирующее звено. Инерционные, ин­тегрирующие и запаздывающие звенья относятся к фазосдвигающим элементам автоматической системы регулирования, в которых выходные колеба­ния отстают по фазе от входных. Часто возникает необ­ходимость, например, в промышленных автоматических ре­гуляторах, включать в контур автоматического регулирования звенья, у которых при устано­вившихся колебаниях y(t) опере­жает x(t) на время . В качестве примера такого звена рассмотрим цепь, изображен­ную на рис. 2.14, и составим для нее дифференциальное уравнение.

При подаче на вход цепи скач­кообразного сигнала в ней воз­никает переходный процесс, харак­теризуемый током:

; , .

Тогда ,

Обозначим: , ; , получим

.

Поскольку изменение y(t) зависит от производной вход­ного сигнала, указанное звено носит название дифференци­рующего. Решение уравнения при скачкообразным изменении x(t) имеет вид . График функции y(t) представляет собой экспоненту (см. рис. 2.15), характеризуемую постоянной времени , численно равную времени, за которое функция стала бы равна нулю, если бы изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения в начальный момент времени.

Рис. 2.14. RC-цепочка – реальное дифференцирующее звено	Рис. 2.15. Переходная характеристика дифференцирующего звена

Передаточная функции звена равна ,

КЧХ реального дифференцирующего звена

,

где .

Наличие члена в знаменателе передаточной функции по аналогии с передаточной функцией инерцион­ного звена свидетельствует об определенной инерции в из­менении y(t) по сравнению с выходным сигналом. Поэтому звено называется реальным дифференцирующим в отличие от идеального, знаменатель передаточной функции которо­го равен 1.

Сводные данные по этим типовым звеньям приведены в табл. 2.1.