- •Моделирование физических процессов Учебное пособие
- •Содержание
- •3. 8. Математическая модель массообмена ……………………………. 54
- •5.1.1. Формулы конечного дифференцирования …………………… 74
- •5.6.2. Метод Ньютона ………………………………………………. 95
- •Введение
- •VII этап
- •2. Структурные математические модели
- •Основы структурного моделирования
- •2.2. Типовые элементы
- •2.2.1. Способы математического описания звеньев и систем.
- •2.2.2. Типовые динамические звенья.
- •2.3. Схемы соединения типовых элементов
- •2.4. Структурные модели теплообменного оборудования
- •2.4.1. Составление математических моделей тепловых объектов.
- •3. Физические математические модели
- •3.1 Использование математических моделей
- •Под углом 57 к горизонту со скоростью 20 м/с
- •Изменение температуры при остывании тела
- •3.2 Математическая модель теплопроводности
- •. Математическая модель гидродинамики
- •3.4 Математическая модель теплообменника
- •3.5 Математическая модель парогенератора
- •С естественной циркуляцией
- •Математическая модель горения
- •Математическая модель образования токсичных
- •3. 8. Математическая модель массообмена
- •Дифференциальные уравнения диффузионного пограничного слоя
- •Моделирование теплоотдачи диффузией.
- •3.9. Математическая модель парового котла
- •3.9.1. Математическая модель динамических процессов.
- •3.9.2. Регулирование давления пара и тепловой нагрузки
- •3.10. Пример построения математической модели объекта
- •4. Планирование эксперимента
- •Полный трехфакторный эксперимент
- •Численные методы
- •5.1. Интерполяция
- •5.1.1. Формулы конечного дифференцирования
- •5.1.2. Сплайны
- •Способы получения краевых условий:
- •5.2. Решение систем алгебраических линейных уравнений
- •Метод прогонки. Метод прогонки используется для решения систем специального вида
- •5.3. Решение систем алгебраических нелинейных уравнений
- •5.3.1. Метод итераций
- •5.3.2. Метод Ньютона
- •5.4. Решение дифференциальных уравнений
- •5.4.1. Постановка задачи. Разностные схемы.
- •5.4.2. Разностные схемы. Метод Рунге – Кутта.
- •Пример решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.
- •Результаты решения уравнения методом Рунге-Кутта
- •5.5. Решение краевых задач методом прогонки
- •5.5.2. Распространение тепла в пластине радиатора.
- •Сравнение метода прогонки с точным решением
- •5.6. Решение краевых задач методом пристрелки
- •5.6.1. Метод пристрелки.
- •5.6.2. Метод Ньютона. Рассмотрим граничную задачу, определяемую дифференциальным уравнением второго порядка
- •5.7. Решение краевых задач методом конечных разностей
- •5.7.1. Метод конечных разностей.
- •5.7.2. Линейные дифференциальные уравнения.
- •Моделирующие программы
- •Смеси газов в реакторе
- •Перемещение свободной поверхности жидкости
- •Скоростей течения испаряющегося метана
- •Рекомендованный библиографический список
- •Пасько Петр Иванович «моделирование физических процессов»
- •346360, Г. Волгодонск, ул. Ленина 73/94
3.9.2. Регулирование давления пара и тепловой нагрузки
барабанного котла.
Паровой котел как объект управления тепловой нагрузки может быть представлен в виде последовательного соединения более простых участков, разграниченных конструктивно (см. рис. 2.19): топочной камеры; испарительной или парообразующей части, состоящей из поверхностей нагрева, расположенных к топочной камере; барабана и пароперегревателя. Динамические характеристики по каналу расход топлива Вт – давление перегретого пара рп.п каждого из этих участков и котла в целом описываются линейными дифференциальными уравнения и кривыми разгона.
