8 Эффекты взаимодействия магнитных полей

И ИП НА ИХ ОСНОВЕ

8.1 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ

8.1.1 Взаимодействие магнитного поля и электрических зарядов

В разделе 4.5.1 было показано, что движущиеся электрически заряженные частицы (неважно в чем – в вакууме или в металле, электролите) порождают вокруг себя силовое поле, отличное по свойствам от электрического.

Свойства этого поля были исследованы А. Ампером и установлено: заряд q движущийся со скоростью v (вектор) на расстоянии r создает магнитное поле, направление и величина которого (магнитная индукция B) определяется в вакууме уравнением (п. 4.24)

, (8.1)

где В - вектор магнитной индукции, величина которого имеет в системе СИ размерность тесла (Т);

μ₀ = 4π·10^-7 Г/м - магнитная постоянная (Г – сокращение от размерности индуктивности - генри);

e_r – единичный вектор по направлению вектора r.

Если движущиеся электрические заряды распределены в пространстве, например, движутся в проволоке в виде электрического тока, то для определения магнитной индукции в какой – либо точке пространства необходимо суммировать бесконечно малые приращения магнитной индукции dB от каждой порции движущихся зарядов dq:

. (8.2)

В преобразованиях (8.2) использованы следующие равенства:

- скорость зарядов v есть производная от пути dl по времени dt, умноженная на единичный вектор e_v направления скорости в данной точке пространства;

- элементарный заряд dq отнесенный к элементу времени dt по определению является величиной электрического тока I;

- поскольку заряды в проводнике перемещаются вдоль проводника, то единичный вектор скорости e_v, умноженный на элемент длины проводника dl, определяет направление проводника в данной точке – dl.

Экспериментально зависимость между величиной тока в элементе проводника и создаваемой индукцией магнитного поля исследовали Био и Савар, строгую математическую форму этой зависимости придал Лаплас. Поэтому выражение

(8.3)

описывает закон Био – Савара – Лапласа, который позволяет рассчитать напряженность магнитного поля тока, протекающего в проводнике любой формы (в виде спирали, рамки и т.п.).

Знание величины индукции магнитного поля позволяет определить силу магнитного взаимодействия двух движущихся систем зарядов. Пусть ток в одном проводе создает на расстоянии а магнитное поле индукцией В; поместим на этом расстоянии а второй прямолинейный проводник длиной l c током I. Если угол между направлением индукции и элементом проводника с током равен α, то сила F_M (по модулю), которую испытывает проводник с током, определяется формулой Ампера

.

В частном случае двух бесконечных прямолинейных проводников, расположенных параллельно в вакууме на расстоянии а, по которым текут равные токи I, взаимодействуют с силой

. (8.4)

Выражение (8.4) лежит в основе определения единицы силы тока: «ампер есть сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2· 10^-7 ньютона на каждый метр длины» [23].

Практический интерес представляет не случай прямолинейных проводников, а согнутых в виде рамки (рисунок 8.1). В этом случае взаимодействие магнитного поля постоянного магнита с напряженностью B и магнитного поля тока I в рамке (вектор напряженности поля в рамке направлен по ее внутренней оси как у соленоида, см. п. 4.5.1) создают механический момент 2rF. Указанный момент стремится повернуть рамку с током вокруг оси О – О так, чтобы вектор магнитной напряженности рамки совпадал с вектором напряженности магнитного поля постоянного магнита В.

Если ось О - О крепится в подшипниках, то момент сил будет поворачивать ее вокруг оси. Указанный эффект лежит в основе работы всех электродвигателей.

В измерительной технике взаимодействие магнитного поля тока в рамке с полем постоянного магнита широко использовался в стрелочных электроизмерительных приборах (до широкого распространения цифровых жидкокристаллических дисплеев). В них на оси рамки крепилась стрелка и спиральная пружина. Пружина создавала силу, противодействовавшую повороту рамки; поэтому угол поворота был пропорционален величине тока в рамке, а стрелка показывала величину поворота по шкале. Деления на шкале наносились пропорционально величине тока через рамку или (при подключении внешнего образцового сопротивления) пропорционально напряжению. Так реализовалось измерительное преобразование электрического тока (напряжения) в геометрическую величину (угол поворота).

8.1.2 Явление электромагнитной индукции

Другой важный эффект обнаружил М. Фарадей: оказывается, не только электрический ток порождает магнитное поле, но имеет место и обратный эффект: магнитное поле порождает электрический ток при определенных условиях.

Для выявления необходимых условий рассмотрим следующий эксперимент (рисунок 8.2).

