9.5.1 Вводные замечания

Рассмотренная в п. 9.4 модель жидкости может быть использована для описания и анализа движения реальной жидкости постоянной температуры, плотности, состава при малых скоростях течения в областях, удаленных от твердых поверхностей. Твердыми могут быть стенки трубы, корпус корабля или элементы ИП, помещенные в поток.

Чем определяется влияние твердых тел на закон движения жидкости? Тем, что их скорость не совпадает со скоростью движения жидкости или газа: стенки трубы неподвижны, скорости судна или самолета существенно отличаются по направлению и модулю от скорости потока. А реальные жидкости состоят из связанных силами взаимодействия молекул. Те молекулы, что непосредственно касаются молекул твердого тела (например, стенок трубы) прилипают к нему и скорость прилипшего тонкого слоя жидкости равна нулю. За счет сил притяжения тонкий слой неподвижной жидкости препятствуют свободному движению молекул следующего слоя. Возникающие силы называются молекулярными, в отличие от рассмотренных в п. 9.4, называемых массовыми.

При рассмотрении объема жидкости как неразрывного целого, молекулярные силы называются вязкостью и, как было указано в п. 9.2.2, напряжение вязкой силы τ описывается уравнением Ньютона (9.3). Каждая жидкость характеризуется своим динамическим μ или кинематическим ν коэффициентами вязкости, определяемыми экспериментально.

У большинства жидкостей величины коэффициентов вязкости весьма малы и влияют на перестройку скоростей потока в весьма малой области у поверхности твердых тел, называемой пограничным слоем. Однако подобное утверждение не дает представления ни о толщине пограничного слоя, ни о характере скоростей вне и внутри пограничного слоя, ни о характере энергетических процессов в реальных жидкостях. Конечно, на таком уровне знаний понять работу, а тем более разрабатывать ИП, не представляется возможным.

С другой стороны, процессы в реальных жидкостях настолько разнообразны и сложны, что полное изложение всех их особенностей можно найти только в подробных курсах гидродинамики. Мы рассмотрим отдельные, наиболее важные, с точки зрения функционирования ИП, вопросы.

Как указывалось в п. 9.1, общего решения дифференциального уравнения движения вязкой жидкости не существует. А частные решения получаются анализом физических условий течения жидкости и исключением из уравнений слагаемых второго порядка малости.

Поясним сказанное следующим примером [18]. Имеется пористая труба высотой h и диаметром d, через которую течет жидкость. Если высота цилиндра и диаметр одного порядка, т.е. d/h ≈ 1, то торцевые поверхности и боковая поверхность величины одного порядка. Физические эффекты при этом (например, количество жидкости, проходящей через торцевые и боковую поверхность) также одного порядка и они в равной мере должны учитываться при расчете. В случае же, когда d/h « 1 (цилиндр бесконечной длины) достаточно рассмотреть задачу определения течения через боковую поверхность. В другом крайнем случае, когда d/h » 1 (труба вырождается в тонкое кольцо) задача сводится к расчету течения через торцевые поверхности.

Таким образом, для величин одной физической природы x и y, которые в конкретных условиях могут принимать значения близкие к x₀ и y₀ критерием порядка будет отношение y₀/x₀: если отношение близко к единице, например, y₀/x₀ = 0,5, то величины будут считаться одного порядка. Действительно, число 0,5 никак нельзя считать бесконечно малым второго порядка малости, следовательно, y₀, будучи в два раза меньше параметра x₀, остается с ним одного порядка.

Для дальнейшего анализа осталось определить порядок производных функций, описывающих рассматриваемый процесс. Предположим, что параметр y функционально связан с аргументом x, причем вид функции y = f(x) не известен. Дополнительно известны значения (y₁ и y₂) функции при крайних значениях (x₁ и x₂) аргумента. Для упрощения выражений (без потери общности решения) будем считать, что y₁ = 0 и x₁ = 0. Необходимо определить порядок производной

.

Поскольку вид функции y = f(x) и ее производной порядка m не известен, то указать закон изменения функции z не представляется возможным. Но, считая исходную функцию гладкой, можно утверждать, что производная функции изменяется в конечном диапазоне при изменении аргумента x в интервале x₀ = x₂ – x₁ = x₂. Поэтому можно подобрать такое постоянное значение z, которое обеспечит выполнение условия равенства значений исходной функции y = f(x) на концах диапазона изменения аргумента.

Теперь задача формулируется так: найти такую функцию φ(x), значения которой совпадают на концах диапазона с f(x) и m - ная производная которой является постоянным числом. Запишем все условия, которыми определяется искомая функция:

φ(0) = 0; φ(x₂) = y₂; .

Сформулированным условиям отвечает степенная функция

φ(x) = ax^m, (9.23)

значение которой в конце диапазона равно ; откуда

.

Подставив значение a в (9.23) и взяв производную, получим

.

Поскольку далее будут рассматриваться производные порядка не выше второго, то факториал не влияет на порядок малости и за меру производной логично принять величину

. (9.24)

Полученные соотношения порядка позволяют сделать оценочный анализ факторов при движении реальной вязкой жидкости.

9.5.2 Оценка пограничного слоя. Критерий Рейнольдса

Рассмотрим движение невозмущенного потока вязкой жидкости с постоянной скоростью U₀, набегающего на твердую пластину длиной L (рисунок 9.8). В слое жидкости, прилегающем к твердой поверхности, за счет сил вязкости, скорость потока u(y) будет изменяться от нуля на твердой поверхности до U₀. Слой, толщиной δ, в котором скорость потока непостоянна, называется пограничным слоем. Выше пограничного слоя вязкость жидкости не сказывается и можно рассматривать течение как течение идеальной жидкости.

Какими силами определяется толщина пограничного слоя? Таких силы две:

- сила, определяемая кинетической энергией потока, т.е. массовая сила, обеспечивающая движение жидкости;

- сила вязкости, препятствующая перемещению слоев жидкости относительно неподвижной пластины.

Очевидно, что толщина пограничного слоя характеризуется той областью течения, в которой силы вязкости являются одного порядка с массовыми силами. Установим толщину этой области. Для этого рассмотрим элемент жидкости и определим величины действующих на него сил (рисунок 9.9).

Предположим, что жидкость движется параллельно оси x и поступает в выделенный элемент объема со скоростью u. Сила трения на нижней грани выделенного объема равна напряжению трения τ_Н, умноженному на площадь грани dx·dz. А само напряжение трения по грани ABCD, согласно уравнению Ньютона, равно (см. п. 9.2.2)

.

На верхней грани MNLE напряжение изменится на величину приращения по оси y, т.е. будет равно

.

Приращение значения касательного напряжения при переходе от нижней грани к верхней будет равно

и, следовательно, сила трения на выделенном элементе равна

,

где dV = dxdydz – элемент объема.

С учетом выражения для напряжения τ, окончательно формула для силы трения, действующей на выделенный элемент жидкости, приобретает вид

. (9.25)

Теперь определим значение массовой силы dF_M, уравновешивающей силу трения в том же элементе жидкости. Для этого достаточно потерю кинетической энергии при прохождении расстояния dx поделить на пройденный путь (см. рисунок 9.9):

. (9.26)

В последнем выражении исключено слагаемое (du)², являющееся величиной второго порядка малости, и учтено, что элемент массы равен плотности жидкости ρ, умноженной на элементарный объем dV.

Поскольку потери силы на перемещение жидкости равны силе трения, то, приравнивая (9.25) и (9.26), получаем равенство

. (9.27)

Точное решение дифференциального уравнения заменим оценками, воспользовавшись данными п. 9.5.1. Логично считать, что пограничный слой кончается там, где скорость жидкости u(y) близка к скорости невозмущенного потока, т. е. скорость u имеет порядок U₀.

Длина x по направлению потока имеет порядок длины пластинки L, а в перпендикулярном направлении, по оси y, размер имеет порядок толщины пограничного слоя δ. С учетом соотношения (9.24) получаем вместо точного соотношения (9.27) приближенное равенство

.

В левой части выражения учтено, что порядок u есть U₀, а порядок есть U₀/L. Домножив левую и правую часть выражения на L, и выполнив элементарные преобразования, получаем значение толщины пограничного слоя в долях характерного размера (длины пластины L)

, (9.28)

где учтено, что отношение динамической вязкости μ к плотности жидкости ρ есть коэффициент кинематической вязкости ν.

Стоящая в правой части выражения безразмерная величина является обратной важнейшему критерию подобия гидродинамики, а именно, критерию Рейнольдса Re:

. (9.29)

Остановимся на анализе критерия Рейнольдса более детально. В критерий входят скорость, линейный размер и вязкость. Если речь идет о течении жидкостей в трубах, то под скоростью понимают ее максимальное значение (как правило, по оси трубы), а под линейным размером – диаметр трубы.

Критерий выражает соотношение между массовыми силами потока и силами вязкости (трения, сопротивления движению). Если числитель выражения существенно больше знаменателя, то силами вязкости реального потока можно пренебречь при анализе течения жидкости (правда, при этом возникают другие эффекты, которые не упрощают модели движения). И наоборот, если числитель не очень большой (как показали многочисленные эксперименты, при Re ≤ 2000), поток имеет строго упорядоченный характер, описываемый достаточно точными математическими моделями.

Особая ценность критерия Рейнольдса заключается в том, что он является критерием подобия гидродинамических процессов. Это позволяет, исследовав течения жидкости в трубе одного диаметра, распространить полученные результаты (эпюры скоростей, величины гидравлических сопротивлений и т.д.) на трубы других диаметров, другие жидкости и другие скорости при условии сохранения значений критерия.

Конечно, критерием подобия необходимо пользоваться осознанно, понимая эквивалентность используемых моделей. Например, если исследование течения в трубе с водой диаметром 1,5 м заменить исследованием течения в трубе диаметром 0,015 м (увеличив пропорционально скорость течения), то результаты исследований не будут подобны. Дело в том, что для трубы большого диаметра шероховатость ее внутренней поверхности не имеет существенного значения, а для течения жидкости в трубе малого диаметра – это важный неучтенный фактор, и условия подобия процессов не будут соблюдены. Другими словами, модели течений в рассмотренном примере не будут подобны.

Теперь вернемся к выражению (9.28) и запишем его в следующей форме:

. (9.30)

Из последнего выражения видно, что относительная толщина пограничного слоя обратно пропорциональна корню квадратному из критерия Рейнольдса. Следовательно, критерий Рейнольдса выступает как показатель структуры потока. Экспериментами установлено, что при Re ≤ 2000 поток имеет вполне упорядоченную структуру; режим течения при этом называется ламинарным. При значениях Re ≥ 5∙10⁴ течение приобретает устойчивый стационарный характер, называемый турбулентным; его полное теоретическое описание отсутствует, но известны твердо установленные экспериментально основные свойства. Между ламинарным и турбулентным режимами находится переходная зона, в которой скорости отдельных составляющих потока не стационарны, и дать ее теоретическое описание не представляется возможным.

Далее мы несколько подробнее рассмотрим ламинарный и турбулентный режимы течения. Но, с точки зрения измерительных преобразователей, необходимо ясно понимать, что функции преобразования ИП и возникающие погрешности преобразования в определяющей степени зависят от адекватности модели течения жидкости (или газа) реальным процессам в трубопроводах.

9.5.3. Ламинарный режим течения

Рассмотрим течение вязкой жидкости в гладкой цилиндрической трубе между сечениями 1 и 2, находящимися на расстоянии l (рисунок 9.10). По условию скорость потока такова, что критерий Рейнольдса менее 2000.

Поскольку участок трубы длиной l имеет постоянное сечение, то и скорость потока в нем в установившемся режиме неизменна (по свойству неразрывности потока). В то же время, у реальных жидкостей движению противодействует сила трения (вязкость). За счет чего в таком случае поддерживается постоянство скорости? За счет падения статического давления.

Если обозначить статические давления в соответствующих сечениях через p₁ и p₂, то потеря силы будет определена площадью поперечного сечения πy², умноженная на падение давления на рассматриваемом интервале (p₁ - p₂). Указанная сила равна силе трения, определяемой как касательное напряжение τ, умноженное на площадь поверхности цилиндра длиной l, т.е. 2π· ·y· l. Получается следующее равенство:

,

откуда .

В последнем выражении касательное напряжение τ заменим его значением по уравнению Ньютона:

. (9.31)

В левой части выражения поставлен знак минус, поскольку при выбранных направлениях координатной системы (координата y нарастает от оси трубы к ее поверхности), приращение скорости имеет отрицательный знак: на оси скорость максимальна, а с ростом y понижается до нуля на поверхности трубы.

Разделяя переменные, получаем интегральное выражение, описывающее изменение скорости потока в поперечном сечении:

или, с учетом того, что u(-r) = 0 (на стенке трубы скорость равна нулю)

. (9.32)

Из (9.32) видно, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения распределение скорости имеет форму параболоида вращения (рисунок 9.10). На стенке трубы (при y = ± r) скорость равна нулю, а в центре потока (при y = 0) она максимальна и равна

. (9.33)

Полученные результаты ясно показывают необходимость уточнения понятия «скорости потока», прежде чем приступать к преобразованию расхода (пусть даже объемного) в другую физическую величину. Действительно, если измерять скорость потока около стенки трубы и умножать результат на площадь поперечного сечения трубы, то расход будет занижен, а если измерять скорость потока по оси, то расход будет завышен.

Для корректного преобразования объемного (или массового) расхода, необходимо, как было указано в п. 9.4.1, предварительно определить среднюю скорость потока. В случае распределения скоростей потока по форме параболоида вращения, средняя скорость определяется из следующих соображений. Как известно из геометрии, объем тела, образованного параболоидом вращения, равен произведению площади основания на половину максимальной высоты, т.е. средняя скорость u_C = u_m/2. Откуда функция преобразования объемного расхода приобретает вид (средняя скорость, умноженная на площадь поперечного сечения трубы):

. (9.34)

Теперь становится понятно, как можно измерить объемный расход. Во – первых, необходимо изготовить участок трубопровода калиброванного радиуса r и длины l c возможно малыми погрешностями и шероховатостью (такие участки называются мерными). Во – вторых, установить мерный участок в ту область трубопровода, в которой нет поворотов или запирающих устройств. Это обеспечит стабилизацию и симметрию эпюры скорости потока относительно оси мерного участка. Условие весьма существенное, поскольку, как было показано в п. 9.4.3, даже для идеальной жидкости непостоянство сечения трубы, повороты и другие местные нарушения геометрической формы ведут к изменению структуры потока (завихрениям, закрутке и т.д.).

Далее можно выбрать один из двух вариантов.

Вариант первый. Вывести в начале и конце мерного участка трубки малого диаметра так, чтобы их оси были перпендикулярны вектору скорости потока. В этом случае в трубках установятся статические давления p₁ и p₂ соответственно (как в трубке Пито большего диаметра). Противоположные концы трубок подключить к преобразователю разности давлений, выходной сигнал которого будет функцией разности давлений (перепада) p₁ – p₂. Далее по выражению (9.34) вычислять текущие значения объемного расхода.

