2.3 Аддитивные и мультипликативные погрешности ип

В теории ИП оказывается весьма важным разделение погрешности преобразователя на составляющие в зависимости от изменения их значений при изменении входной величины x по диапазону преобразования.

Если реальная функция преобразования f_Р (на рисунке 2.2,а обозначена цифрой 1) смещена относительно номиналь­ной 2 (рисунке 2.2,а) так, что при всех значениях преобразуемой ве­личины x выходная величина у оказывается больше (или меньше) на одну и ту же величину ₀, то такая погрешность называется

аддитивной (по - латински «получаемая путем сложения») или погрешностью нуля. Если она является систематической, то есть постоянной по величине и неизменной во времени, то она может быть скорректирована путем смещения шкалы или смещения нулевого положения указателя. Для выполнения этой операции во многих приборах предусматривается электрическое или механическое устройство установки нуля (так называемый «корректор»).

Если же аддитивная погрешность является случайной, то она не может быть скорректирована, и реальная характеристика, сме­щаясь произвольным образом (оставаясь параллельной самой себе), образует полосу погрешностей, ширина которой остается по­стоянной для любых значений х, как это показано на рис. 2.2, б.

Аддитивные погрешности возникают от постороннего груза на чашке весов при взвешивании, от неточной установки приборов на нуль перед измерением, от термо-э.д.с. в цепях постоянного тока и т. п.

Изменения чувствительности S преобразо­вателя (коэффициента усиления усилителя, коэффициента деления делителя, добавочного сопротивления вольтметра) ведут к тому, что абсолютная погрешность изменяется по диапазону преобразования и характеристика 1 преобразователя отклоняется от но­минальной 2 так, как это показано на рисунке 2.2, в. Если отклонения являются слу­чайными, то они образуют полосу погрешностей (рисунок 2.2, г).

Как видно из рисунка, возникающие вследствие этого абсолютные погрешности оказываются пропорциональными текущему значению преобразуемой величины x, и поэтому такая погрешность называется мультипликативной (по - латински «получае­мая путем умножения») или погрешностью чувстви­тельности.

Таким образом, погрешность преобразователя мы представили в виде двух компонентов: аддитивной (погрешность нуля) и мультипликативной (погрешность чувствительности). Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно утверждать, что _y1 = ₀ = 10 мкВ есть погрешность нуля данного усилителя (поскольку имеет место при нулевом значении входного сигнала). При входном сигнале x₂ = 20 мкВ погрешность складывается из погрешности нуля ₀ = 10 мкВ (еще раз подчеркиваем, что погрешность нуля постоянна во всем диапазоне изменения входной величины) и погрешности чувствительности _y2S, равной _y2S = _y2 - ₀= 200 – 10 = 190 мкВ.

Создается впечатление, что аддитивная составляющая погрешности, неизменная во всем диапазоне преобразования (в силу своей малости), несущественна по сравнению с мультипликативной составляющей, растущей вместе с входным сигналом. Поэтому аддитивной составляющей можно пренебречь, сосредоточившись на анализе и парировании мультипликативной погрешности.

Недопустимость подобного упрощения становится понятной, если рассмотреть относительные погрешности. Значения относительной аддитивной погрешности (х) = ₀/x оказываются обратно пропорциональными х: при больших входных величинах х значения (х) малы, но стремятся к бесконечности при приближении х к нулю. В этом заключается основное отрицательное свойство аддитивных погрешностей, не позволяющее использовать один и тот же преобразователь для преобразования как больших, так и малых физических величин.

Чтобы относительная величина погрешности ИП не возрастала по мере уменьшения х, абсолютная погреш­ность преобразователя должна быть чисто мультипликативной. Тогда характеристика преобразователя, с учетом погрешности, описывалась бы выражением y = S(1  _S)x, где s — относительная погрешность изменения чувствительности. Абсолютная ширина полосы неопределенности в этом случае была бы пропорциональна преобразуемой величине х как d = 2_S··x, а относительная погрешность _S оставалась бы постоянной для любых малых значений х, ибо при х = 0 была бы равна нулю абсолютная погрешность преобразователя d.

Однако такой идеальный случай практически не осуществим, так как невозможно построить ИП, полностью ли­шенный аддитивных погрешностей. Эти погрешности в виде погрешностей от шума, дрейфа, трения, наводок, неизбежны в любых типах измерительных преобразователей. Поэтому у реальных ИП полоса неопределенности характеристики выглядит так, как это показано на рисунке 2.1.

Функция преобразования реального ИП, с учетом аддитивной ±₀, и мультипликативной ± _S составляющих погрешностей, приобретает вид

у = S(1 ± _S) (х ± ₀).

Производя умножение в правой части выражения и пренебрегая произведением двух малых величин _S ·₀, получим значение выходной величины в виде

у = Sх ± S₀ ± S_S х. (2.4)

Выражение (2.4) отображает важное принципиальное свойство измерительных преобразователей – наличие погрешностей приводит к тому, что одному значению входной физической величины х могут соответствовать различные значения выходной величины у. Это значит, что величина у отображает входную величину х не одним значением, а в интервале погрешностей (с учетом возможных знаков перед составляющими погрешности) y = ±(S₀ + S_S х).