По П – образной проволочной рамке шириной l и сопротивлением R перемещается со скоростью v прямой кусок провода 1-2 с сопротивлением r. Сопротивление r « R, так, что можно считать r = 0. Вся конструкция пронизывается постоянным магнитным полем с индукцией В. Для простоты, будем считать, что вектор В перпендикулярен площади рамки, а вектор скорости v перпендикулярен подвижному участку проволоки 1-2 и вектору В. Принятые условия упрощают решение задачи, не лишая ее общности.

Содержащиеся в отрезке проволоки 1-2 заряженные частицы (электроны и ионы кристаллической решетки) при перемещении проволоки создают магнитное поле как всякие движущиеся заряды. Поле зарядов взаимодействует с внешним магнитным полем с силой F (сила Лоренца), определяемой уравнением (4.25), а именно

. (8. 5)

Уравнение показывает: сила постоянного магнитного поля с индукцией В, действует на заряды так, что они смещаются в направлении, перпендикулярном и вектору индукции В, и вектору скорости v. В нашем эксперименте, следовательно, на заряженные частицы провода 1-2 действует сила F вдоль провода; при этом электроны должны смещаться к одному концу провода (например, 1), а положительные ионы - к концу 2.

Но кристаллическая решетка является жесткой конструкцией и ионы перемещаться не могут. Электроны проводимости перемещаются к концу провода 1, у противоположного конца 2 возникает их недостаток. Протекая по П – образному участку проволоки электроны совершают работу, величина которой равна произведению силы на пройденный путь. А поскольку работа одного электрона (и равное ей напряжение U) в потенциальном поле не зависит от формы пути (см. п. 4.4), то можно записать

.

При выполнении математических преобразований учитывались следующие соображения:

- В электротехнике исторически принято считать, что ток течет от положительного потенциала к отрицательному, поэтому ток отрицательных электронов принимается порожденным разностью потенциалов обратного знака.

- Скорость проводника можно представить как отношение приращения пути dh к приращению времени dt.

- Произведение dh на длину l есть приращение площади dS, пронизанной вектором В, за время dt.

- Скалярное произведение вектора индукции В на нормаль n к площади dS, которую он пронизывает и на саму площадь называется магнитным потоком dФ (в порядке напоминания – скалярное произведение двух векторов является скаляром):

dФ = В·n ·dS. (8.6)

Величина магнитного потока настолько важна в теории электромагнитных эффектов, что она имеет специальную единицу. Единица называется вебер (Вб) и равна произведению магнитной индукции в 1 Гс, пронизывающей перпендикулярно площадь в 1м².

Теперь можно перейти к анализу выведенной формулы

. (8.7)

Если выражение (8.6) верно (часто математические преобразования не получают экспериментального подтверждения, поскольку зависят от адекватности принятой модели), то условие порождения магнитным полем электрического напряжения следующее: электрическое напряжение в проводящем контуре возникает при любом изменении магнитного потока во времени независимо от метода реализации изменения.

Экспериментальная проверка этого утверждения подтвердила ее справедливость – проволочный контур можно вращать в магнитном поле (при этом меняется его площадь, пронизываемая магнитной индукцией), можно изменять (или вращать) магнитное поле – в любом случае на разомкнутых концах контура появляется напряжение, способное перемещать заряды при замыкании через нагрузку электрической цепи.

Как правило, магнитное поле пронизывает не один виток (контур) провода, а несколько, в общем случае w витков. Поскольку витки образованы одним проводником, то возникающая в каждом витке э.д.с. (8.7) суммируется с э.д.с. других витков, и общая э.д.с. U_o будет равна

, (8.8)

где ψ – параметр, называемый потокосцеплением; размерность его – вебер, как и Ф:

ψ = wФ. (8.9)

Широчайшее распространение электричества в промышленности и в быту определяется формулой (8.8). Именно из нее следуют условия построения мощных электрогенераторов: вращение магнита (ротора), поле которого пересекает площади неподвижных катушек провода (контуров), называемых обмоткой статора, вызывает появление на выходных концах катушек статора э.д.с. Именно она способна совершать работу по вращению электродвигателей, питанию электроламп освещения, электронного оборудования (телевизоров, радиолокаторов и т.д.). Однако для нас представляют интерес другие эффекты, которые и будут рассмотрены далее.