Вариант второй. По оси мерного участка установить трубку Пито, к которой подключить преобразователь разности давлений. Выходной сигнал ИП разности давления будет функцией динамического давления (см. п. 9.4.2). По значениям динамического давления р_Д и известной плотности жидкости ρ вычислять максимальную скорость на оси мерного участка

.

А далее определять величину объемного расхода как произведение площади поперечного сечения трубы πr² на среднюю скорость потока, равную u_m /2.

9.5.4 Турбулентный режим течения

С ростом скорости потока (Re ≥ 5∙10⁴) отдельные элементы жидкости начинают двигаться хаотически, например, за счет соударений с шероховатостями стенок. После соударения с выступающей шероховатостью вектор скорости элемента жидкости приобретает составляющую, перпендикулярную оси потока и он внедряется в слои, расположенные ближе к оси потока. Поскольку элемент имеет относительно малую скорость по оси потока (он пришел из пограничного слоя), то изменяет модуль и направление векторов скоростей других элементов жидкости с большей скоростью, понижая ее. В итоге меняется характер движения жидкости – движение становится в каждой точке пульсирующим и хаотичным.

Судить о средней скорости потока по результатам измерений мгновенных скоростей в любой точке не представляется возможным. Однако, исследования показали, что скорость турбулентного течения можно представить в виде двух составляющих – средней скорости в определенной точке поперечного сечения трубы u_ср и пульсационной составляющей u_п, среднее значение которой за определенный интервал наблюдения равно нулю:

u = u_cp + u_n.

Если измерительный преобразователь инерционный (относительно частоты пульсаций), то он выполняет операцию усреднения скорости и выходной сигнал оказывается функционально связанным со средней скоростью.

По указанным соображениям можно формально считать, что скорость в отдельной точке поперечного сечения (и эпюра скоростей) соответствуют u_cp.

Относительная толщина пограничного слоя

оказывается столь малой, что слабо влияет на поле скоростей и оно близко к равномерному (рисунок 9.11). Это обстоятельство упрощает конструкцию ИП расходов, поскольку можно считать объемный расход как произведение площади поперечного сечения трубы на среднюю скорость потока в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Функцию преобразования средней скорости в выходной сигнал ИП необходимо устанавливать по градуировке на специальной образцовой установке. При этом все условия по изготовлению мерного участка, сформулированные в предыдущем пункте, сохраняют свою силу и в данном случае.

Основная масса промышленных измерений расхода жидкостей и газов приходится на случаи измерения турбулентных потоков. Однако, учитывая переменный характер течений реальных жидкостей, связанных с изменением величин расходов (при, например, изменении параметров технологических процессов), температур, давлений газов (что резко изменяет их плотность, а как следствие – кинематический коэффициент вязкости) необходимо каждый раз анализировать принятую модель течения жидкости или газа. Цель анализа – проверить неизменность принятых в модели параметров потока и их соответствие условиям, при которых была получена функция преобразования ИП.

10 ИП НА ЭФФЕКТАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ

ПОЛЕЙ И ВЕЩЕСТВА

10.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Взаимодействие гидравлических полей и вещества приводит к многочисленным эффектам, на основе которых разрабатываются ИП различных параметров жидкости и газа (плотность, вязкость, коэффициент поверхностного натяжения, давления, температуры, скорость диффузии и т.д.).

Мы подробно остановимся на одном виде преобразователей – преобразователях расхода (объемного и массового). Методы и средства измерения расходов жидкостей и газов являются обширнейшим разделом теории и техники измерений. Это связано с:

- Необозримой областью применения подобных средств измерения – от измерения расходов растворов через мембраны клеток живых организмов до оценки количества океанической воды, переносимой течением Гольфстрим.

- Широким диапазоном скоростей перемещаемых веществ – от скоростей естественной конвекции газов при сушке древесины до сверхзвуковых потоков в аэродинамических трубах и на выходе сопел ракетных двигателей.

- Разнообразием условий (температур, давлений) измерений – от температуры жидкого водорода в трубопроводе подачи топлива ракетного двигателя до температуры расплавленного натрия в тепловом контуре атомного реактора.

- Многофазностью потоков. Вещество в трубе может быть в виде смеси нескольких жидкостей (нефть и вода из скважины), или жидкость с газом (паром), характерные для химических производств и электростанций; часто используют воду для транспортировки твердых веществ (каолин и целлюлоза, горные породы и растворы солей).

Перечисленные обстоятельства не исчерпывают своеобразия условий использования средств измерения расходов и, в первую очередь, преобразователей соответствующей физической величины в электрический сигнал. Но сказанного вполне достаточно для понимания того, почему при создании расходомеров применяют почти все известные физические эффекты – механические, электромагнитные, оптические, тепловые, ультразвуковые, радиоизотопные и т.д. [19].

Рассмотреть все типы преобразователей не представляется возможным; ниже мы остановимся на нескольких, широко применяемых в промышленности. Общая же рекомендация по применению соответствующих типов расходомеров (вопрос их разработки просто не будем обсуждать) одна – необходимо ясно и полно сформулировать условия выполнения измерений:

- указать свойства измеряемого вещества (вязкость, плотность, диапазон температур); структуру потока и его характер (течение ламинарное или турбулентное, стационарное или переменное, наличие асимметрии потока и завихрений);

- учесть диапазон возможных расходов и допустимую погрешность преобразования;

- уточнить допустимую степень влияния ИП на структуру потока или потерю статического давления в нем.

По результатам анализа выбрать из справочника наиболее приемлемую модель расходомера. Для выполнения измерений в типичных технологических процессах (расходы горячей и холодной воды в котельных и электростанциях; расход природного газа в магистральных газопроводах и сетях промышленных предприятий; расход нефти и нефтепродуктов при транспортировке и производстве и т.п.) существуют специально разработанные виды измерительных преобразователей, наиболее полно учитывающие особенности условий измерений.

10.2 РАСХОДОМЕР ПЕРЕМЕННОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ

Расходомер переменного перепада давления в простейшем случае состоит из отрезка трубы калиброванного диаметра D, поперек которой установлен тонкий диск с отверстием диаметром d (называемый сужающим устройством или диафрагмой). Перед диском и после него сделаны камеры для отбора статических давлений жидкости (или газа) P₁ и P₂, которые через трубки 1 и 2 подаются далее на входы ИП разности давлений (рисунок 10.1).

Метод преобразования основан на том, что с ростом скорости потока уменьшается его статическое давление (по уравнению Бернулли в идеальном случае). Следовательно, разность статических давлений до и после диафрагмы характеризует величину средней скорости вещества через диафрагму. А произведение средней скорости потока на площадь поперечного сечения струи после диафрагмы как раз и дает значение объемного расхода Q (см. п. 9.4.1).

Для вывода функции преобразования, рассмотрим происходящие процессы более подробно на модели (рисунок 10.2). В модели можно выделить три характерных участка: перед диафрагмой (сечение А-А), непосредственно после диафрагмы в самом узком сечении струи (сечение В-В) и участок восстановления исходной структуры потока (сечение C-C).

Статическое давление P_a в сечении А-А после диафрагмы спадает до значения P_b в сечении В-В. Если бы отбор давлений происходил в сечениях А-А и В-В, то выходной сигнал ИП разности давлений был бы функционально связан с разностью давлений Δ = P_a - P_b. Реально же, по конструктивным соображениям, отбор статического давления производится непосредственно за диафрагмой; в итоге разность давлений ΔP оказывается несколько меньше максимального значения разности давлений Δ.

Скорость потока v_a в сечении А-А, естественно, меньше, чем v_b в сечении В-В. После сечения В-В струя расширяется, скорость ее понижается до исходного значения v_c = v_a. Весь процесс изменения скоростей связан с безвозвратной потерей части статического давления, обозначенной на эпюре давлений как разность P_a – P_с. Причинами безвозвратной потери потенциальной энергии являются: резкое изменение профиля потока (подробно рассматривалась в п. 9.4.3) и тормозящая сила вязкости потока в области диафрагмы. На рисунке 10.2 сужающего устройства стрелками показаны обратные пристеночные потоки вещества, связанные с безвозвратной потерей давления.

Несколько упрощая принятую модель, а именно, считая, что давления и скорости определяются в сечениях А-А и В-В, можно записать уравнение Бернулли (9.14) для потока несжимаемой жидкости (вернемся к ранее принятым обозначениям средней скорости потока через букву u):

.

После элементарных преобразований, получаем зависимость скорости потока от разности статических давлений

. (10.1)

В последнее выражение входят две неизвестные величины скоростей потока до и после диафрагмы. Для получения однозначной определенности решения необходимо использовать второе уравнение, которым может служить уравнение неразрывности потока (9.11):

u_a ·S_a = u_b ·S_b,

где через S_a и S_b обозначены соответственно площади поперечных сечений трубы перед диафрагмой и струи в сечении В-В. Из уравнения неразрывности выразим скорость u_a через скорость u_b и подставим в равенство (10.1); элементарные преобразования дают зависимость скорости u_b через измеренную разность статических давлений

. (10.2)

Если скорость потока в сечении В-В умножить на площадь поперечного сечения струи, то получим величину объемного расхода вещества.

Но здесь необходимо сделать несколько замечаний. Во – первых, нам не известна площадь струи на выходе из отверстия диафрагмы. При изготовлении расходомера точно известен только диаметр отверстия d диафрагмы, а эксперименты показывают, что он существенно отличается от диаметра струи в сечении В-В. Во – вторых, в принятой модели не учитывается вязкость жидкости; отсутствует точная модель течения жидкости через отверстие диафрагмы (исследования показали, что эпюра скоростей в отверстии весьма сложна) и т.д.

Несовпадение принятой модели и реальной физической картины течения жидкости преодолевают следующим образом:

- отношение площади струи к площади трубы заменяется отношением площади отверстия диафрагмы к площади трубы (этот параметр называется модулем m): m = (d/D)² ≈ S_b / S_a;

- все неучтенные гидродинамические эффекты объединяют в один коэффициент, который называется коэффициентом расхода α;

- для случая измерения расхода газа вводится коэффициент ε, учитывающий расширение газа с увеличением скорости струи при понижении статического давления за диафрагмой; для несжимаемых жидкостей и газов при давлениях до 1 МПа ε = 1.

С учетом всего сказанного функция преобразования расходомера приобретает следующий вид

. (10.3)

Из анализа выражения (10.3) становится понятно, что к получению результатов преобразования разности давлений в объемный расход мы приблизились весьма слабо, поскольку отсутствуют данные о числовых значениях коэффициента расхода α, зависимости его величины от других физических величин – диаметров трубы и отверстия диафрагмы, вида жидкости и скорости ее течения, и т. д.

Э

Re

кспериментальные исследования коэффициента расхода, проводившиеся на протяжении десятилетий во многих странах и лабораториях, дали следующие результаты: величина коэффициента расхода является функцией модуля m и критерия Рейнольдса Re для потока перед диафрагмой (рисунок 10.3). Причем, для каждого значения модуля m имеется такое значение критерия Рейнольдса, начиная с которого коэффициент расхода α сохраняет значение, близкое к постоянному. Именно это обстоятельство, наряду с простотой и надежностью, сделало расходомеры переменного перепада давления весьма широко распространенным преобразователем.

Однако нельзя не обратить внимания и на другой аспект: прежде, чем использовать расходомер переменного перепада давления необходимо убедиться, что во всем диапазоне возможных изменений расходов будет сохраняться строго турбулентный режим течения. Другими словами, при всех расходах критерий Рейнольдса будет больше нижнего граничного значения на рисунке 10.3; практически это величина равна примерно Re = 2·10⁵. Уменьшением модуля m можно понизить границу допустимых скоростей потока (это понижает допустимое значение числа Re), но необходимо сознавать, что одновременно будут расти необратимые потери статического давления; мы это уже видели при анализе выражения (9.22). Как следствие, может потребоваться более мощный насос для прокачки жидкости при заданном расходе.

Теория течения идеальной жидкости (п. 9.4.3) дает еще одну возможность снизить потери – для этого вместо диафрагмы с резким изменением профиля течения необходимо установить узел с плавно изменяющимися величинами поперечного сечения. Подобные устройства называются соплами; у них один недостаток – сложность изготовления и, как следствие, высокая цена.

Вернемся к рассмотрению функции преобразования (10.3). Нелинейная зависимость между разностью давлений до и после диафрагмы и величиной расхода является еще одним существенным недостатком ИП. Например, при изменении расхода на 25%, разность давлений изменится только на 6%. Очевидно, что для обеспечения малой погрешности преобразования расхода придется подбирать ИП разности давлений высокой чувствительности с малой погрешностью.

Следующий недостаток – даже для преобразования объемного расхода необходимо иметь точные значения плотности вещества ρ. Преобразователи плотности движущихся жидкостей или газов в электрический сигнал весьма сложны и дороги. Чаще всего плотность определяют косвенно: измеряют текущие значения температуры жидкости, а для газов – еще и статическое давление перед диафрагмой; используя полученные данные, вычисляют по известным зависимостям текущие значения плотностей. Расходомер превращается в целую измерительную систему.

Знание плотности вещества позволяет модифицировать уравнение (10.3) для реализации преобразователя массового расхода: в соответствии с п. 9.4.1, достаточно объемный расход умножить на известную величину плотности

. (10.4)

Следовательно, получение информации о массовом расходе связано с изменением только вычислительных процедур, а вся аппаратная часть ИП полностью сохраняется.

И последнее. Проведенное рассмотрение достаточно сложных гидродинамических процессов в ИП расхода дает основание предположить появление существенных трудностей в достижении малых значений погрешности преобразования. Действительно, у реальных преобразователей расхода методом переменного перепада давлений приведенные погрешности измерений расхода весьма велики (до 2% для жидкостей и до 5% для газов). Однако, несмотря на недостатки, указанные ИП широко применяются на практике. Это обусловлено следующими важными достоинствами [19]:

- Универсальность применения. Они пригодны для измерения расхода любых жидкостей и газов в очень широком диапазоне изменения давлений, температур и расходов.

- Удобство массового производства. Наиболее сложные части – диафрагмы и преобразователи разности давлений могут изготавливаться крупными сериями, поскольку не зависят от рода вещества и величины расхода.

- Применение диафрагм, изготовленных по стандартам, делает ненужным применение образцовых расходомерных установок для установления конкретных значений параметров функции преобразования (10.3) или (10.4).

10.3 ТУРБИННЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ОБЪЕМНОГО РАСХОДА

Идея преобразователя весьма проста – установить в мерном участке трубопровода турбинку с лопастями (ротор) и оценивать величину объемного расхода по числу оборотов ротора. Упрощенный вид одной из конструкций подобного ИП показан на рисунке 10.4.

Основными частями ИП служат два преобразователя физических полей: первый – преобразователь поля скоростей жидкости или газа в число оборотов турбинки и второй – преобразователь магнитного поля в электрический сигнал. Второй преобразователь на рисунке 10.4 обозначен как вторичный преобразователь и к его рассмотрению мы вернемся позднее. В первую очередь остановимся на гидравлическом преобразователе (рисунок 10.4).

