5.6.2. Метод Ньютона ………………………………………………. 95

5.7. Решение краевых задач методом конечных разностей ………… 95

5.7.1. Метод конечных разностей ……………………………………. 95

5.7.2. Линейные дифференциальные уравнения ……………………. 96

6. Моделирующие программы ………………………………………….. 100

Рекомендованный библиографический список ……………………. 103

1. Введение

В настоящее время нельзя назвать область человеческой де­ятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Модель – это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Таким образом, моделирование может быть определено как пред­ставление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Одним из основных видов моделирования является математическое моделирование. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристи­ки рассматриваемого реального объекта. Вид математической мо­дели зависит как от природы реального объекта, так и задач ис­следования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближе­ния к действительности.

При построении математической модели характеристики объекта записываются в виде неко­торых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических усло­вий. Такая модель может быть исследована следующими методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

в) качест­венным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти неко­торые свойства решения.

Последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры математического моделирования технических устройств и процессов в них представлена рис. 1.1. Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым понимают конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (РС). При этом, в зависимости от на­правленности вычислительного эксперимента и его конечной цели, выделяют те свойства, условия работы и особенно­сти ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в РС, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в РС те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматрива­емом случае несущественным. Полнота и правильность учета в РС свойств ТО, существенных с точ­ки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных резуль­татов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой РС может обесценить все последующие этапы исследования.