8.1.3 Явление самоиндукции

Если последовательно вернуться назад от выражения (8.9) для потокосцепления ψ к магнитному потоку Ф (8.6), от него к магнитной индукции в выражении закона Био – Савара – Лапласа (8.3), то становится очевидным, что потокосцепление ψ в контуре является линейной функцией от величины тока, породившего магнитное поле:

ψ = L·I. (8.10)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура и при неизменных размерах контура с током в вакууме (или в воздухе) остается константой. Сделанные уточнения носят существенный характер, поскольку, во –первых, в измерительных преобразователях используется эффект изменения индуктивности при изменении преобразуемого параметра; во – вторых, часто при разработке ИП применяются материалы с нелинейными магнитными свойствами, что приводит к зависимости величины индуктивности от тока в контуре.

За единицу индуктивности в СИ (1 генри) принимают индуктивность такого контура, в котором протекание тока в 1 А оказывается сцепленным с потоком 1 Вб. С другой стороны, размерность индуктивности можно установить из выражения (8.8):

. (8.11)

При постоянной индуктивности выражение упрощается до

, (8.12)

из которого следует второе определение единицы индуктивности генри (сокращенно - Г): 1 Г = 1 В·с/А = 1 Ом·с.

Для примера определим индуктивность соленоида. Если длина его много больше диаметра витков, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать поле внутри соленоида однородным. При протекании по виткам тока I внутри соленоида возбуждается магнитное поле с индукцией, определяемой интегрированием выражения (8.3). Поскольку поле в соленоиде перпендикулярно плоскости витков провода, то векторное произведение векторов можно записать в скалярной форме в виде:

.

При радиусе витков r длина элемента провода dl = r · dφ, где dφ – центральный угол. Следовательно, индукция одного витка соленоида равна

.

Магнитный поток одного витка Ф равен произведению индукции B на площадь витка π r²:

.

Потокосцепление, по определению, равно магнитному потоку, умноженному на число витков N:

.

И, наконец, индуктивность L соленоида:

.

Теперь рассмотрим следующий процесс: в контуре течет постоянный ток I, создающий потокосцепление согласно (8.10); в какой – то момент времени ток изменили, например, начали его уменьшать по линейному закону i = I – k· t, t – время, k – константа с размерностью А/с. Возникает вопрос: к каким изменениям величины тока (напряжения) в контуре это приведет?

Эксперименты показали, что изменение потокосцепления оказывает влияние на контур независимо от того, чем вызвано изменение магнитного поля. Поэтому изменение тока (а, следовательно, магнитного поля) в контуре, согласно (8.12) создает на концах его э.д.с.

.

Получается, что снижение тока ведет к росту напряжения на контуре, препятствующего его изменению. Легко проверить, что рост тока приведет к появлению э.д.с. обратного знака, вновь препятствующего изменению магнитного поля.

Возникающая при изменении потокосцепления э.д.с. называется э.д.с. самоиндукции и ее полярность определяется правилом Ленца. Правило гласит: при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в последнем возникает электрическая сила, стремящаяся сохранить постоянство магнитного потока.

Для примера рассмотрим прохождение через контур с индуктивностью L синусоидального тока ; i₀ – амплитудное, т.е. максимальное за период значение тока. На подводящих проводах будет присутствовать напряжение u, обратное по знаку э.д.с. самоиндукции

.

Если через u₀ обозначить амплитудное значение напряжения на контуре, то . По аналогии с постоянным током, величина, связывающая напряжение на элементе и ток, протекающий в нем, называется индуктивным сопротивлением

, (8.13)

с размерностью Ом. Выражение (8.13) точно соответствует правилу Ленца: чем выше частота изменения тока ω, т.е. чем быстрее он пытается измениться, тем большее сопротивление X_L оказывает индуктивность такому изменению.

8.1.4 Явление взаимоиндукции

Рассмотрим два близко расположенных контура (рисунок 8.3), по которым течет ток соответственно i₁ и i₂. Поток Ф₁, создаваемый током i₁, частично замыкается в пределах первого контура – это составляющая Ф₁₁, а частично проходит и через второй контур – составляющая Ф₁₂. Весь поток, выраженный через составляющие, равен Ф₁ = Ф₁₁ + Ф₁₂. Рассуждая аналогично относительно второго контура получим выражение Ф₂ = Ф₂₂ + Ф₂₁.

Если первый контур имеет количество витков w₁, а второй – w₂, то полное потокосцепление контуров будет равно соответственно числу витков, умноженному на полный поток соответствующего контура. Например, для первого контура это будет произведение w₁ на суммарный поток Ф₁ и часть магнитного потока второго контура Ф₂₁, пронизывающего первый.