В корпусе 1 установлена неподвижная ось ротора 9, на которой закреплены подшипники 7, обеспечивающие вращение с малым трением турбинки 8. Существенную роль в снижении погрешности преобразования играют направляющий аппарат 3 (расположенные радиально полоски листового металла), обтекатели 10 и 6. Назначение указанных устройств – обеспечить стабильную эпюру скоростей потока без его вращения и плавное изменение сечений проточной части по всей длине преобразователя (чтобы исключить обратные потоки и искажения эпюры скоростей).

Р

отор 8 имеет от 4 до 12 лопастей, установленных под углом к вектору скорости потока. Если мысленно продолжить любую лопасть, то она образует винтовую поверхность. Расстояние между идентичными точками винтовой поверхности после поворота вокруг оси на 2π называется ходом винтовой п оверхности H.

Понятно, что установленные в трубе детали уменьшают свободную площадь поперечного сечения, по которой течет жидкость. При внутреннем диаметре корпуса преобразователя D_k, диаметре ступицы D_ст, числе лопастей z, толщине и высоте лопастей соответственно h_T и h_L площадь свободного прохода S (она называется площадью живого сечения) будет равна

.

Рассмотрим функцию преобразования идеальной модели турбинного ИП. При объемном расходе Q и площади живого сечения S, средняя скорость потока u будет равна

u = Q/S. (10.5)

В идеальном случае отсутствия сопротивления вращению (трения в подшипниках, вязкости жидкости) турбинка совершит один полный оборот за время (период вращения Т) прохождения жидкостью пути, равного длине одного хода винтовой поверхности H: Т = H/u. Величина, обратная периоду вращения, называется частотой вращения; поскольку рассматривается случай течения идеальной жидкости, то и частота вращения будет идеальной n_u. С учетом (10.5) можно записать:

. (10.6)

Из последнего выражения видно, что зависимость частоты вращения (функция преобразования ИП) является линейной функцией объемного расхода вещества.

Реальная частота вращения n будет меньше идеальной n_u и для количественной оценки этой разности (обычно не превышающей 5%) вводится относительный параметр, называемый скольжением ротора Sk

.

Реальная функция преобразования в итоге приобретает вид

. (10.7)

Скольжение ротора зависит от большого количества гидродинамических факторов. Теоретический расчет Sk не дает результата необходимой точности. Для примера рассмотрим один из факторов: чем больше радиус лопастей, т.е. чем они ближе к корпусу ИП, тем меньше неучтенных перетечек жидкости мимо лопастей; но при этом лопасти попадают в пограничный слой, в котором силы вязкости весьма велики, и это тормозит вращение турбинки. Действительно, напряжение вязкой силы в пограничном слое, согласно (9.3), пропорционально градиенту скорости по поперечному направлению, а он в области стенки весьма велик. Получается, что снижение погрешности от перетечек ведет к еще большей погрешности от вязкого трения.

Итог рассмотрения уравнения (10.7) приводит к двум выводам: во – первых, при выборе оптимальных параметров расходомеров приходится опираться на экспериментальные исследования и, во – вторых, каждый расходомер должен индивидуально градуироваться, т.е. постоянные коэффициенты в функции преобразования ИП определяются при экспериментальных проливках на образцовых расходомерных установках. Процедуры эти весьма трудоемкие и дорогие.

Теперь перейдем ко второму преобразователю – магнитного поля в электрический сигнал. На первом этапе преобразований была получена зависимость частоты вращения n от величины объемного расхода, но этот механический параметр еще не может быть непосредственно использован. Его необходимо преобразовать в параметр электрического сигнала. Причем желательно это выполнить конструктивно так, чтобы не нарушать целостность корпуса трубы.

Все условия выполняются, если корпус сделать из немагнитного металла (как правило, это нержавеющая сталь, см. гл. 8), а лопасти ротора – из магнитомягкого материала. Над корпусом (рисунок 10.4) крепится вторичный преобразователь 5.

В целом конструкция вторичного преобразователя имеет следующий вид (рисунок 10.5). Над трубой мерного участка крепится индукционный ИП, содержащий постоянный магнит 1, вокруг которого намотана катушка провода 3. Магнитные силовые линии пронизывают пространство вокруг магнита 1, в том числе и трубу, и катушку 3. Однако это обстоятельство не вызывает никакого эффекта при неподвижном роторе.

При вращении же турбинки с частотой вращения n лопасти поочередно проходят мимо магнита, искажая его поле. Причем z лопастей приводит к z – кратным изменениям магнитного потока Ф за один оборот ротора. Форма изменения магнитного потока близка к синусоидальной с частотой f = nz:

,

где Ф₀ – неизменная часть магнитного потока;

Ф₁ – амплитуда переменной части магнитного потока;

t – текущее время.

По закону электромагнитной индукции (см. гл. 8) изменение магнитного потока создает в проводнике электродвижущую силу, пропорциональную скорости изменения потока, т.е. dФ/dt. А поскольку катушка содержит N витков, то полная электродвижущая сила (напряжение) е на концах катушки будет равна

. (10.8)

Последнее выражение показывает, что за информативный параметр преобразователя может быть выбран один из двух:

- либо амплитуда выходного напряжения катушки U = NФ₁2πf;

- либо частота выходного сигнала f, стоящая под знаком cos.

Действительно, в оба выражения входит частота колебаний выходного напряжения, которая линейно зависит от частоты вращения ротора n, в свою очередь линейно зависящей от объемного расхода (10.7). Как правило, за информативный параметр принимают более помехоустойчивый, а именно – частоту выходного сигнала катушки. Окончательно функция преобразования имеет вид:

f = A(Q – Q₀), (10.9)

где А - постоянный коэффициент, определяемый при градуировке ИП;

Q - текущее значение объемного расхода (входная физическая величина);

Q₀ - наименьшее значение расхода, которое необходимо для преодоления трения и момента сопротивления турбинки при изменении величины расхода; определяется при градуировке ИП.

10.4 УЛЬТРАЗВУКОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ РАСХОДА

10.4.1 Общие схемы преобразования

Рассмотренные выше расходомеры обладают тем очевидным недостатком, что их отдельные элементы находятся в потоке вещества, увеличивая гидравлические потери. Естественно желание исключить из потока любые части ИП. Это удается достигнуть, если использовать дополнительные физические поля. В случае применения акустических полей получается ультразвуковой, в случае применения магнитного поля – электромагнитный расходомеры. Мы рассмотрим более распространенный ультразвуковой ИП расхода.

Идея метода заключается в следующем. В поток жидкости (или газа) вводится ультразвуковая (т.е. с частотой выше 16 кГц, соответствующей границе восприятия человеческого уха) акустическая волна. По форме это может быть последовательность импульсов или синусоидальный сигнал. На расстоянии L от источника сигнала устанавливают приемник. Скорость звука в среде c примерно известна (примерно, поскольку она зависит от температуры и плотности среды). Зная расстояние L, диаметр трубы D и скорость звука в жидкости можно определить скорость потока u.

Практически используют несколько вариантов установки излучателей и приемников ультразвуковых колебаний, соответственно получаются различные функции преобразования объемного расхода.

Вариант первый. Звуковая волна распространяется параллельно оси трубы. В неподвижной среде звуковой импульс пройдет путь L за время t₀, равное t₀ = L/c. Если среда движется со скоростью u, то тот же путь импульс пройдет за меньшее время t_р = L /( c+ u), если приемник установлен ниже по потоку и t_р = L /( c - u), если приемник установлен выше излучателя в потоке.

Функция преобразования имеет вид зависимости разности временных интервалов от скорости среды, или, умножив скорость на постоянное поперечное сечение трубы, от объемного расхода

t_p – t_o = φ(Q). (10.10)

Вместо последовательности импульсов можно генерировать синусоидальный сигнал e = Esinωt. За время прохождения волны звука до приемника сигнал получит фазовый сдвиг (изменится, конечно, и амплитуда E, но это не повлияет на результат преобразования), равный ω(t_p – t_o). В формулах принято, что ω - угловая частота, ω = 2πf, а f – частота ультразвукового сигнала. Теперь функция преобразования будет иметь вид зависимости фазового сдвига от скорости потока.

Вариант второй. Излучатель и приемник располагают поперек оси трубы на одном диаметре D. В случае неподвижной среды звуковой сигнал не смещается в осевом направлении трубы и на приемнике он оказывается максимальной амплитуды. Движущаяся среда смещает (сносит) ультразвуковой луч, и амплитуда в приемном элементе уменьшается. Подобная схема ИП довольно редко встречается в практике измерений расходов, поскольку амплитуда принятого сигнала зависит от многих факторов.

Вариант третий, наиболее распространенный. Излучатель звуковой волны и приемник устанавливаются диаметрально противоположно с некоторым смещением по направлению движения жидкости (рисунок 10.6). На рисунке вектор скорости жидкости обозначен буквой U. Расстояние между излучателем 1 и приемником звукового сигнала 2 равно L, угол наклона луча к оси трубы (и вектору скорости потока U) равно α. Следовательно, ультразвуковой луч, при своем движении от излучателя 1 к приемнику 2 со скоростью с, получит дополнительное приращение скорости от движущегося в том же направлении потока, равное проекции скорости U на направление L : с₁ = U·cos α.

Функция преобразования имеет тот же вид, что в варианте первом (10.9), только значение скорости звука необходимо принимать равным с + с₁.

Далее последний вариант ультразвукового ИП расхода будет рассмотрен более подробно, но предварительно кратко остановимся на вопросе создания ультразвукового излучателя и приемника.

10.4.2 Ультразвуковые излучатели и приемники сигналов

Скорость звука в жидкой среде достаточно большая (от 1000 м/с у этилового эфира до 1930 м/с у глицерина). Как следствие, временные интервалы t_p – t_o прохождения фронтом давления звуковой волны расстояния от излучателя до приемника весьма малы (как и фазовые сдвиги в случае определения скорости по сдвигу фаз).

Чтобы повысить чувствительность преобразователя необходимо использовать более высокие частоты звукового сигнала. Действительно, из выражения фазового сдвига звуковой волны ω(t_p – t_o), видно, что увеличение частоты звука ω (при постоянном временном интервале t_p – t_o) увеличивает фазовый сдвиг. А это повышает чувствительность преобразователя.

Однако необходимо помнить, что фаза периодического сигнала повторяется и если выбрать настолько высокую частоту излучения, что величина сдвига ω(t_p – t_o) превысит 2π, то будет потеряна однозначность отсчета: фазовый сдвиг, например, π/3 невозможно будет отличить от π/3+ 2π. Указанное условие является верхним ограничителем частоты звука.

Для оценки порядка величины предельной частоты, рассмотрим следующий пример: в трубе диаметром 0,1 м питания котла течет вода температурой 26⁰ С (скорость звука равна с = 1500 м/с). Максимальная скорость воды u = 20 м/с. При установке излучателя и приемника сигналов под углом π/6 (30⁰), расстояние между ними будет равно L = 0,2 м. Если принять предельно допустимый сдвиг фазы Δφ (при скорости потока u = 20 м/с) равным π/2, то предельно допустимая частота излучения f =ω/2π получится из выражения

.

Откуда

,

что, при принятых значениях входящих в последнее выражение параметрах, дает величину частоты f = 330 кГц.

Следовательно, источниками и приемниками должны быть элементы, преобразующие электрические сигналы весьма высокой частоты в звуковые волны давления и обратно (волны давления в электрический сигнал).

Подобные элементы известны – это пьезоэлементы. Конструктивно они представляют собой диски или кольца из титаната бария BaTiO₃ (часто используют цирконат титаната свинца), с двух сторон покрытых тонким слоем серебра.

При механическом изгибе диска на серебряных обкладках появляются электрические заряды противоположных знаков. И наоборот: электрическое напряжение, приложенное к обкладкам, вызывает механическую деформацию диска. Указанный эффект называется пъезоэффектом.

Механизм возникновения пьезоэффекта весьма сложен; рассмотрим его качественно на примере пластинки из природного кварца, при исследовании которого он и был открыт.

Кварц (двуокись кремния SiO₂) представляет собой кристаллическое вещество (рисунок 10.7), элементарной структурной ячейкой которого, является призма. В кристалле, образованном ионами кремния и кислорода можно выделить три оси симметрии:

- продольную ось Z-Z, проходящую вертикально и называемую оптической осью;

- оси X-X, проходящие через грани призмы и перпендикулярные оптической оси; эти оси называется электрическими;

- оси Y-Y, перпендикулярные к граням и оптической оси; эти оси называются механическими (рисунок 10.8).

Если из кварца вырезать пластинку как это показано на рисунке 10.8, грани которой параллельны трем рассмотренным осям, то воздействие механической силы будет приводить к следующим эффектам. Сила F_z, сжимающая (или растягивающая) пластинку по оптической оси не вызовет никакого электрического отклика. При действии силы по направлению электрической оси на гранях, на которую действует сила, появятся электрические заряды разного знака. Для качественного понимания процессов, рассмотрим расположение ионов кремния и кислорода в кристалле (рисунок 10.9, а). На рисунке ионы кремния обозначены заштрихованными кружками, а кислорода – светлыми.

При отсутствии воздействия механической силы по электрической оси Х электрический потенциал поверхности А равен нулю, поскольку отрицательные заряды двух ионов кислорода О^- у поверхности А пластинки точно компенсируются положительно заряженным ионом кремния Si⁺, расположенным ближе к поверхности А. У плоскости В ситуация подобна рассмотренной, только в данном случае положительные заряды двух ионов кремния компенсируются зарядом иона кислорода.

Если пластинку сжать по оси Х, то кристаллы деформируются: ионы кислорода у плоскости А и кремния у плоскости В сместятся в направлении, перпендикулярном оси Х, а ближайшие к плоскостям ионы несколько сместятся навстречу друг другу (рисунок 10.9, б). На гранях А и В

возникнут не скомпенсированные электрические заряды. Под действием растягивающей механической силы полярность зарядов изменится на противоположную (рисунок 10.9, в).

Внешнее электрическое поле, приложенное к плоскостям А и В, приводит к обратному эффекту – механической деформации пластинки. Таким образом, приложение к пластинке из пьезоматериала внешнего электрического поля (практически это означает подачу напряжения по проводникам к серебряным обкладкам), вызывает механические колебания пластинки. Колебания пластинки приведут к возникновению волн давления в окружающей среде с частотой электрического сигнала.

Звуковая волна давления, достигая приемной пластинки, изгибает ее, вызывая появление на обкладках электрического сигнала той же формы, какая была подана на передающую пластинку. Довольно часто одну и ту же пластинку используют в режиме передачи и приема. В этом случае специальным электронным коммутатором ее подключают по заданному алгоритму то к генератору сигналов, то к приемному усилителю.

