4.4 Электростатическое поле

Электрическое поле, наряду с гравитационным и магнитным полями, наиболее часто встречающееся силовое поле. Указанные универсальные поля определяют взаимодействие частиц как внутри вещества на микроскопическом уровне (между ядрами атомов и электронами, между атомами и молекулами), так и на уровне макроскопическом, определяя все многообразие электромагнитных и гравитационных явлений. В измерительной технике гравитационное поле не имеет сколь ни будь существенного значения, и мы его отдельно рассматривать не будем.

Источником электрического поля являются элементарные заряды электрона и протона. Заряды эти равны между собой (1,60219ּ10^-19 Кл) и противоположны по знаку в том смысле, что электрон от электрона отталкивается (и протон от протона), а электрон к протону притягивается. Условно заряд электрона назван отрицательным, а протона положительным.

Природа электрических зарядов не ясна, но известно, что:

- электрическая сила отталкивания между двумя электронами в 10⁴⁰ больше их гравитационного притяжения. Именно поэтому строение веществ, их химические, механические, тепловые и другие макроскопические свойства определяются электрическими силами;

- величина заряда частиц остается постоянной при любой скорости их движения. Уникальное свойство, поскольку, согласно теории относительности, тела, в зависимости от относительной скорости движения, меняют геометрические размеры, массу и другие физические параметры.

В 1785 г. Шарль Кулон открыл основной закон взаимодействия электрических зарядов, названный его именем: если имеются две группы точечных зарядов q₁ и q₂, то сила взаимодействия между ними F в вакууме определяется выражением

. (4.13)

где e – единичный вектор направления от заряда q₂ к q₁;

r – расстояние между зарядами;

ε₀ – константа, называемая электрической постоянной; по сути – это постоянный коэффициент, определяемый выбором системы единиц; в системе СИ константа равна 8,85·10^-12 Ф/м.

Довольно часто закон (4.13) пишут в скалярной форме, словесно дополняя (или предполагая по умолчанию), что речь идет о выделенном направлении – прямой между зарядами. В этом случае единичный вектор e из выражения (4.13) исчезает. Такая запись неудачна. Это видно, если задать основной вопрос электростатики: как две (или больше) группы разнесенных в пространстве зарядов q₁ и q₂ воздействуют на третий заряд q₃? Найти ответ без векторного представления направлений и сил не удастся.

Сформулированную задачу можно решать непосредственно, используя (4.13), но в этом случае любая замена величины или положения в пространстве заряда q₃ потребует полного повторения всех выкладок.

Поэтому поступают следующим образом: рассматривают воздействие некоторой группы зарядов q₁, помещенной в точку пространства с нулевыми координатами, на единичный заряд q₂, помещенный в точку 1 пространства. Сила взаимодействия зарядов F(1) определится по закону Кулона. Можно сказать по-другому: сила F(1) описывает нечто (названное электрическим полем), существующее в точке 1 и при отсутствии в ней единичного заряда q₂, а при помещении такого заряда – проявляющее себя как сила. Такое представление позволяет описать поле зарядов q₁ без привлечения второго заряда q₂. Для этого выражение (4.13) нужно поделить на q₂. Полученная величина называется напряженностью электрического поля E(1) и она характеризует действие всех зарядов, кроме q₂ в точке пространства, обозначенной цифрой 1. Размерность напряженности – В/м. Теперь получить значение силы, действующей на любой заряд в точке 1, не представляет трудности – для этого достаточно напряженность поля в точке 1, умножить на величину заряда, например q₃, помещенного в эту точку:

F(1) = E(1)· q₃. (4.14)

Введение понятия напряженности поля имеет глубокий смысл, поскольку позволяет разделить задачи расчета поля и расчета количества зарядов, вносимых в его отдельные точки.

Если заряды распределены в пространстве, то их напряженность E(1) в точке 1 определяется векторным суммированием напряженностей от отдельных групп зарядов:

, (4.15)

где q_j – заряд j – той группы;

r_1j – расстояние от точки 1 до j – той группы зарядов;

e_1j – единичный вектор от точки 1 по направлению зарядов j – той группы.

Теперь предположим, что в поле зарядов E перемещается малый заряд q₁ из точки a в точку b. При этом, как известно из механики, совершается работа, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения вдоль траектории движения (рисунок 4.2).

П

ри перемещении заряда против действия сил поля, совершается работа W, равная минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрированной по этому пути; если заряд переносится из точки a в точку b, то

,

или при перемещении единичного заряда

. (4.16)

Допустим, перемещение единичного заряда из a в b шло по верхней траектории, а обратно – по нижней. Чему будет равна полная работа? Поскольку первое перемещение выполнялось против сил поля, то обратное – по направлению сил и работа имеет знак плюс; сумма работ переноса заряда от a до b и обратно равна нулю.

Если бы сумма работ по замкнутому контуру не была равна нулю, то выбирая соответствующим образом пути перемещения из точки a в b и обратно, мы получали бы работу без затраты энергии, т.е. вечный двигатель. Равенство нулю интеграла (4.16) по замкнутому контуру означает, что величина работы зависит только от разности потенциальных энергий точек a и b, называемой напряжением U и не зависит от формы пути:

, (4.17)

где φ(a) – потенциальная энергия единичного заряда после совершения работы по переносу его из бесконечности (где напряженность поля равна нулю) в точку a;

φ(b) - потенциальная энергия единичного заряда после совершения работы по переносу его из бесконечности в точку b.

