2.4 Трансформация погрешности последовательностью ип

При получении измерительной информации, как правило, выполняется не одно, а несколько измерительных преобразований; можно сказать, что ИП образуют последовательный измерительный канал. Каждый преобразователь в канале обладает собственными аддитивной и мультипликативной погрешностями. При этом возникают, по меньшей мере, два вопроса: во–первых, в какой форме представляется общая погрешность последовательно включенной группы ИП; и, во–вторых, как можно снизить общую погрешность последовательности ИП.

Из техники известны три возможных схемы включения преобразователей: последовательно, параллельно с последующим суммированием выходных сигналов и с обратной связью.

Рассмотрение начнем с последнего случая, когда часть сигнала с выхода преобразователя подается на вход для стабилизации параметров некоторого процесса. Классический пример подобного устройства – центробежный регулятор Уатта для стабилизации оборотов вала двигателя. На выходной вал двигателя устанавливаются подпружиненные эксцентрики, рычаг от которых соединялся с краном подачи топлива в двигатель. При росте оборотов вала, вызванных снижением нагрузки, эксцентрики расходятся, преодолевая силу пружины (или собственный вес эксцентриков) и через рычаг поворачивают кран в положение снижения подачи топлива. При спаде оборотов вала (например, при увеличении нагрузки) процесс идет в обратном направлении, сильнее открывая кран подачи.

Говоря техническим языком, трубопровод подачи топлива, двигатель и его выходной вал охвачены цепью отрицательной обратной связи, в которую входят эксцентрики, пружина, рычаг и кран. Связь отрицательна по той причине, что часть энергии с выхода устройства (в нашем примере – двигателя внутреннего сгорания) подается на вход (на кран подачи) с обратным знаком: при росте оборотов сигнал в цепи обратной связи отрицательного знака (на уменьшение подачи топлива); при уменьшении оборотов, т.е. при отрицательной производной от числа оборотов – подает сигнал опять с обратным знаком (на увеличение подачи топлива).

Дальнейший анализ преобразователей предполагает введение математического выражения, связывающего входной и выходной сигналы цепи, охваченной отрицательной обратной связью. С указанной целью рассмотрим простейшую цепь: усилитель с коэффициентом усиления S (для линейного усилителя коэффициент усиления является его показателем чувствительности, введенным в п. 2.1) и отрицательную обратную связь с коэффициентом усиления β (рисунок 2.3). Поскольку речь идет о частичной передаче выходного сигнала на вход, то, очевидно, β ≤ 1. Из рисунка 2.3 не ясно как осуществляется действие обратной связи и почему она отрицательная. Схемная реализация усилителей будет дана позднее; сейчас важно понять что происходит с погрешностями при введении обратной отрицательной связи.

Физически цепь обратной связи электронного усилителя может представлять собой резистивный делитель; для механического преобразователя – неравноплечный рычаг; для пневматического преобразователя – трубку с большим гидравлическим сопротивлением и т.д. Важно, чтобы в любом случае сигнал (воздействие) с выхода цепи обратной связи вычитался из входного сигнала X.

Сначала предположим, что линия с выхода цепи обратной связи разорвана. Тогда сигнал на выходе усилителя Y_ПР при входном сигнале х будет равен Y_ПР = Sּx. Подключим цепь обратной связи; сигнал на выходе изменится и примет неизвестное нам значение Y_ОС. Этот сигнал, пройдя цепь обратной связи станет равен βּY_ОС. Поскольку сигнал обратной связи вычитается из входного х, то на входе усилителя устанавливается значение сигнала х - βּY_ОС. Вот этот сигнал, усиленный в S раз, и создает выходной сигнал Y_ОС. Следовательно, можно записать следующее равенство:

Y_ОС = S(х - β·Y_ОС) = S· x - S· β·Y_ОС.

Произведя элементарные преобразования, получим окончательно

. (2.5)

К каким же изменениям в преобразователе привело введение отрицательной обратной связи? Уменьшилась чувствительность преобразователя, она стала равна S_ОС = S/(1 + Sβ), и уменьшилась величина выходного сигнала (Y_ОС < Y поскольку знаменатель в (2.5) больше единицы).

Теперь, имея выражение для функции преобразования усилителя с обратной связью, можно вернуться к задаче анализа погрешностей в канале преобразования измерительного сигнала.

Рассмотрим измерительную цепь, состоящую из нескольких преобразователей с известными характеристиками, например измерительную цепь, показанную на рисунке 2.4, состоящую из трех последовательно включенных ИП с чувствительностью соответственно S₁, S₂, S₃, охваченных цепью отрицательной обратной связи с чувствительностью β.

Сначала, как и ранее, будем считать отрицательную обратную связь отключенной. Требуется найти показатели погрешности преобразования Y = f(X) в виде относительной погрешности чувствительности γ_S и погрешности нуля (дрейфа) ΔXо.