На рисунке 10.10 представлен один из вариантов ультразвукового излучателя. В металлическом (иногда из органического материала) корпусе 1 устанавливают пьезоэлемент 2, электрический сигнал к которому подается через пружину 4. Между пьезоэлементом 2, пружиной 4 и корпусом 1 установлены звукоизолирующие кольца 3 и 5 (обычно из резины или винипласта), предотвращающие прохождение ультразвуковых сигналов через корпус излучателя. Дело в том, что скорость звука в металле выше, чем в жидкости; например, скорость звука в железе равна 5850 м/с. Если не подавлять звуковые волны, проходящие по корпусу трубопровода, к приемному элементу будет быстрее приходить звук по металлу, чем по жидкости, и последующее разделение сигналов превратится в дополнительную проблему.

10.4.3 ИП ультразвукового расходомера

Общая идея расходомера была кратко рассмотрена в п. 10.3.1. Конкретные же реализации имеют существенные особенности и отличия. Связано это с необходимостью учитывать зависимость величины скорости звука в среде от ее температуры и, в меньшей степени, от плотности и состава (например, наличие малых концентраций солей в воде повышает скорость звука на 0,05 – 1%).

Самое сильное влияние на скорость звука (и, соответственно, на погрешность преобразования) оказывает непостоянство температуры. Для жидкостей изменение температуры на 1 К приводит к изменению скорости звука на (3 – 5) м/с. Поэтому практически во всех ИП расхода предусматривается тот или иной метод учета реальной скорости звука в измеряемой среде. Наиболее распространенное решение – использование прохождения звука по направлению течения жидкости и против течения.

Например, в расходомере на рисунке 10.6 устанавливается следующий алгоритм функционирования: пьезоэлемент 1 излучает короткий импульс звука, который через интервал времени Δt₁, равный

, (10.11)

достигнет пьезоэлемента 2, включенного в режим приемника. Принятый импульс усиливается и подается в элемент 2 уже в режиме передатчика. Импульс проходит путь длиной L против направления движения среды. На пьезоэлемент 1, включенный в данный момент в режим приема, импульс придет через интервал времени Δt₂, равный

. (10.12)

Встроенное в расходомер вычислительное устройство должно выполнять математические операции по уравнению:

.

Последнее выражение является функцией преобразования рассматриваемого сложного ИП, в котором величины, обратные разности времен прохождения звука пропорциональны скорости течения, а зависимость от скорости звука в среде c вообще исключена.

Для исключения составляющих погрешности ИП, связанных с длительностью импульсов и временем их прохождения по электронным схемам, метод модифицируют, используя 4 пьезоэлектрических элемента [12]. В этом случае пара элементов излучает и принимает звуковой сигнал, направленный по потоку, а пара других – сигнал против потока (рисунок 10.11). В первом контуре излучатель E₁ излучает сигнал, а принимает его пьезоэлемент R₂. Принятый сигнал через усилитель вновь подается на излучатель E₁. В итоге на выходе усилителя образуется последовательность импульсов с частотой следования f₁, равной

. (10.13)

Во втором контуре, где излучатель E₂, а приемный пьезоэлемент R₁, так же формируется последовательность импульсов с частотой f₂:

. (10.14)

Выходным сигналом ИП является разность частот Δf, которая линейно зависит от измеряемой скорости:

. (10.15)

Предел приведенной погрешности ультразвуковых ИП обычно близок к 1%; основная причина, ограничивающая повышение точности преобразования – отсутствие информации о реальной структуре потока в трубе, распределении скоростей в нем.

10.5 КОРИОЛИСОВ РАСХОДОМЕР

Все рассмотренные ИП расхода осуществляют преобразование в электрический сигнал объемный расход вещества. Однако, как указывалось в гл. 9, основной интерес представляет измерение массового расхода. Получение значения массового расхода вещества путем умножения его объемного расхода на плотность предполагает использование дополнительных средств измерений и, как следствие, рост общей погрешности.

Преобразователь расхода, использующий силу Кориолиса, непосредственно преобразует в электрический сигнал массовый расход жидкости. При этом удается достичь предела погрешности преобразования на уровне (0,15 – 0,5)%. В подобном преобразователе реализовано взаимодействие нескольких физических полей: поля скоростей жидкости (или газа), поля механических ускорений, электромагнитного поля.

Идея расходомера заключается в следующем. Жидкость, текущую по трубе со скоростью v, пропускают через мерный участок, представляющий собой U - образную трубу (рисунок 10.12). Дальний от прямой трубы участок приводят в состояние колебательного движения с частотой f. При этом половину периода обе ветви U – образной трубы движутся вверх по дуге окружности вокруг оси угловой скорости ω, изображенной пунктирной линией; вторую половину периода обе ветви движутся вниз по дуге той же окружности. Жидкость в тубе течет, естественно, с одной скоростью v, но, с учетом формы трубы, вектор скорости v в одной ветви противоположен направлению вектора скорости v в другой ветви.

Рассмотрим момент времени, когда ветви U – образной трубы движутся вниз. Это означает вращательное движение трубок вокруг пунктирной оси, по которой направлен вектор угловой скорости ω. А в трубках прямолинейно движется жидкость со скоростью v. Подобный случай движения обсуждался в п. 4.3. У элементов жидкости в ветвях трубы появляется Кориолисово ускорение, произведение которого на массу жидкости создает силу давления на стенки трубы. Причем, из–за противоположных направлений векторов линейных скоростей движения жидкости в ветвях трубы, Кориолисова сила в ветвях будет действовать в противоположных направлениях: если левая ветвь будет изгибаться вверх, то правая в этот же момент времени – вниз.

В следующую половину периода (когда ветви трубы будут двигаться вверх) направление вектора угловой скорости ω изменится на противоположное, и действие Кориолисовых сил изменит направление действия на ветви трубы.

Из сказанного вытекает конструкция преобразователя: U – образная труба, приводимая в колебательное движение специальным возбудителем и два преобразователя положения (по одному на каждую ветвь). Если жидкость в трубе неподвижна, то обе ветви трубы будут двигаться синфазно (т.е. в одной фазе) и сигналы на выходах ИП положения будут совпадать по фазе. Если же жидкость движется, то одна из ветвей будет опережать (или отставать) по фазе от другой, поскольку силы Кориолиса слегка согнут каждую ветвь в противоположных направлениях. Между выходными сигналами ИП положения образуется фазовый сдвиг, являющийся функцией массового расхода.

Понятно, что металлические упругие трубы, обладающие высокой жесткостью и заполненные жидкостью под давлением, будут отклоняться под действием возбудителя весьма незначительно (реально максимальное отклонение трубы от положения равновесия не превышает 0,025 мм). Но, поскольку колебания ветвей трубы мерного участка передаются подводящей и отводящей трубам, прилагаемая мощность возбудителя колебаний оказывается существенной. Поэтому важно эффективно использовать затраченную энергию на колебание трубки.

Удачной в этом смысле оказалась конструкция расходомера фирмы Micro Motion, в которой используются две U – образные трубки (рисунок 10.13).

Общий поток жидкости разделяется на две трубки примерно поровну (важно совпадение плотности жидкости в трубках). На одной трубке крепится задающая катушка (соленоид), на которую подают синусоидальный ток. На второй – постоянный магнит, который входит в задающую катушку. Ток в соленоиде образует по его оси магнитное поле, которое половину периода втягивает постоянный магнит в катушку, а вторую половину периода - выталкивает. Этим обеспечивается движение трубок в противоположных направлениях при их колебании.

Скорости перемещения трубок преобразуются в электрический сигнал двумя детекторами (ИП) скорости, имеющих следующую конструкцию: на одной трубке укреплены постоянные магниты, а на другой – катушки с проводом. При перемещении магнитов относительно катушек, в последних индуцируется электрическое напряжение, пропорциональное скорости изменения магнитного поля (см. выражение (10.8)).

Сигналы на выходах катушек одинаковы по форме (синусоиды) и по амплитуде. Отличаться они будут только по фазе Δφ, величина которой зависит от Кориолисовой силы, или, в конечном итоге, от массы протекающей в единицу времени жидкости (рисунок 10.14).

Теперь рассмотрим, какой вид имеет функция преобразования расходомера.

Пусть имеется U – образная трубка с площадью поперечного сечения S, длиной L и расстоянием между ветвями l. Элемент жидкости массой dm = ρSdx, создает элементарную Кориолисову силу dF_k, равную (см. п. 4.3)

dF_k = 2uωdm = 2uω ρSdx,

где ρ – плотность жидкости;

u – средняя линейная скорость потока;

dx – элемент длины трубки.

Сила Кориолиса, развиваемая в одной трубке длиной L равна

.

Но, согласно выражению (9.8), произведение линейной скорости на площадь поперечного сечения трубы и плотность жидкости есть массовый расход Q_m. Поэтому

. (10.16)

Две одинаковых, но противоположно направленных, силы F_k приложены на расстоянии l к одной U – образной трубе, создавая момент сил F_k · l. Момент сил скручивает трубки на угол Δφ, пропорциональный, в пределах упругой деформации, действующему моменту и обратно пропорциональный коэффициенту упругости трубок k: Δφ = F_k·l/k. Или, с учетом (10.16), окончательно

. (10.17)

Из последнего выражения видно, что Кориолисов расходомер преобразует величину массового расхода в разность фаз электрических сигналов (напряжений). Причем функция преобразования описывается линейной зависимостью.

Другая важная особенность расходомера – его выходной сигнал не зависят от вязкости жидкости (или газа); это вытекает из отсутствия указанных параметров в функции преобразования (10.17).

Вместе с тем, практическая реализация расходомеров сопряжена с существенными сложностями. Действительно, в выражение (10.17) входят частота тока возбуждения ω, длины трубок L, расстояние между ними l, коэффициент упругости k. При выводе выражения для функции преобразования все эти составляющие принимались неизменными. А реально они изменяются под действием различных факторов, главный из которых – переменная температура измеряемой среды или окружающего пространства.

Компенсация (парирование) действия факторов, влияющих на длины трубок, коэффициент их упругости, на частоту и амплитуду генератора возбуждающего тока является весьма сложной технической задачей. Поэтому стоимость подобных преобразователей расхода значительно выше, чем расходомеров объемного расхода. По указанной причине применение Кориолисовых расходомеров оправдано там, где их использование может дать существенный экономический эффект.

11 ТЕПЛОВЫЕ ПОЛЯ И ВЕЩЕСТВО

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Для рассмотрения процессов измерительных преобразований физических параметров, связанных с тепловыми полями (тепловые потоки, внутренняя энергия, температура, теплопроводность, теплоемкость и т.д.), необходимо предварительно понять их физическую суть. Исторически изучение тепловых полей и тепловых процессов сопровождалось большим количеством неточностей и просто ошибок. Сами термины «тепло», «количество тепла», «градус» остались с тех времен, когда тепло представляли как некую жидкость («теплород»), содержащуюся в горячем теле и перетекающую в более холодное при их контакте.

Незнание физической сущности тепловых процессов не помешало Галилею придумать первый ИП, функционально связавший температуру с линейным перемещением столба жидкости. Появилась возможность более горячим телам приписать большее число, менее горячим – меньшее, т.е. ввести температурную шкалу.

Правда, температурные шкалы устанавливались из соображений, слабо связанных с физикой тепловых процессов. Например, Ньютон предлагал принять за опорные точки температуру таяния льда и температуру тела человека, поскольку, согласно Библии, человек – подобие Бога. В шкале Фаренгейта точке таяния льда приписана температура 32 градуса, температуре тела человека – 96. В шкале Ламберта температуре таяния льда соответствовало 1000 градусов, точке кипения воды – 1370 градусов и т.д.

Подобное неясное состояние с пониманием тепловых процессов не помешало установить следующие фундаментальные положения:

1. Тепло всегда передается от более горячего тела к менее горячему, при этом холодное тело нагревается, а горячее - остывает.

2. Если тела теплоизолированы от окружающей среды (находятся в термостате), то, через какое – то время, температура всех тел становится равной и больше не изменяется. Позднее это состояние было названо термодинамическим равновесием.

3. Повысить температуру тела можно двумя путями: нагревом его или совершением работы, например, сжатием газа, трением детали о деталь, ударами молота по образцу, пропусканием электрического тока по проводу.

Исследования свойств газов позволили установить эмпирические законы взаимосвязи их параметров (давления, объема, температуры), носящие названия их исследователей и открывателей (Гей – Люссака, Бойля – Мариотта). На базе экспериментальных данных Максвелл разработал основы кинетической теории газов, объяснившей физическую суть термодинамических параметров (давления, температуры, теплоемкости и т.д.). Кратко рассмотрим элементы кинетической теории.

11.2 ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

Предположим, что в термостат поместили сосуд прямоугольной формы, разделенный жесткой непроницаемой для газов стенкой на две части; обе части в исходном состоянии пусты. Далее одну часть заполнили одноатомным газом (гелием) при небольшом давлении Р, например, меньше 100 кПа. Поскольку сосуд термоизолирован, то газ в сосуде через определенное время достигает состояния термодинамического равновесия.

Принимается следующая модель установления термодинамического равновесия в сосуде. Атомы газа массой m₁ считаются плотными точками с размерами, пренебрежимо малыми по сравнению со средним пробегом до соударения. Атомы перемещаются в сосуде хаотически с различными скоростями; при этом они постоянно упруго соударяются друг с другом и со стенками сосуда.

Соударения атомов внутри сосуда сопровождается обменом импульсами, изменением скоростей и направлений движения (как у биллиардных шаров), а после удара о стенку – атомы газа отскакивают, передав стенке количество движения. Состояние термодинамического равновесия характеризуется одинаковым количеством атомов в единице объема сосуда и равноправными направлениями их движения; если выделить одно из направлений, например, по координате x, то сумма проекций скоростей всех атомов (в положительном и отрицательном направлении оси) будет давать нуль.

Рассмотрим отдельный атом, движущийся со скоростью v к стенке сосуда. Если проекцию скорости на ось x, перпендикулярную стенке, обозначить v_x, то импульс при ударе о стенку будет равен m₁·v_x. Так как удар считается упругим, то атом отразится от стенки, сохранив ту же величину импульса, но обратное направление скорости. Следовательно, стенке будет сообщен импульс p, равный p = 2 m₁· v_x . За время t до стенки долетят все атомы, расположенные от нее по оси x не далее, чем v_x·t. Поскольку удары воспринимаются всей площадью стенки А, то общее количество ударов за время t равно количеству атомов в объеме V₁ = А· v_x·t. Если средняя плотность атомов (т.е. их количество в единице объема) равна n₁, то в объеме А· v_x·t их будет n₁·А·v_x·t.

Теперь можно определить импульс силы F · t, передаваемый атомами газа стенке сосуда за время t: для этого необходимо перемножить импульс от одного атома на половину атомов в объеме V₁ (учитывается только половина атомов по той причине, что вторая их половина движется от стенки в глубь сосуда)

F · t = p · n₁ · V₁/2 = n₁ · m₁· А · v_x² · t.