Вычисляется потенциал любой точки поля достаточно легко. Например, для вычисления потенциала точки b необходимо в интеграле (4.17) нижний предел заменить бесконечностью, а путь, по которому заряд q переносится из бесконечности считать прямой линией (работа ведь не зависит от траектории переноса заряда). Получим:

.

Потенциал от действия j групп зарядов q_j в контролируемой точке 1 будет равен

, (4.18)

где r_1j - расстояние от точки 1 до j – той группы зарядов.

Последнее выражение позволяет сделать два важных вывода:

- Для расчета работы, выполняемой зарядами в электрических полях достаточно вычислить скалярное поле потенциалов, что существенно легче, чем расчет трехмерных векторов, описывающих напряженность поля.

- Электрические поля обладают свойством суперпозиции, т.е. поле каждой группы зарядов (или их потенциалы) действуют независимо от действия других зарядов (потенциалов), а суммарный эффект есть сумма действия отдельных потенциалов.

На этих свойствах базируются все расчеты линейных электрических цепей. Например, на какой-то элемент (для определенности - катушку с металлическим проводом, называемую индуктивностью) действует переменное и постоянное электрические поля. Суммарное движение зарядов в проводе катушки, называемое током, рассчитывают в два этапа: на первом этапе вычисляют отдельно движение зарядов от постоянного поля, отдельно от переменного, а на втором этапе - суммируют результаты расчетов.

Для перехода от скалярного поля потенциалов к векторному полю напряженностей, достаточно продифференцировать выражение (4.17) по координатам. В итоге получится: E = - grad φ.

В заключение рассмотрим практически важную систему двух разнесенных равных по величине, но разноименных, точечных зарядов +q и –q, называемую диполем. Примем, что расстояние между зарядами считается от отрицательного к положительному, т.е. расстояние l – вектор, длиной l. Как пример подобной системы можно указать на полярные молекулы, например, молекулу воды Н₂О. В ней атомы водорода расположены не симметрично относительно атома кислорода, а под углом в 105⁰. Поэтому суммарный отрицательный заряд иона кислорода несколько смещен относительно суммарного положительного заряда ионов водорода и образуется диполь.

Рассмотрим потенциал поля, образуемый диполем на большом расстоянии от самих зарядов. «Большое расстояние» означает, что расстояние между зарядами l пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется потенциал системы.

На рис.4.3 изображен диполь, у которого начало координат помещено в точку О, удаленную от обоих зарядов на l/2 и точка в пространстве N, удаленная на расстояние r от начала координат, в которой необходимо вычислить величину поля от действия зарядов диполя.

Обозначим расстояние от зарядов – q

-q

и + q до т

-q

-q

очки N соответственно через r_- и r₊, а угол между вектором l и единичным вектором e_r направления на точку N, через α. Поскольку l/2 « r, можно записать

(4.19)

.

В выражениях учтено, что длина диполя l, умноженная на cosα является проекцией вектора l на направление единичного вектора e_r, т.е. скалярным произведением указанных векторов.

Потенциал в точке N, согласно (4.18) равен

.

Произведение в знаменателе r₊ r_- можно приближенно заменить на r², а разность длин в числителе, с учетом (4.19), равна l·e_r. Следовательно

(4.20)

где p = q·l – вектор, называемый электрическим моментом диполя и совпадающий по направлению с вектором l.

С учетом того, что модуль вектора e_r равен единице, (4.20) можно записать в скалярной форме

. (4.21)

Конец радиуса – вектора r описывает в пространстве шаровую поверхность. Потенциал диполя в разных точках этой поверхности будет различен и, как видно из (4.21), определяется углом α. В частности, при α = 0, т.е. в направлении вектора l, потенциал равен

,

а в направлении, перпендикулярном вектору l, когда α = π/2, .

Полученный результат показывает, что потенциал на оси диполя меньше, чем для одиночного заряда одного знака, поскольку в знаменателе (4.21) стоит квадрат расстояния. А факт равенства нулю потенциала на плоскости, перпендикулярной вектору l, соединяющему заряды, естественен – потенциалы равные по величине, но противоположные по знаку взаимно компенсируются. Последнее, однако, не означает, что и напряженность поля E(α) при α = π/2 равна нулю. Вычислив grad φ(N) и задавшись α = π/2, получим величину так называемой поперечной компоненты напряженности поля, направленной параллельно вектору электрического момента:

. (4.22)

Если диполь с электрическим моментом p поместить во внешнее электрическое поле напряженностью E_В, то на заряды будут действовать силы, равные, согласно закону Кулона, по модулю qE, но противоположно направленные по направлению вектора напряженности E_В. Как известно из теоретической механики, пара противоположно направленных сил образует механический момент М, равный произведению силы на длину плеча, перпендикулярного действующим силам.

Модуль механического момента сил равен в нашем случае М = р·Е_В·sinα, где α – угол между векторами электрического момента p и напряженности E_В. Момент М стремится повернуть диполь вдоль вектора напряженности E_В так, чтобы к зарядам, создавшим поле, ближе находился заряд диполя противоположного знака. Поскольку произведение модулей двух векторов на синус угла между ними есть модуль векторного произведения векторов, можно выражение момента записать в векторной форме:

. (4.23)