5.5.2. Распространение тепла в пластине радиатора.

Рассмотрим пластину радиатора при температуре окружающего воздуха, равной (задача аналогична рассмотренной в п. 3.2). Можно считать, что температура в поперечном сечении, перпендикулярном оси пластины (оси x), постоянна. Температура Ts у левого края пластины (при х = 0) известна.

Уравнение теплопроводности можно записать в виде

,

где а – коэффициент температуропроводности, ; S – площадь поперечного сечения; Р – периметр поперечного сечения; – коэффициент конвективной теплопередачи;  – коэффициент теплопроводности.

Граничные условия при x = 0 Т = T_s, а при x = L перенос тепла обусловлен только конвекцией и, следовательно, .

Если ввести безразмерные переменные и , то дифференциальное уравнение и граничные для него условия запишутся следующим образом:

, , ,

где , а .

Для решения этого уравнения используем метод прогонки и введем уравнения и .

Тогда уравнения для прямой прогонки запишутся в виде

и ,

а граничные условия – и .

Граничные значения при x = L получим в виде

и .

Проинтегрировав от до , найдём и . Результаты для нескольких значений и приведены в табл. 5.2, в которую также включены значения , найденные по точной формуле.

Таблица 5.2

Сравнение метода прогонки с точным решением

		Метод прогонки		Точное решение
2,0	0,5	0,3494	0,1747	0,3494
	1,5	0,2364	0,3546	0,2364
	3,0	0,1592	0,4775	0,1592
1,0	0,5	0,4693	0,2347	0,4693
	1,5	0,3025	0,4537	0,3025
	3,0	0,1973	0,5919	0,1973

Известно, что точное решение этой граничной задачи даётся формулой

.

Откуда при получается .

На этом заканчивается этап прямой прогонки. Чтобы получить распределение температуры, нужно использовать обратную прогонку, приняв за начальные условия и из таблицы.

5.6. Решение краевых задач методом пристрелки

5.6.1. Метод пристрелки.

Итерационные методы решения граничных задач (как линейных, так и нелинейных) могут быть разделены на две большие группы, а именно методы пристрелки и методы конечных разностей.

В метоле пристрелки выбирается недостающее (незаданное) начальное условие в начальной точке интервала, а потом решается задача Коши – численно интегрируется дифференциальное уравнение до конечной точки интервала. Затем, сравнивая вычисленное значение зависимой переменной в конечной точке с заданным, проверяют правильность выбора недостающего начального условия. Если эти значения не совпадают, то выбирают другое значение недостающего начального условия, и процесс повторяется до тех пор, пока разность между вычисленным и заданным условиями в конечной точке не станет достаточно малой.

Наиболее часто используются три таких метода: метод Ньютона, метод параллельной пристрелки и метод квазилинеаризации. Все эти методы по существу основаны на одном и том же принципе – ньютоновском методе решения нелинейных алгебраических уравнений – и поэтому в равной мере обладают двумя важными свойствами: монотонной сходимостью и квадратичной сходимостью. Для большинства задач методы Ньютона и квазилинеаризации одинаково эффективны. Но из-за того что в методе Ньютона подгоняется лишь недостающее начальное условие, в то время как в методе квазилинеаризации систематически подгоняются значения функции во всех точках интервала, можно ожидать, что последний обладает лучшей сходимостью. Метод параллельной пристрелки обычно применяется в тех задачах, где решение весьма существенно зависит от выбора производной в начальной точке.