Как указывалось выше, средняя скорость атомов равна нулю, но квадрат скорости является всегда неотрицательной величиной и сумма квадратов скоростей n атомов будет больше нуля. Весь вопрос в том, что у каждого из n атомов своя величина проекции скорости на ось x. Что же понимать под величиной v_x² ? Под v_x² понимается средний квадрат скорости n атомов, т.е.

.

Импульс силы, приходящийся на единицу площади стенки за единицу времени есть, по определению, давление на стенку. Следовательно, давление P₁, оказываемое газом в состоянии термодинамического равновесия, равно

P₁ = F · t /(t·А) = n₁ ·m₁ · < v_x²>. (11.1)

Поскольку в движении атомов газа нет выделенных направлений, то средние квадраты скорости по другим двум осям (y и z) будут равны среднему квадрату скорости по оси x, и можно записать, что средний квадрат скорости по любой оси равен одной трети среднего квадрата полной скорости атомов

< v_x²> = 1/3 < v_x² + v_y² + v_z²> = < v₁²>/3. (11.2)

С учетом (11.2), формула для давления газа (11.1) принимает вид

. (11.3)

Введение в последнее выражение коэффициента 2 позволяет придать усредненному выражению ясный физический смысл - это средняя кинетическая энергия движения атомов газа в состоянии термодинамического равновесия. Следовательно, давление может быть выражено через среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов газа.

Теперь пустую часть сосуда заполним другим одноатомным газом (аргоном) с другим давлением P₂. Если в первый момент времени газ во второй части сосуда находится в термодинамическом равновесии, то давление P₂ через параметры атомов определится как

, (11.4)

где n₂, m₂, - соответственно плотность, масса и средняя кинетическая энергия атомов аргона во второй части сосуда.

Далее начнется процесс установления термодинамического равновесия газов во второй и первой частях сосуда в соответствии с экспериментально установленными свойствами 1 и 2 тепловых процессов (см. п. 11.1).

Качественно на микроскопическом уровне он будет выглядеть следующим образом: по стенке сосуда, разделяющей газы, с двух сторон будут ударять атомы и усиливать тем самым колебания атомов стенки. В свою очередь, атомы стенки будут передавать больше энергии от соударений тем атомам газа, которые слабее воздействуют на стенку; медленные атомы газа приобретут большую скорость, т.е. повысится их кинетическая энергия.

В конечном итоге, в соответствии с экспериментально установленном свойством 3, температуры газов в обеих частях сосуда станут равными. Что же уравнялось на микроскопическом уровне? В выражения (11.3) и (11.4) входят только концентрации атомов и их средняя кинетическая энергия. Поскольку концентрации атомов не могут измениться при неизменности объемов каждой части сосуда, то остается констатировать, что скорости атомов газов изменились так, что стали равны их кинетические энергии. В соответствии с (11.2) средняя кинетическая энергия K по одному из трех направлений движения (x, y или z) будет равна

, (11.5)

где и - соответственно средние квадраты скоростей газов после достижения равенства температур.

Полная средняя энергия одной частицы одноатомного газа (суммируя поступательную кинетическую энергию по 3 координатам) равна Э₁ = 3К.

Если вместо одноатомного газа взять двухатомный, например кислород О₂, то у его молекул кроме трех поступательных направлений движения как единого целого, на каждую из которых приходится средняя кинетическая энергия, равная К, появятся еще две степени свободы, связанных с механической энергией. Речь идет о вращении ее вокруг двух осей (молекула не вращается по оси, связывающей два атома); эта энергия так же равна К относительно каждой оси. Полная средняя энергия двухатомной частицы равна Э₂ = 5К.

В твердых кристаллических телах атомы совершают только колебательные движения в пространстве (по трем координатам) и их средняя кинетическая энергия Э₃ = 6К.

Приведенные данные кинетической теории позволяют сделать четыре важных вывода:

а) Параметром, определяющим состояние термодинамического равновесия вещества и называемым температурой, является средняя энергия его элементарных составляющих (атомов или молекул). Суммарная энергия всего тела (или объема газа, жидкости) носит специальное название – внутренняя энергия.

б) Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц К кратна другим видам движения частиц, то она может служить мерой внутренней энергии (температурой) при постоянном агрегатном состоянии вещества. Под постоянством агрегатного состояния понимается отсутствие перехода из твердого состояния в жидкое или из жидкого - в газообразное и обратно.

Размерностью такой единицы температуры должна быть размерность энергии (джоуль). Градусы Цельсия, Кельвина и т.д. не отражают физическую суть температуры и ими описывают значения внутренней энергии только в силу исторической традиции.

в) Моделью идеального термометра является находящийся в состоянии термодинамического равновесия с измеряемым веществом баллон с газом низкого давления (близкий аналог идеального газа) и измерителем этого давления.

г) Само понятие температуры может быть применено только к объектам, находящимся в состоянии термодинамического равновесия. Для процессов передачи тепла, когда принципиально отсутствует равновесие, понятие температуры не определено. Возникшую сложность преодолевают, мысленно разбивая физический объект, в котором проводят измерения температуры, на малые локальные области и интервалы времени, в пределах которых можно считать (при заданной погрешности построения модели процесса), что равновесие соблюдается.

Теперь необходимо связать параметры микропроцессов (движения и соударения отдельных атомов или молекул) с параметрами макропроцессов, т.е. процессов такого большого количества вещества, в котором индивидуальные свойства атомов полностью нивелируются и не проявляются. Кроме того, необходимо среднюю кинетическую энергию атомов связать с произвольно выбранной единицей температуры, за которую сейчас принята 1/273,16 часть термодинамической температуры тройной точки воды. Тройной точкой называется температура, при которой вода в трех фазовых состояниях – жидкой, твердой и парообразной находится в равновесии; практически эта температура близка к температуре таяния льда. Именно эта единица называется 1 кельвин (или 1 градус Цельсия). Необходимо напомнить, что согласно международному стандарту «Международная температурная шкала 1990 (МТШ – 90)» один градус Цельсия равен одному кельвину по определению.

С точки зрения числа частиц (атомов или молекул) в выделенном объеме V очень удобно рассматривать количество вещества, масса которого равна одному молю. В этом случае для любого вещества количество частиц постоянно – оно равно числу Авогадро N_A = 6,022·10²³ моль^-1. Соответственно, плотность частиц в выражениях (11.1), (11.3), (11.4) для случая одного моля газа запишется в виде

n=N_A /V, (11.6)

а сами выражения приобретут вид

. (11.7)

Чтобы в уравнение (11.7) ввести температуру T в принятой шкале, с единицей 1 К или 1⁰ С, необходимо положить, в соответствии с выводом а), что

,

где w – коэффициент пропорциональности, который не имеет теоретического смысла; его численное значение может быть определено только экспериментально, исходя из принятого размера единицы температуры.

Выражение (11.7) приобретает вид:

. (11.8)

Многочисленные эксперименты позволили установить количественное значение коэффициента связи между произведенной работой в 1 Дж и ростом температуры одного моля газа. Этот коэффициент называется универсальной газовой постоянной R = 2N_A· w/3 и численно равен

R = 8,3144 Дж/(моль·К).

Подставив в (11.8) значение универсальной газовой постоянной, получим уравнение Клапейрона

. (11.9)

Универсальная газовая постоянная R, отнесенная к одной частице (атому или молекуле) называется постоянной Больцмана k = R/N_A; она характеризует количество энергии, необходимой для повышения температуры частицы на 1 К, и численно равна

k = 1,38·10^-23 Дж/К.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы, выраженная через температуру, с учетом (11.5), соответственно

, (11.10)

или для отдельно взятой компоненты скорости (например, по оси x)

. (11.11)

Из сказанного выше легко понять смысл теплоемкости, т.е. количества тепловой энергии, которую необходимо передать одному молю вещества для повышения его температуры на 1 К. Если речь идет об одноатомном газе, частицы которого обладают только поступательным движением, то повышение температуры вызывает рост внутренней энергии (в расчете на один атом) на

Э₁ = 3 К = 3kT/2.

Положив в последнем выражении Т = 1, получим величину приращения внешней энергии ΔЭ₁, которую необходимо затратить для повышения температуры одного атома на один градус:

ΔЭ₁ = 3k/2,

или теплоемкость c_v в расчете на один моль

c_v1 = N_A·ΔЭ₁ = 3R/2. (11.12)

Рассматриваемая теплоемкость c_v является теплоемкостью при постоянном объеме газа. Если при нагреве газу дать возможность расширяться, т.е. увеличивать свой объем при постоянном давлении, то теплоемкость c_р будет больше c_v, поскольку часть тепловой энергии будет расходоваться на совершение работы по расширению газа.

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что теплоемкость моля двухатомного газа c_v2 равна

c_v2 = N_A·ΔЭ₂ = 5R/2,

а кристаллического вещества (закон Дюлонга и Пти)

c_vт = N_A·ΔЭ₃ = 6R/2.

В практических таблицах значения теплоемкостей приводятся не для одного моля, а для единицы массы вещества; размерность ее в этом случае – Дж/(кг·К). Поэтому табличные значения для различных веществ в одном и том же агрегатном состоянии (для газов, твердых веществ) сильно различаются. Вторая причина различий имеет принципиальный характер – рассмотренная выше модель тепловых процессов слишком упрощена; реально же теплоемкости существенно изменяются в широком диапазоне температур, что связано с квантовыми эффектами в веществах. В диапазоне изменения температур технических объектов (от 150 К до 2000 К) значения теплоемкостей приводятся в справочниках; при этом в большинстве случаев в расчетах принимают, что в температурных интервалах 20 – 50 К теплоемкости веществ постоянны.

Тепловые колебания атомов и молекул можно рассматривать как колебания электрических зарядов в диполях, описанных в п. 4.5.2. Там показано, что движение с ускорением подобных систем зарядов порождает электромагнитные поля, существующие вне вещества. Другими словами, излученное, например, молекулой кислорода электромагнитное поле может быть поглощено соседней молекулой, увеличив ее энергию, а может излучиться в окружающее пространство.

Поскольку скорости и энергии частиц (атомов или молекул) распределены по закону Максвелла, то и излучения элементарных диполей имеют различные длины волн. Однако основная энергия излучения сосредоточена у волны, излучаемой наибольшим количеством частиц. Длину этой волны, несущей максимум энергии, обозначим λ_m.

Существенным обстоятельством является факт зависимости длины волны излучаемого электромагнитного поля λ_m от температуры вещества Т. Математически эта зависимость описывается законом Вина, согласно которому

λ_m ·Т = b = const. (11.13)

По данным экспериментов константа b = 2,898 ·10^-3 м ·К.

Следовательно, чем выше температура, тем меньше длина излучаемой электромагнитной волны. А длина волны λ_m связана с частотой сигнала ν_m следующей зависимостью:

ν_m = с/λ_m, (11.14)

где с – скорость распространения электромагнитной волны; в вакууме это 3 ·10⁸ м/с.

От частоты электромагнитного сигнала зависит количество энергии, которую она переносит, а именно, энергия одного кванта (одного отрезка электромагнитной волны) равна

E = h· ν, (11.15)

где h = 6,626 ·10^-34 Дж·с - константа, называемая постоянной Планка.

Подставив данные из (11.13) и (11.14) в (11.15), получим выражение для количества переносимой электромагнитной волной тепловой энергии на частоте ν_m:

E_m = h ·c ·T/b. (11.16)

Необходимо еще раз подчеркнуть, что речь идет только об электромагнитной волне одной частоты, а не всем совокупном потоке уносимой энергии, который будет рассмотрен в следующем разделе.

Полученные результаты позволяют утверждать, что с ростом температуры вещества растет часть ее внутренней энергии, определяемая электромагнитным взаимодействием элементарных частиц. Чем выше температура вещества, тем выше частота излучаемых электромагнитных волн.

При температурах порядка 1000 К и выше вещество начинает излучать в диапазоне длин волн, воспринимаемых человеческим глазом – оно светится (см. таблицу 4.2 в п. 4.5.2). Но с ростом частоты электромагнитных волн растет количество уносимой энергии. Пока в расчете на одну частицу E_m « kT/2 излучением в общем балансе энергии можно пренебречь, что и было сделано выше при изложении кинетической теории.

В заключение рассмотрим вопрос о применении газовых термометров. Действительно, согласно выводу г) большинство вопросов измерения температуры могут быть решены, в принципе, использованием измерительного преобразователя на основе баллона с газом и манометра. Но практически этого не происходит. Для понимания причин крайне редкого применения газового термометра рассмотрим принципиальную схему реального прибора (рисунок 11.1).

Рабочий резервуар 1 заполняется рабочим газом. Капилляр 2 соединяет объем резервуара 1 с коротким коленом манометра 3, частично заполненного ртутью. Колено 3 системой трубок соединено с длинным коленом манометра 5, вытеснительным цилиндром с поршнем 7, вспомогательным резервуаром 8; все трубки и частично емкости заполнены ртутью.

Измерения термометром производят следующим образом. Сначала освобождают манометр от ртути, сливая ее в резервуар 8. По трубке 6 рабочий резервуар 1 заполняется выбранным газом (обычно это гелий при измерениях низких температур или азот). После заполнения резервуара 1 газом трубка 6 отсекается вентилем от остальных магистралей прибора. Далее манометр заполняется ртутью из резервуара 8, который после заполнения отсекается вентилем от манометра. Ртуть в коротком колене 3 поддерживается всегда на постоянном уровне. Контролируют его либо визуально по высоте мениска ртути либо по показанию емкостного ИП. Показания манометра снимаются по шкале 4, которая показывает высоту столба ртути в длинном колене 5.

При изменении температуры давление газа в резервуаре 1 меняется по закону Клапейрона (если считать объем рабочего резервуара, капилляра и короткого колена манометра неизменным); соответственно изменяется уровень ртути в коротком колене. Перемещая поршень в цилиндре 7, добиваются восстановления уровня ртути в коротком колене 3. Уровень ртути в длинном колене 5 изменяется, что фиксируется по шкале 4. Таким образом, температура сначала преобразуется в давление столба ртути, а само давление преобразуется в линейное перемещение. Получается преобразователь с функцией преобразования, в конечном итоге,

L = L₀ + f(T),

где L - высота столба ртути в длинном колене;

L₀ – высота столба ртути при начальной температуре, например, при 0⁰ С;

f(T) – функция, описывающая зависимость приращения высоты столба ртути от температуры.

В принятой модели функция f(T) является линейной. Однако реально изменение температуры изменяет не только давление газа в резервуаре 1, но и его объем из-за линейного расширения стенки резервуара. Кроме того, температура газа в капилляре и коротком колене 3 отличается от температуры в резервуаре 1; температура ртути непостоянна и это изменяет ее плотность; давление газа над поверхностью мениска в длинном колене 5 так же переменно.

Каждый из перечисленных факторов влияния требует тщательного исследования и введения в функцию преобразования соответствующих поправок. Поэтому практически необходимая точность преобразования газовым термометром может быть достигнута только в крупной метрологической лаборатории, где обеспечено выполнение необходимых исследований и условий проведения измерений.