Для определения первой (мультипликативной) составляющей погрешности представим анализируемую измерительную цепь как сложный ИП, состоящий из трех последовательных звеньев, с крутизной характеристики (чувствительностью)

S = S₁· S₂· S₃. (2.6)

Выразим полный дифференциал S:

.

Разделим обе части равенства на S и перейдем к конечным приращениям. Это дает приближенное развернутое выражение искомой относительной погрешности

что означает: _S = _S1 + _S2 + _S3. (2.7)

(Вычисление относительной погрешности может выполняться более простым способом, основанном на том, что дифференциал от логарифма ln x равен d(ln x) = dx/x. Необходимо, следовательно, сначала прологарифмировать исходное выражение, продифференцировать результат и перейти от дифференциала к конечным приращениям. Например, логарифмируем выражение (2.6): lnS = lnS₁ + lnS₂ + lnS₃. Теперь дифференцируем и, переходя к конечным приращениям, сразу получаем:

Для определения второй (аддитивной) составляющей погрешности Xо введем на вход каждого из трех элементарных ИП сигналы ΔX_i, где i = 1, 2, 3 (см. рисунок 2.4), эквивалентные приведенным к входам значениям аддитивных погрешностей каждого звена. Затем трансформируем эти сигналы на вход измерительной цепи; их сумма даст

. (2.8)

Выражения (2.6) и (2.7) показывают, что γ_S не зависит от порядка расположения элементарных ИП в измерительной цепи. А величина ΔХo, как видно из (2.8), зависит от порядка включения ИП: чем ближе к входу включен элементарный ИП, тем более жесткие требования надо предъявлять к нему по дрейфу нуля и помехоустойчивости. Например, если первый и второй преобразователи являются усилителями с номинальными коэффициентами усиления 10, то погрешность нуля первого преобразователя полностью войдет в результат преобразования, второго – только одна десятая часть, а третьего – вообще одна сотая.

Теперь включим в схеме обратную связь. Как показано выше, крутизна функции преобразования ИП с обратной связью S_{o c} равна

, (2.9)

где β – коэффициент передачи цепи обратной связи.

Прологарифмировав (2.9), взяв производную, помножив на соответствующие приращения и приведя подобные члены, придем к следующему выражению в конечных приращениях:

; (2.10)

при условии βS » 1 полученное выражение упрощается

где γ_β = Δβ/β; _S – из (2.7).

Из последнего уравнения видно, что относительная погрешность чувствительности обобщенного ИП с обратной связью определяется двумя слагаемыми. Если Sβ » 1, то первое слагаемое становится малым и, при достаточно хорошей стабильности звена обратной связи (т.е. малости слагаемого γ_β = Δβ/β), мультипликативная погрешность канала существенно понижается.

Как физически можно добиться выполнения условия Sβ » 1 при том, что β меньше единицы? Очевидно, для этого необходимо использовать усилитель в цепи прямой передачи сигнала с коэффициентом усиления S, стремящемся к бесконечности.

Обеспечить стабильность цепи обратной связи часто бывает проще, чем создавать высокостабильный ИП. Например, для измерительного усилителя цепь обратной связи может представлять собой делитель на резисторах, добиться стабильности которого неизмеримо проще, чем усилителя без обратной связи.

Становится понятным как можно понизить мультипликативную составляющую погрешности ИП: необходимо ввести отрицательную обратную связь; причем чувствительность цепи прямого преобразования S должна быть возможно большей.

Определим вторую составляющую погрешности в схеме с обратной связью, т.е. найдем выражение эквивалентного сигнала (ΔXo)ос, действующего на входе и вызывающего на выходе измерительной цепи такой же эффект, какой вызывают эквивалентные сигналы погрешности нуля ΔX₁, ΔX₂, ΔX₃.

На выходе измерительной цепи искомый эффект выражается уравнением

.

Разделив обе части последнего выражения на чувствительность замкнутой измерительной цепи, получим:

(2.11)

Правые части (2.8) и (2.11) совпадают. Следовательно, обратная связь нисколько не изменяет величину аддитивной погрешности составного ИП.

Что же следует из проведенного анализа?

Во-первых, общая аддитивная погрешность последовательности ИП в измерительном канале зависит от порядка подключения отдельных ИП, а мультипликативная – нет.

Во-вторых, мультипликативная погрешность может быть уменьшена введением отрицательной обратной связи, аддитивная погрешность – нет.

Главный вывод: при построении измерительного канала необходимо стремиться к тому, чтобы ИП имел тем меньшую аддитивную погрешность, чем он ближе подключен в канале к измеряемой физической величине.

Понятно, что наиболее жесткие требования предъявляются к первому в канале конструктивно обособленному ИП, который, повторим, называется датчиком. На датчик в максимальной степени действуют внешние дестабилизирующие факторы и неинформативные параметры измерительного сигнала (вибрации корпусов агрегатов; пульсации давлений и изменения температуры в измеряемой среде и окружающем пространстве, электромагнитные помехи и т.д.), сильно влияющие на погрешность преобразования. По указанным причинам разработка датчиков является для техники измерений наиболее сложной и актуальной задачей.