Рассмотрим динамику испарительного участка, в котором вода нагревается до температуры кипения и протекает процесс парообразования. Изменение тепловыделения Q'T приводит к изменению паропроизводительности Dб и давления пара в барабане рб. Если прирост расхода топлива и тепловыделения идет целиком на нагрев пароводяной смеси и металла парообразующей части, то скорость изменения давления dpб/dt будет прямо пропорциональна теплоте, затраченной на нагрев пароводяной смеси:
или ,
где А – размерный коэффициент, характеризующий тепловую аккумулирующую способность пароводяной смеси и металла испарительной части; hн – энтальпия насыщенного пара на выходе из барабана; hп.в – энтальпия питательной воды; Сп – постоянная, характеризующая массовую аккумулирующую способность пароводяной смеси и металла труб и барабана котла, кг/(кгс/см2); – тепловая нагрузка, кг/с.
|
Рис. 3.8. Графики переходных процессов в паровом котле
Экспериментальные кривые переходных процессов парового котла типа ТП-87 по давлению, расходу пара и результирующая кривая по теплоте при нанесении возмущения топливом и регулирующими клапанами приводятся на рис. 3.8.
3.10. Пример построения математической модели объекта
Описание объекта. Пневматическая система (рис. 3.9) содержит пневмоемкости А и В и три дросселя – два переменных и один постоянный. Элементы схемы соединены короткими пневмотрубками небольшого диаметра. Пневмоемкости имеют одинаковый объем V, м3, и находятся при одной и той же температуре Т, К. На концах пневматической системы заданы давления P1(t) и P2(t), Па. Требуется построить модель динамики системы.
Анализ процессов. Пусть Р1 > Р2. Тогда от одного конца пневматической системы к другому будет происходить движение воздуха. При этом в проточных камерах А и В устанавливаются давления, изменяющиеся по закону PА(t) и PВ(t). Изменение давления в камерах вызывает изменение массы накапливающегося в них воздуха. Масса воздуха М, кг, в камере пропорциональна давлению согласно закону Менделеева - Клапейрона: .
Рис. 3.9. Принципиальная схема пневматической системы
Для этого объекта можно построить несколько математических моделей.
Модель № 1. Система допущений.
1. Для постоянного дросселя принимается ламинарный режим течения, обычно имеющий место для капилляров. Расход воздуха описывается соотношением
,
где Р – перепад давления на дросселе; – проводимость дросселя.
-
Переменный дроссель обычно характеризуется неламинарным режимом течения. Однако, если диапазон изменения перепада давления на нем невелик, то расход воздуха через переменный дроссель также можно определить по той же формуле.
-
Так как согласно условию в схеме использованы короткие пневматические трубки, то их сопротивлением можно пренебречь и считать, что в камерах и в соединенных с ними трубках одно и то же давление.
-
Объем трубок вследствие малости их длины и диаметра пренебрежимо мал в сравнении с объемом камер.
Составление уравнений модели. Так как принято, что Р1 > Р2, то воздух будет двигаться от входа Р1 к выходу Р2. Обозначим массовые расходы через дроссели G1, G2, G3, кг/с, тогда материальный баланс для камер будет иметь вид
и ,
где МА, МВ – масса воздуха соответственно в камере А и В.
Согласно допущениям массовый расход воздуха через дроссель пропорционален перепаду давления на нем. После подстановки выражений для массовых расходов и накоплений воздуха в камерах получаем:
,
,
РА(0) = РА0, РВ(0) = РВ0,
где РА0, РВ0 – давления воздуха в камерах А и В, соответствующие статическому состоянию; , 1, 2 – проводимости дросселей,
Данная система уравнений динамики пневматической схемы не замкнута, так как не определены значения РА0 и РВ0. Для их определения составим систему уравнений в статике:
,
.
Полученная модель динамики, включающая два дифференциальных и два конечных уравнения, является линейной, что следует из принятых допущений.
Модель № 2.
Для дросселей режим течения принимается турбулентным. В этом случае расход воздуха через дроссель описывается соотношением
.
В остальном расчетная схема этой модели совпадает с расчетной схемой модели №1. В этом случае система уравнений, описывающая движение воздуха в пневматической системе, принимает вид
,
.
Граничные условия в этой модели такие же, как в модели № 1.
Модель № 3.
Дополняем модель № 2 условием сжимаемости потока при дросселировании и изменения температуры потока на нерегулируемом дросселе. В этом случае граничные условия сохраняются, а система уравнений, описывающая движение воздуха в пневматической системе, принимает вид
,
,
.
Учитывая, что , последнее уравнение можно представить в виде
,
или
где cp и cv – соответственно удельная изобарная и изохорная теплоемкости; h – удельная внутренняя энтальпия газа; М – число Маха.