Рассмотренный пример демонстрирует отличие мысленной упрощенной модели ИП от тех реальных проблем, которые возникают при разработке измерительных средств. Упрощенные модели позволяют только понять принцип действия ИП, но не гарантируют полное соответствие действительным свойствам компонентов ИП в реальных условиях применения устройства.

11.3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ

11.3.1 Общие положения

Из проведенного в п. 11.2 рассмотрения понятия тепловой энергии становится ясным, что состояние «термодинамического равновесия» вещества является идеальной моделью, реализуемой с той или иной степенью приближения. Действительно, если энергия частиц вещества передается при соударении с окружающими частицами, то она неизбежно будет переходить в окружающее пространство, различаться будут только механизмы перехода. Даже если вещество изолировать от непосредственного контакта с окружающими предметами, поместив тело в вакуум (как, например, звезды), то энергия будет теряться за счет электромагнитного излучения.

С другой стороны, допустим, термометр помещен в трубопровод подачи пара на турбину. Согласно кинетической теории, термометр преобразует в электрическое сопротивление (если это терморезистор) или электрическое напряжение (если это термопара) среднюю энергию всех видов движения собственных элементарных частиц. Как эти величины связаны с температурой пара? По–видимому, это зависит от процессов теплопередачи. Не понимая физику процессов невозможно обеспечить близость температуры термометра к температуре измеряемой среды.

Указанные обстоятельства делают необходимым изучение процессов теплопередачи. Как правило, задачи эти крайне сложны, поскольку условий передачи встречается большое разнообразие. Это может быть передача тепла от газа через твердую поверхность другому газу, а может быть от газа только твердой поверхности, или внутри твердой поверхности, в объеме жидкости и т.д. Кроме того, как показали эксперименты, теплопередача зависит от формы тел, скоростей омывающих тела жидкостей или газов, состояния поверхности и даже ее цвета.

Поэтому мы рассмотрим только самые простые модели передачи тепла. Но сначала подчеркнем: как следует из п. 11.2, теплоты, как параметра состояния вещества не существует. Теплота, это, как работа, характеристика процесса. Поэтому создать эталон теплоты и измерять ее количество в веществе, невозможно. Следовательно, говорить можно только о потоке теплоты, или о плотности потока, распространяющегося от более горячих объектов к менее горячим.

Введем следующие определения. Рассмотрим поверхность малой площади S, являющуюся границей тел разной температуры (как в предыдущем пункте стенка между двумя объемами газа). Будем считать температуру поверхности одинаковой по всей площади S. Количество теплоты, переносимой через поверхность S в единицу времени называется тепловым потоком Q.

Поскольку количество тепловой энергии выражается в единицах работы (Дж), то тепловой поток имеет размерность мощности (Вт). Тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности S, носит название плотности теплового потока q:

q = dQ/dS.

Распространяясь в веществе, тепловой поток создает в каждый момент времени в каждой точке тела свою температуру, а совокупность температур всех точек образует температурное поле Т. Таким образом, температурное поле, в общем случае, есть функция координат x, y, z и времени t:

Т = Т(x, y, z, t). (11.17)

Реальные механизмы теплообмена весьма сложны и их заменяют упрощенными моделями, основанными на трех механизмах теплопередачи:

- теплопроводность - перенос тепла, обусловленный взаимодействием микрочастиц внутри твердого тела или соприкасающихся тел;

- конвекция – перенос тепла вследствие пространственного перемещения вещества; механизм характерен для жидкостей и газов;

- тепловое излучение – перенос тепла посредством электромагнитного поля; состоит, как минимум, из двух превращений – тепловой энергии в электромагнитное поле и наоборот.

Рассмотрим указанные механизмы теплопередачи более подробно применительно к измерительным преобразователям.

11.3.2 Элементы теории теплопроводности

Для упрощения задачи определения закона распределения температур, будем считать, что тепловой поток распространяется только по одному направлению – по оси x, т.е. Т = Т(x, t). Этому случаю соответствует, например, передача тепла из теплой комнаты через стенку на улицу или через корпус термометра к чувствительному элементу. Ось x будем считать направленной перпендикулярно поверхности стенки.

Выделим мысленно в стене цилиндр с осью, параллельной оси x и площадью S (рисунок 11.2). Поток тепла dQ, подводимый к сечению x за время dt равен, по определению, плотности теплового потока q(x), умноженного на площадь поперечного сечения цилиндра S и время dt:

dQ(x) = q(x) S dt.

Соответственно, за тот же интервал времени dt через площадь S в сечении x + dx пройдет тепловой поток, равный dQ(x + dx) = q(x + dx)Sdt. Разность величин тепловых потоков на выходе из выделенного объем и на его входе S(x + dx - x) = S·dx равна тому количеству тепловой энергии, которая пошла на повышение температуры рассматриваемого объема стенки S·dx. Это количество тепловой энергии dQ равно

dQ = dQ(x) - dQ(x + dx) =[ q(x) - q(x + dx)] S dt.

Последнее выражение можно записать в более компактном виде, если учесть, что

и, следовательно,

. (11.18)

На какую величину повысится температура выделенного объема от действия потока dQ? Для ответа на этот вопрос необходимо учесть, что температура связана с тепловой энергией, переданной телу, параметром, называемым теплоемкость c_v. Поскольку теплоемкость в таблицах дается в расчете на единицу массы вещества, то количество тепла dQ_Т, вызвавшее повышение температуры выделенного объема на dT, равно массе вещества dm выделенного объема S·dx, умноженного на теплоемкость:

dQ_Т = c_v ·ρ · S·dx · dТ, (11.19)

где ρ – плотность материала стенки.

Приравнивая количество выделившегося тепла из (11.18) к количеству тепла, необходимого для повышения температуры выделенного объема на величину dТ, получим выражение, показывающее как меняется приращение температуры выделенного объема стенки от приращения теплового потока:

.

Сократив подобные члены, приходим к дифференциальному уравнению

. (11.20)

В уравнении (11.20) две неизвестных: скорость изменения температуры во времени и скорость спада плотности потока тепла вдоль пространственной оси x. Для решения уравнения необходимо одну неизвестную выразить через другую. Такую возможность дает закон Фурье, согласно которому плотность потока тепла (в общем случае это вектор q) пропорциональна градиенту температуры:

q = - λ ·gradT.

(В порядке напоминания: градиент есть вектор, величина которого равна производной от скалярного поля Т по пространственным координатам, а направление – по направлению быстрейшего пространственного изменения температуры; подробности см. гл. 4). Знак минус показывает, что тепло всегда передается из области высоких температур к низким.

Коэффициент пропорциональности λ характеризует способность вещества проводить теплоту; называется он коэффициентом теплопроводности Размерность его - Вт/(м·К), а численные значения для каждого вещества приводятся в справочниках. В целом можно утверждать, что наименьшей теплопроводностью обладают газы (от 0,005 до 0,5 Вт/(м ·К)); капельные жидкости имеют более высокую теплопроводность (от 0,08 до 0,7 Вт/(м ·К)); наибольшей теплопроводностью обладают твердые вещества (от 0,02 у диэлектриков до 400 Вт/(м ·К) у металлов).

В нашем частном случае, когда тепловые процессы развиваются вдоль одной оси x, выражение для градиента упрощается до частной производной , а закон Фурье запишется в виде

. (11.21)

Подставив (11.21) в уравнение (11.20), получим окончательно

. (11.22)

Решения дифференциального уравнения (11.22) для различных частных случаев дают функции распределения температур в пространстве (в веществе) с течением времени. Правда, решение уравнения (11.22) весьма сложная задача и в практических расчетах используют другой прием. Поясним его, решая уравнение (11.22) для случая распределения температуры в поперечном сечении плоской пластинки площадью S и толщиной δ в тот момент времени, когда температурное поле установилось и не меняется во времени (случай стационарного распределения температуры).

В этом случае левая часть уравнения (11.22) равна нулю и остается выражение

.

Частные производные заменены полными, поскольку, после исключения из числа аргументов времени, осталась одна переменная x. Равенство нулю второй производной означает, что первая производная неизвестного распределения температуры поперек пластинки (по оси x) является постоянным числом и dT/dx = А, где А – неизвестная по величине постоянная интегрирования. Разделяя переменные и интегрируя еще раз, получаем

Т = Ax + B, (11.23)

где В – вторая константа интегрирования.

Для определения постоянных А и В необходимо задаться начальными условиями, т.е. заданными по условию значениями температур на одной стороне пластинки (при x = 0) и на противоположной (при x = δ). Положим, что при x = 0 температура равна Т₁, а при x = δ температура имеет значение Т₂. Подставляя граничные координаты и соответствующие им температуры в выражение (11.23), получаем систему уравнений

Т₁ = В, Т₂ =А· δ + В.

Определив из нее постоянные А и В, найдем распределение температуры в пластинке

. (11.24)

Из последнего выражения видно, что распределение температуры поперек пластинки в стационарном режиме определяется линейным законом (рисунок 11.3).

Теперь вычислим тот тепловой поток Q, который обеспечивает постоянное распределение температуры (11.24). Для этого, необходимо плотность потока тепла q умножить на площадь пластинки S, или, с учетом (11.21) и (11.24)

. (11.25)

Структура последнего выражения очень похожа на выражение для электрического тока, протекающего через сопротивление. Если считать тепловой поток формально подобным потоку электрических зарядов в единицу времени (ток), а разность температур – подобным разности потенциалов (напряжению), то тепловой поток запишется в виде

, (11.26)

где параметр

(11.27)

обозначается термином тепловое сопротивление стенки.

Решение подобной же задачи для случая цилиндрической стенки (труба, у которой температура вещества внутри, например, пара, отличается от температуры вне трубы), дает следующее выражение теплового сопротивления стенки:

, (11.28)

где d₁, d₂ – диаметры соответственно внешней и внутренней стенок цилиндра,

l – длина цилиндра.

Таким образом, решение дифференциального уравнения (11.21) удалось свести к обычному алгебраическому уравнению (11.26). При таком переходе теряется информация о законе распределения температурного поля внутри вещества, что, как правило, не представляет интереса. Зато резко упрощается решение задач, поскольку тепловые сопротивления можно суммировать как электрические при последовательном и параллельном соединениях.

Как пример, рассчитаем тепловое сопротивление терморезистивного преобразователя температуры в сборе, модель которого представлена на рисунке 11.4. Корпус элемента 1 выполнен из стального цилиндра; внутри, между терморезистором 2 и стенкой 1 сделана засыпка из кварцевого песка 3 (для снижения теплового сопротивления); размеры отдельных частей даны на рисунке. Теплопроводность стали (среднее значение) λ_ст = 40 Вт/(м·К), теплопроводность засыпки λз = 0,5 Вт/(м·К).

Полная тепловая проводимость (величина, обратная тепловому сопротивлению) ИП складывается из проводимости боковой цилиндрической поверхности и проводимости дна стакана (плоского диска). Тепловое сопротивление стального цилиндра, по формуле (11.28)

;

сопротивление цилиндрической засыпки, по той же формуле

.

Общее сопротивление цилиндрической стенки есть сумма последовательных сопротивлений:

R_Ц = R_СЦ + R_ЗЦ = 6,16 К/Вт.

Сопротивление стального диска дна стакана определяется по формуле (11.27)

;

по той же формуле сопротивление засыпки дна:

.

Общее сопротивление дна стакана R_Д = R_СД + R_ЗД = 40,3 К/Вт.

Окончательно тепловое сопротивление преобразователя R_П равно сумме параллельных сопротивлений цилиндрической стенки R_Ц и сопротивления дна стакана R_Д:

.

В практике вычислений и анализа часто удобнее рассматривать не тепловое сопротивление, а тепловую проводимость G = 1/R (размерность Вт/К); в частности, тепловая проводимость ИП, при известном тепловом сопротивлении R_П , равна

G_П = 1/R_П.

11.3.3 Пример анализа теплопередачи к ИП

Приведенных выше данных достаточно для рассмотрения упрощенной модели передачи тепла от измеряемой среды измерительному преобразователю температуры, например, термометру сопротивления. Для определенности, будем рассматривать термометр в трубе, по которой течет жидкость с большой теплопроводностью, например, жидкий натрий в теплообменном контуре атомного реактора (рисунок 11.5).

Температуру натрия обозначим через Т_x, температуру измерительного преобразователя (проволоки терморезистора) через T_П температуру внешнего пространства, окружающую трубу и верхнюю часть термометра – через T_О. Часть термометра (чувствительный элемент, изображенный на рисунке 11.4) погружена в измеряемую среду, а часть – выведена наружу, где к проводам терморезистора подключаются проводники следующих ИП (мостовой схемы, усилителя, блока питания).

До поступления в трубу горячей жидкости, начальные температуры ИП T_ПН, трубы и среды в трубе Т_ХН были равны температуре окружающей среды T_О, т.е. Т_ХН = T_ПН = T_О. В момент времени t = 0 в трубу подается измеряемая среда с постоянной температурой Т_Х.

Как бы резко не изменялась температура в трубе, мгновенно прогреть ИП физически невозможно, поскольку для мгновенного нагрева массы датчика (ИП, засыпка, стальной чехол) необходим неограниченный тепловой поток, а он конечен и зависит от величин тепловых сопротивлений элементов конструкции термометра. Поэтому начальные условия имеют вид: при t = 0 температура среды Т_Х0 = Т_Х; температура терморезистора Т_П0 = Т_О.

Поступающее через поверхность корпуса термометра тепло со скоростью (тепловой поток) Q, частично идет на нагрев терморезистора (тепловой поток Q₁), а частично на теплообмен терморезистора ИП с окружающей внешней средой через засыпку и выходные провода терморезистора (см. рисунок 11.4); эту часть потока обозначим через Q₂. Уравнение теплового баланса имеет вид

Q = Q₁ + Q₂. (11.29)

Согласно (11.26) тепловой поток Q₁ определяется разностью температур измеряемой среды (константа) Т_Х и чувствительного элемента Т_П (изменяется во времени)

, (11.30)

где G_П – тепловая проводимость преобразователя в сборе; пример его определения дан выше.

Тепловой поток Q₂ вычисляется аналогично, только проводимость вдоль засыпки и проводов будет иметь другое значение, обозначим его G_К:

. (11.31)

Нагрев терморезистора определяется количеством подводимого тепла, его удельной теплоемкостью и массой. Если за время dt подведено тепла Q₁·dt, а теплоемкость (произведение удельной теплоемкости на массу) считать равной К, то температура ИП возрастет на величину dT_П:

. (11.32)

Подставляя значения тепловых потоков из (11.30), (11.31), (11.32) в (11.29) получаем выражение теплового баланса через параметры термометра и значения температур:

.

После элементарных преобразований последнее выражение приводится к виду

,

в правой части которого в скобки объединены постоянные величины; обозначив их соответственно через А и В, перепишем уравнение в компактном виде:

, (11.33)

, (11.34)

. (11.35)

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (11.33), получаем выражение

,

интегрирование которого дает в явном виде функцию изменения температуры от времени, параметров среды и преобразователя

,

или . (11.36)

В последнем выражении через τ = К/В обозначен параметр, называемый постоянной времени преобразователя, а С – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями задачи. В рассматриваемом случае эти условия сформулированы выше: при t = 0 температура среды Т_Х0 = Т_Х, температура терморезистора Т_П0 = Т_О. Подставляя в выражение (11.36) значения А, В из (11.34) и (11.35), t = 0 и значения температур в этот момент, имеем

,

откуда

C = (T_O – T_Х)·G_П.

Окончательно зависимость температуры терморезистора от времени и других параметров определяется, если (11.36) решить относительно Т_П, с учетом полученных значений констант А, В, С:

. (11.37)

График зависимости изменения температуры от времени (в долях τ) представлен на рисунке 11.6. Проанализируем функцию изменения температуры и ее график.

11.3.3.1 Во – первых, видно запаздывание прогрева терморезистора (а следовательно, выходного сигнала ИП) относительно действительного значения температуры измеряемой среды. Разность значений температуры терморезистора в данный момент времени и температуры измеряемой среды в данный момент времени, есть динамическая составляющая погрешности ИП.

Если температура среды изменяется быстро (например, скачки температуры длительностью 0,1τ в цилиндре двигателя внутреннего сгорания), то динамическая погрешность окажется абсолютно недопустимой величиной. Величина рассматриваемой погрешности зависит, в основном, от значения постоянной времени τ в показателе степени (11.37): с уменьшением τ второе слагаемое функции будет быстрее стремиться к нулю и оказывать влияние на температуру терморезистора меньшее время.

Поскольку постоянная времени пропорциональна теплоемкости преобразователя K и обратно пропорциональна тепловой проводимости преобразователя (G_П + G_K), понятны направления конструктивных изменений для ее снижения: необходимо снижать массу проволоки терморезистора, например, заменой ее напыленным в вакууме тонким слоем металла на диэлектрическую подложку; использовать для чехла и засыпки материалы с высокой теплопроводностью.

11.3.3.2 Во – вторых, в статическом режиме, т.е. по прошествии времени более 3τ температура терморезистора Т_П остается ниже температуры среды Т_Х. Действительно, положив в (11.37) второе слагаемое равным нулю, получаем значение температуры Т_П равным

(11.38)

и отличным от Т_Х. Величина расхождения есть аддитивная составляющая погрешности ИП Δ_а, которая равна

.

Из анализа последнего выражения становятся понятны пути снижения аддитивной составляющей погрешности: нужно снизить теплопроводность вдоль преобразователя (если можно, уменьшая толщину защитного цилиндра) и погрузить его в измеряемую среду так, чтобы выполнялось условие G_K « G_П.

В подавляющем большинстве технических измерений указанных мероприятий оказывается вполне достаточно для реализации условия Δ_а ≤ 0,1 К.

Второй путь – уменьшение разности температур Т_Х – Т_О; такое решение, не очень простое в реализации, может оказаться легче, чем разработка преобразователя с более тонкими стенкой и слоем засыпки. Если позволяют условия измерительной задачи (допустимые погрешности, учет температуры холодного спая, уровень помех и другие), то предпочтительней использовать термопару вместо термометра сопротивления.

Весь проведенный анализ выполнен с весьма существенным упрощением, а именно, не был учтен факт подачи в терморезистор электрического тока от внешнего источника. Желательно сделать его возможно большим с тем, чтобы увеличить величину падения напряжения на терморезисторе. Как минимум, при этом возрастает соотношение сигнал/помеха, а как максимум – исключается последующий усилитель сигнала (схема измерительного канала упрощается и исчезает один из источников погрешности).

Однако при этом возрастает количество тепловой энергии, выделяемой терморезистором. При электрическом сопротивлении терморезистора R_Э и токе i электрическая мощность, выделяемая как удельная теплота Q_Э, определяется законом Джоуля

Q_Э = R_Э ·i².

Теперь уравнение теплового баланса (11.29) будет иметь вид

Q = Q₁ + Q₂ + Q_Э.

Повторяя проведенный выше расчет с учетом нового слагаемого, в конечном итоге получим выражение для температуры терморезистора Т_Пi при дополнительном условии протекания через него электрического тока:

, (11.39)

где Т_П – из (11.38).

Второе слагаемое в (11.39) определяет аддитивную погрешность преобразования , вызванную протекающим электрическим током

.

В правильно спроектированном термометрическом преобразователе, как указывалось выше, выполняется условие G_K « G_П. Это позволяет упростить последнее выражение и записать его (учтя, что 1/G_П = R_П) в виде

. (11.40)

При вычислениях по формуле (11.40) необходимо помнить, что R_П – тепловое сопротивление, имеющее размерность К/Вт, а R_Э – электрическое сопротивление терморезистора с размерностью Ом.

Используя последнее выражение, можно определить предельно допустимый ток при заданной погрешности от нагрева джоулевым теплом. Например, необходимо платиновым термометром сопротивления R₀ = 100 Ом (т.е. имеющим сопротивление 100 Ом при 0⁰ С) и стандартной чувствительностью S = 0,4 Ом/⁰ С измерять температуру пламени в топке. Предполагаемая наибольшая температура Т_М = 600⁰ С; предел допустимой погрешности от джоулева тепла = 0,1⁰ С. Для термометров сопротивления в малоподвижном газе тепловое сопротивление R_П примерно равно 30 К/Вт.

Решение. Общее электрическое сопротивление будет равно

R_Э = R₀ + S · Т_М = 340 Ом

и допустимый ток i_д не должен превышать величины, см. выражение (11.40)

; .

Относительно значения измеряемой температуры (600⁰ С) требование по погрешности ( = 0,1⁰ С) кажутся необоснованно жесткими. Такое заключение было бы справедливым, если бы речь шла о суммарной погрешности преобразования. Но мы обсуждаем только одну из множества составляющих, поэтому требования по погрешности указанной составляющей не являются чрезмерными.

11.3.4 ИП на основе конвективного теплообмена

Под конвективным теплообменом, как указывалось ранее, понимается перенос теплоты между выделенной поверхностью и движущейся относительно нее жидкостью или газом. Довольно часто под выделенной поверхностью понимают поверхность твердого тела, но это может быть поверхность раздела, например, жидкости и газа.

В чем отличие механизма конвективного теплообмена от теплопроводности? Отличие заключается в движении макроскопических объемов вещества (жидкости или газа), уносящих в конвективном потоке часть тепловой энергии. Здесь возможны два случая:

- Движение подвижного вещества вызвано внешними побудителями (прокачка жидкости насосом в холодильнике, обдув двигателя вентилятором и т.д.) - режим называется вынужденной конвекцией.

- Движение подвижного вещества вызвано воздействием на него теплового поля – режим свободной конвекции. Например, от батареи водяного отопления нагревается прилегающий слой воздуха. По закону Клапейрона объем его растет при постоянном давлении (атмосферное давление не зависит от работы котельной), а это означает уменьшение плотности воздуха. По закону Архимеда (см. п. 9.3.2) менее плотный газ «всплывает», унося часть тепловой энергии батареи, а на его место устремляется тяжелый холодный воздух.

На процесс конвективного теплообмена, как показали многочисленные эксперименты, влияет множество факторов: скорость потока, форма обтекаемого тела, структура потока и т.д. Описать уравнением все факторы, влияющие на теплообмен, не представляется возможным. Ньютон предложил следующий подход: записать выражение теплового конвективного потока Q (в порядке напоминания: тепловой поток – скорость прохождения тепла от жидкости к стенке или в обратном направлении) в виде

, (11.41)

где α – параметр, называемый коэффициентом теплоотдачи, размерность м²/с;

S – площадь поверхности стенки, омываемой жидкостью или газом;

Т_С – температура стенки;

Т_Н – температура жидкости или газа вдали от стенки (температура набегающего потока).

Разность температур в выражении (11.41) взята по модулю, чтобы учесть случаи Т_С < Т_Н (например, пар в паропроводе турбины) и Т_С > Т_Н (например, охлаждение полых проводников водой в мощных электрогенераторах).

Поскольку коэффициент теплоотдачи α является комплексным параметром, то его определение в каждом случае представляет большую сложность. С одной стороны, коэффициент является функцией свойств протекающего вещества (теплоемкости, плотности, теплопроводности) и характера его течения (см. раздел 9), а с другой стороны – от характеристик твердой стенки или обтекаемого тела (геометрической формы проходного сечения, наличия ребер и т.д.).

Отсутствие общего аналитического решения уравнений для определения значений тепловых потоков (или разности температур при известном потоке) привели к разработке полуэмпирических методов теории подобия определения коэффициентов теплоотдачи. Методы подобия состоят из двух частей:

- сначала из общих дифференциальных уравнений модели процесса теплопередачи при определенной геометрии поверхности обтекания и структуре потока жидкости (газа) выводится критерий подобия;

- после чего путем многочисленных и тщательных экспериментов устанавливают для каждого обобщенного (подобного) случая соответствующие числовые значения коэффициентов и показателей степени величин, входящих в критерии подобия.

Подробно с указанными методами можно ознакомиться в [18, 21]. Мы рассмотрим только один случай: вынужденный конвективный теплообмен при обтекании твердого цилиндрического тела, например, нагретой электрическим током проволочки малого диаметра, являющейся измерителем скорости потока газа или жидкости.

Итак, предположим, что перпендикулярно вектору скорости газа с температурой Т_Н установлен цилиндр диаметром d, длиной l (d « l) с температурой стенки Т_С. Необходимо определить поток тепла, уносимый движущимся газом с поверхности проволоки.

Предварительно рассмотрим более простую задачу, а именно: тонкую пластинку длиной L, расположенную по координате x, имеющую постоянную температуру Т_С омывает с постоянной скоростью U₀, направленной параллельно поверхности пластинки, поток газа температурой Т_Н. Необходимо определить физическую картину теплообмена.

Из анализа гидродинамических процессов известно (см. гл. 9), что тонкий слой газа, контактирующий с поверхностью пластинки неподвижен, следующий слой (в зависимости от вязкости) – движется с незначительной скоростью и т.д. до границы, где скорость потока U₀ уже не зависит от наличия пластинки. Относительную толщину указанного переходного (пограничного) слоя вдоль оси y, нормальной к поверхности пластинки, характеризует критерий Рейнольдса Re (см. п. 9.5.2).

Но если у поверхности пластинки газ неподвижен, то теплота в нем передается только за счет теплопроводности согласно уравнению Фурье (см. п. 11.3.2). Следовательно, конвективный теплообмен состоит из двух процессов: передачи тепла непосредственно от молекулы к молекуле как в твердом теле (теплопроводность) и унос тепла движущимся потоком. Причем тепловые процессы происходят в тепловом пограничном слое газа толщиной δ_Т, прилегающем к поверхности пластинки, в пределах которого температура газа изменяется от Т_С до температуры невозмущенного набегающего потока Т_Н. Остальной газ (вне пределов пограничного слоя) никакого влияния на теплообмен не оказывает. Для оценки эффективности теплопередачи, следовательно, необходимо определить порядок толщины теплового пограничного слоя δ_Т.

С этой целью вновь рассмотрим уравнение (11.22), которое является уравнением баланса тепловой энергии: сколько приобретает внутренней энергии элемент газа с теплоемкостью c_v (и уносит ее за счет движения газа), столько же его отдает первый (неподвижный слой газа) за счет теплопроводности в направлении, перпендикулярном пластинке, т.е. по оси y:

. (11.42)

Для исключения из последнего уравнения времени, левую его часть умножим и разделим на :

,

где - скорость в пограничном слое.

Теперь (11.42) запишется в виде:

. (11.43)

Оценим порядок входящих в последнее выражение величин, как это объяснялось в п. 9.5.1 и было использовано в п. 9.5.2. Характерными размерами в данном случае будут: скорость невозмущенного потока газа – U₀; расстояние по оси x – длина пластинки L; расстояние по оси y – толщина теплового пограничного слоя δ_Т; диапазон температур – разность (Т_С – Т_Н). Подставим характерные размеры в (11.43), заменяя ими переменные и их дифференциалы:

,

откуда после элементарных преобразований

.

Отношение теплопроводности вещества λ к его теплоемкости ρ·c_v называется коэффициентом температуропроводности а. Перепишем последнее выражение в более сжатом виде:

,

или

.

Последнее выражение по структуре точно совпадает с выражением для относительной толщины динамического слоя (9.26). Безразмерная величина под корнем квадратным, характеризующим толщину теплового пограничного слоя носит название критерия Пекле Pe:

Pe = U₀ L /a, (11.44)

и относительная толщина теплового пограничного слоя имеет порядок величины

. (11.45)

Теперь осталось понять, как соотносятся толщины динамического δ и теплового δ_Т пограничных слоев. Для ответа на этот вопрос достаточно выражение (9.28) разделить на (11.44):

.

Отношение критерия Пекле к критерию Рейнольдса показывает насколько пограничные слои и структуры распределения скоростей потока и распределения температур подобны. Это отношение называется критерием Прандтля

Pr = Pe / Re = ν/а,

где ν – коэффициент кинематической вязкости,

а – коэффициент температуропроводности.

Именно критерий Прандтля входит в эмпирические выражения конвективного теплообмена. Экспериментально установлено, что при скоростях газа много меньше скорости звука критерий Прандтля близок к единице (динамический и тепловой пограничные слои имеют одинаковую толщину), а для капельных жидкостей он существенно больше единицы и имеет индивидуальные значения для различных жидкостей.

После проведенного рассмотрения теплообмена газа (жидкости) с пластинкой, можно вернуться к основной задаче определения конвективного теплообмена при обтекании жидкостью или газом цилиндра. Основным уравнением для анализа, как указывалось выше, является уравнение (11.41) связи теплового потока и разности температур стенки и набегающего потока газа (или капельной жидкости). Проблема свелась к определению коэффициента теплоотдачи α.

На основании теории подобия и результатов экспериментов для случая обтекания цилиндра жидкостью выражение для коэффициента теплоотдачи имеет вид [2]:

, (11.46)

где с и n – экспериментально определяемые константы. Для воды, например, эти константы имеют следующие значения (табл. 11.1)

Таблица 11.1 - Константы теплоотдачи воды

Re	c	n
5 – 80	0.93	0.4
80 - 5·103	0.715	0.46
> 5·103	0.226	0.6

Таблица 11.2 - Данные для вычисления критерия Прандтля (жидкость - вода)

Температура t, 0 С	Кинематическая вязкость ν, м2/с	Теплопроводность λ, Вт/(м·К)	Коэффициент температуропроводности а, м2/с
20	1·10-6	0,60	1,4·10-7
60	0,5·10-6	0,66	1,6·10-7
80	0,4·10-6	0,69	1,65·10-7

Для газов критерий Прандтля близок к единице и выражение (11.46) упрощается до вида

. (11.47)

Коэффициенты c и n сохраняют значения, указанные в таб. 11.1; изменяются только данные по теплопроводности (например, при температуре 0⁰ С воздух имеет теплопроводность 0,024 Вт/(м·К), а водород – 0,17 Вт/(м·К)) и вязкости газов (кинематическая вязкость воздуха 13,7 ·10^-6 м²/с, а водорода – 98,0·10^-6 м²/с).

Как можно использовать результаты анализа конвективного теплообмена для разработки ИП? Из уравнений (11.41) и (11.47) видно, что если поместить в поток газа (или жидкости) проволочку малого диаметра с температурой Т_С, отличной от температуры омывающего газа Т_Н, то количество уносимого за счет конвекции тепла будет функцией теплопроводности λ и скорости потока U₀ (входит в выражение критерия Рейнольдса Re).

Нагреть проволочку можно, пропуская через нее электрический ток. Если сопротивление проволочки R то при токе I выделяемое количество тепла в единицу времени равно рассеиваемой мощности, т.е. I²·R. Пример подобного измерителя скорости, называемый термоанемометром, приведен на рисунке 11.7,а. Нить ИП из платины или вольфрама диаметром несколько микрометров и длиной от 1 до 5 мм крепится в вилке 2 из металлических упругих проволок. Проволоки 2 проходят сквозь диэлектрическое тело зонда 3 и кончаются отрезками проводов 4 для подключения источника питания нити и вторичных преобразователей.

При постоянных значениях теплопроводности газа и его температуры с ростом скорости его течения температура проволочки будет понижаться и потребуется большая величина тока для поддержания температуры Т_С; получается малогабаритный и очень быстродействующий преобразователь скорости потока газа в электрический ток.

Функция преобразования термоанемометра, определяемая из уравнения теплового баланса, имеет вид

,

где Q_ПОТ - тепловые потери на излучение и теплопередачу элементам крепления накаленной проволочки.

Функция преобразования (графическое изображение ее представлено на рисунке 11.7,б) имеет сугубо нелинейной вид, поскольку скорость входит в выражение теплообмена в степени примерно 0,5 (см. в таблице 11.1 значение коэффициента n) и величина тока в квадрате.

К другим недостаткам ИП можно отнести наличие аддитивных составляющих погрешности за счет передачи части тепла проволочки крепежным элементам Q_ПОТ, изменения температуры газового потока или вектора скорости потока относительно проволочки. Все эти вопросы требуют решения при создании ИП и разработке методики его применения.

11.3.5 ИП температуры на основе теплового излучения вещества

Тепловое движение элементарных частиц, составляющих вещество, сопровождается электромагнитным излучением (см. п. 11.2), уносящим часть его внутренней энергии. И обратно, электромагнитные волны, падающие на тело, вызывают повышение его внутренней энергии. Однако дать общую теоретическую модель процесса излучения или поглощения электромагнитных волн для твердых, жидких и газообразных веществ не представляется возможным. Это связано со следующим обстоятельством.

Предположим, на какую – то поверхность, например, тонкой пластинки, падает поток излучения Ф (энергия за единицу времени, Вт). Экспериментально установлено, что энергия частично Ф_О отражается поверхностью, частично Ф_П поглощается пластинкой, частично Ф_ПР пропускается далее через пластинку. Доля каждой составляющей энергии характеризуется своим коэффициентом:

коэффициент отражения ρ = Ф_О/Ф;

коэффициент поглощения α = Ф_П/Ф;

коэффициент пропускания τ = Ф_ПР/Ф.

Численные значения указанных коэффициентов для каждого вещества сугубо индивидуальны, зависят не только от температуры тела, но и от шероховатости поверхности, ее цвета, наличия внутренних напряжений и т.д. Понятно, что отобразить столь разнообразные свойства излучения (поглощения) электромагнитной энергии индивидуальными веществами в виде одной обобщающей модели не представляется возможным.

Поэтому законы теплового излучения (поглощения) разработаны для модели абсолютно черного тела (далее, для краткости – черное тело), под которым понимается тело, коэффициент поглощения которого равен единице (соответственно коэффициенты отражения и пропускания для него равны нулю).

Реально таких тел, конечно, не существует, но можно создать конструкцию, очень близкую по свойствам к черному телу. Например, полый шар с небольшим входным отверстием, через которое лучи света проникают во внутреннюю полость. Внутри полости лучи многократно переотражаются; вероятность выхода части лучей из полости через входное отверстие крайне мала и вся лучистая энергия поглощается. При этом материал, из которого сделан шар, и другие его характеристики (цвет, шероховатость стенок) не играют роли.

Энергия, излучаемая черным телом при нагреве, распределена между бесконечным множеством электромагнитных волн различной длины λ; энергия, излучаемая единицей поверхности в единицу времени и приходящаяся на малый интервал длин волн Δλ вокруг длины λ, называется спектральной плотностью энергии светимости черного тела E_λ,T. Значения спектральной плотности энергии для черного тела зависят от длины волны и абсолютной температуры тела (закон Планка):

, (11.48)

где С₁ = 3,74·10^-16 Вт·м²; С₂ = 1,44·10^-2 м·К;

λ – длина электромагнитной волны, м;

Т – температура черного тела, К.

Графический вид зависимости (11.48) для нескольких температур представлен на рисунке 11.8. Пунктирной линией указаны изменения длин волн максимумов излучения при различных температурах λ_max, входящих в закон Вина (11.13).

Для характерных в технических установках температур (от 200 К до 3000 К) длины волн излучения находятся в диапазоне от 1·10^-4 м до 1·10^-7 м. При этих значениях длин волн С₂ > λ ·Т, что позволяет (с погрешностью не более 1%) пренебречь единицей в скобках выражения (11.48):

. (11.49)

Для определения плотности полной тепловой энергии, уносимой излучением с поверхности черного тела, имеющего температуру Т, необходимо определить площадь под соответствующей кривой рисунке 11.8. Или, по-другому, необходимо взять интеграл от выражения (11.48) в пределах от λ = 0 до λ = . В результате интегрирования получается значение полной удельной энергии Е_Т, излучаемой черным телом при температуре Т (закон Стефана – Больцмана)

, (11.50)

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴).

Уравнения (11.49) и (11.50) указывают направления создания уникальных преобразователей температуры тел. Уникальность ИП состоит в том, что:

- это единственные ИП температуры практически в любом диапазоне – от единиц до десятков тысяч кельвин. Именно приемники электромагнитных излучений позволили экспериментально обнаружить остаточное излучение (реликтовое излучение), возникшее в момент первичного взрыва, создавшего нашу Вселенную (порядка 13,5 миллиардов лет тому назад). Температура реликтового излучения примерно равна 3 К. И одновременно, аналогичными по идее функционирования ИП, измеряется температура звезд, равная десяткам и сотням тысяч К;

- обеспечивается преобразование температуры без механического контакта между ИП и объектом измерения, например, дистанционное измерение температур в плавильных печах, топках котлов и т.д.;

- возможно преобразование температуры движущихся объектов, например, металлических листов в прокатном стане.

Уравнение (11.49) указывает на одну возможность создания ИП, а именно, зависимость интенсивности излучения при определенной длине волны от температуры. Поскольку реально выделяется для преобразования не одна волна определенной длины λ (называемая монохроматической), а совокупность электромагнитных волн с длинами, близкими к λ, то ИП называется квазимонохроматическим пирометром. Упрощенная схема реализации подобного пирометра с участием наблюдателя представлена на рисунке 11.9, а (известны схемы и автоматических пирометров, в которых выходной электрический сигнал получается без участия оператора).

Поток света M от объекта через объектив О₁ фокусируется на вольфрамовой нити лампы накаливания G. Далее свет от объекта и накаленной нити лампы через светофильтр F и окуляр О₂ поступает в глаз наблюдателя А. Ток лампы создается батареей В, а величина его и, соответственно, светимость нити, определяется положением движка потенциометра R. Как правило, светофильтр F пропускает свет красного цвета с длиной волны λ = 0,65 мкм.

Температуру нити лампы нельзя повышать выше 1500⁰ С, в противном случае вольфрам начинает испаряться, оседать на стенках лампы и изменять оптические свойства канала прохождения света; а главное – нить становится тоньше и меняются положения потенциометра, соответствовавшие определенной температуре нити во время градуировки преобразователя. Поэтому для случая измерения температуры выше 1500⁰ С предусмотрена установка поглощающего светофильтра S, снижающего яркость света от объекта в известное число раз.

Наблюдатель видит в объективе нить лампы на фоне светлого пятна, создаваемого объектом, чья температура измеряется (рисунок 11.9, б). Если температура нити ниже температуры объекта, то в окуляре видна темная нить (рисунок 11.9, б – I). Перемещая движок потенциометра в направлении повышения тока, наблюдатель увеличивает температуру нити; если при этом температура нити станет выше температуры объекта, то в окуляре будет видна более светлая нить, чем фон (рисунок 11.9, б – II). При совпадении температур нити и объекта, нить перестает быть видна (рисунок 11.9, б – III). Показания движка потенциометра в этом положении и являются данными о температуре объекта.

Предварительная градуировка пирометра, т.е. установление зависимости тока нити лампы от температуры объекта, осуществляется по показанию светимости модели черного тела, температура которой точно измеряется контактным ИП (например, термопарой).

Пирометры, реализующие функцию преобразования по уравнению (11.50), т.е. использующие для преобразования в температуру энергию всего спектра излучения, называются пирометрами полного излучения.

В пирометрах полного излучения поток света от измеряемого объекта фокусируется объективом на батарее термопар, включенных последовательно (для увеличения выходного напряжения с батареи). Поступающая энергия нагревает горячие спаи термопар и суммарная термо-э.д.с. е_Т оказывается функцией плотности падающей световой энергии Е_Т:

е_Т = f(Е_Т) = f(σТ⁴). (11.51)

Таким образом, температура объекта преобразуется в электрическое напряжение по функции преобразования (11.51). Практически зависимость выходной термо-э.д.с. от температуры для ИП рассматриваемого типа определяют так же по показаниям температуры черного тела, как и для квазимонохроматических пирометров.

Поскольку в пирометрах полного излучения преобразование излучения в электрическое напряжение осуществляется с использованием энергии света всех длин волн, указанный пирометр оказывается более чувствительным при низких температурах, чем монохроматический; а при высоких температурах, когда каждая волна несет достаточно большую энергию – наоборот.

Проведенный анализ исходил из модели объекта измерения как абсолютно черного тела, имеющего соответствующий спектр излучения и суммарную плотность энергии излучения. Реальные же тела, жидкости и газы очень сильно отличаются по энергии и спектру излучения от черных тел. Это первое отличие принятой модели от действительных условий преобразования.

Во–вторых, прохождение электромагнитных волн сквозь среду от объекта измерения до чувствительного элемента ИП сопровождается искажением спектра излучаемого сигнала, вызванного поглощением части света на определенных длинах волн в воздухе (особенно парами воды и частицами пыли) и оптической системой самих пирометров.

Как следствие указанных обстоятельств, погрешности преобразования составляют десятки процентов. Появляется необходимость изучить источники столь больших погрешностей и разработать меры по их учету или парированию. Рассмотрим кратко каждое направление.

Исследование излучательной способности различных веществ показало, что отличия их плотностей излучаемой энергии от излучения черного тела зависят от длины волны и температуры вещества. Если при определенной температуре Т плотность энергии черного тела на определенной длине волны света λ обозначить через Е _{λ ,Т}, а плотность энергии конкретного вещества при той же температуре при той же длине волны излучения – через , то их отношение, которое можно использовать как поправку в результаты преобразования, называется коэффициентом черноты частичного излучения тела ε_λ,Т:

. (11.52)

Для плотности энергии полного излучения, используя интегральные значения плотности излучения, аналогично получим коэффициент черноты суммарного излучения тела ε_Т :

. (11.53)

С учетом (11.52) и (11.53), законы излучения для реальных веществ запишутся в виде:

(11.54)

и

. (11.55)

Коэффициенты черноты приводятся в справочниках, правда с большим разбросом численных значений, что, конечно, снижает точность вводимых поправок в результаты измерений. Для некоторых веществ средние справочные данные приведены в таблице 11.2.

Как видно из данных таблицы 11.2, функции преобразования пирометров без учета коэффициентов черноты будут иметь очень большие мультипликативные погрешности преобразования.

Таблица 11.2 - Коэффициенты черноты излучения тел

Наименование материала	ελ,Т при λ = 0,65 мкм	Температура, 0С	εТ
Серебро	0,07	1000	0,035
Медь	0,11	1000-1300	0,13-0,15
Никель	0,36	1000-1400	0,06-0,07
Платина, проволока	0,33	900-1100	0,12-0,17
Чугун	0,37	1300	0,3

Например, для пирометров полного излучения измеренная температура объекта (как модели черного тела) Т_Ч, согласно (11.55), должна умножаться на коэффициент , т.е. действительная температура объекта измерений Т равна

.

Взяв данные из таблицы 11.2, можно убедиться, что пренебрежение коэффициентом черноты даст результаты измерений температуры на 35% ниже действительной для чугуна, на 60% ниже для платины и т.д.

Сложнее учесть влияние на показания пирометров свойств оптических каналов (воздушной среды, линз и других элементов) и методики выполнения измерений. Последнее обстоятельство поясним на примере.

Одним пирометром полного излучения измеряется температура жидкого чугуна в доменной печи и его же температура в ковше, куда чугун слит. Действительная температура чугуна практически не изменилась за время слива, но показания пирометра будут существенно отличаться. Связано это с тем, что излучение с жидкой поверхности чугуна в ковше соответствует свободному излучению, и плотность энергии определяется выражением (11.55); в закрытой же доменной печи лучи света многократно переотражаются и выходящий через малое отверстие поток света имеет плотность энергии черного тела, описываемого выражением (11.50).

Второе направление уменьшения погрешностей преобразования – парирование их воздействия конструктивными методами. Идея подобных пирометров, называемых, пирометрами спектрального отношения, базируется на предположении близости значений коэффициентов черноты частичного излучения ε_λ,Т, коэффициентов поглощения средой ε_С, оптической системой ε_О для двух световых волн с близкими длинами.

Возьмем два одинаковых монохроматических пирометра, отличающихся только светофильтрами. У одного он красный и пропускает свет с длиной волны λ₁ = 0,65 мкм, а у второго – оранжевый (λ₂ = 0,60 мкм). Поскольку длины волн близки, будем считать, что все коэффициенты для них равны. Направим оба пирометра на один объект с температурой Т. Тогда спектральная плотность энергии для первого пирометра будет равна

, (11.56)

а для второго

. (11.57)

Отношение спектральных плотностей энергии r не зависит от всех перечисленных выше коэффициентов, а при постоянных длинах волн является только функцией температуры объекта:

. (11.58)

Схема пирометра претерпела существенное усложнение: появился второй преобразователь и вычислитель. Зато показания теперь являются только функцией температуры измеряемого объекта и не зависят от коэффициентов излучения, пропускания лучей оптическими каналами, методики выполнения измерений. Это большое преимущество данного типа пирометра.