Но здесь возникает дополнительное обстоятельство: токи в контурах могут быть направлены в одну сторону, создавая магнитные поля с одинаковым направлением вектора индукции, как это изображено на рисунке 8.3. А могут быть токи, и, соответственно, вектора индукции направлены в противоположные стороны – для этого достаточно на рисунке 8.3, например, во втором контуре поменять полярность подключенного источника тока.

С учетом сказанного, выражения потокосцеплений в общем случае будут иметь вид:

, (8.14)

. (8.15)

В выражениях (8.14) и (8.15) знаки плюс берутся при согласованном направлении магнитных полей в контурах и минус – при встречных.

Опытным путем установлено, что потокосцепление ψ₂₁ пропорционально току i₂, а потокосцепление ψ₁₂ пропорционально току i₁. Доказано (при расчете энергии магнитносвязанных контуров), что коэффициенты, связывающие величины токов и взаимное потокосцепление, для двух контуров равны и называется он коэффициентом взаимной индуктивности контуров М.

Если токи i₁ и i₂ переменные, то на клеммах первого контура индуцируется э.д.с.

,

на клеммах второго

.

В правых частях последних выражений первые слагаемые, как и ранее, называются э.д.с. самоиндукции, вторые – э.д.с. взаимоиндукции.

Важным частным случаем является схема двух (или более) контуров, магнитные потоки Ф у которых одинаковы, а количество витков может быть различным. Например, поверх обмотки соленоида с w₁ витками навита обмотка с w₂ витками. Подобное устройство называется трансформатором (в переводе с латинского – «преобразователь»); условное обозначение трансформатора с резистивной нагрузкой представлено на рисунке 8.4.

Подключим к входам a - b катушки с числом витков w₁, называемой первичной обмоткой трансформатора, переменное напряжение, например, синусоидальное с амплитудой . Точка над напряжением или током означает, что речь идет об амплитуде (максимальном значении) изменяющегося во времени синусоидального сигнала. Концы второй обмотки, с числом витков w₂, называемой вторичной, оставим на первом этапе не подключенными. В первичной обмотке потечет ток , создавая потокосцепление, согласно (8.9), ; , где - амплитуда магнитного потока, т.е. магнитная индукция, пронизывающая площадь одного витка, пропорциональная току . На концах обмотки a - b возникнет э.д.с. самоиндукции

. (8.16)

На концах вторичной обмотки, пронизываемой тем же потоком , возникнет э.д.с., пропорциональная числу витков в обмотке, т.е.

. (8.17)

Поделив выражение (8.17) на (8.18), получим выражение связи э.д.с. вторичной обмотки с первичной:

. (8.19)

Напряжения на обмотках u₁ и u₂, как указывалось ранее, отличаются от э.д.с. только знаками, поэтому для амплитудных значений напряжений можно записать:

. (8.20)

Выражение для токов в первичной и вторичной обмотках можно получить из следующих соображений. Подключим к выходам вторичной обмотки сопротивление нагрузки R_Н. Мощность, выделяемая на нагрузке P₂ пропорциональна амплитудам тока и напряжения, т.е.

,

мощность, подводимая к первичной обмотке, соответственно, .

По закону сохранения энергии мощность во вторичной обмотке (при отсутствии потерь) должна равняться подводимой мощности; следовательно, P₂ = P₁ и, с учетом (8.20),

. (8.21)

Выражения (8.20) и (8.21) показывают в чем, собственно, состоят преобразовательные свойства трансформатора. Если в первичной обмотке 1000 витков, а во вторичной 100, то напряжение во вторичной обмотке в 10 раз меньше, чем в первичной, а ток – в 10 раз больше. Например, для питания электронных схем используется напряжение 15 В, а в сети – 220 В. Для согласования напряжений используется трансформатор, который первичной обмоткой подключается к электрической сети, а вторичной, на которой напряжение равно 15 В – к выпрямительным элементам блока питания.

Ко всему проведенному рассмотрению взаимодействия магнитных полей и электрических токов необходимо сделать существенное замечание: во всех случаях рассматривались крайне упрощенные, идеализированные модели. Действительно, принималось, что диаметры проводов равны нулю и при этом одновременно считалось, что их омическое сопротивление так же равно нулю; что в трансформаторе отсутствуют потоки рассеяния, отсутствуют емкостные связи между контурами и отдельными витками и т.д. Поэтому, выведенные формулы приемлемы для объяснения основных процессов в контурах, но не пригодны для расчета реальных устройств.

Теперь кратко проанализируем полученные результаты с точки зрения использования рассмотренных эффектов в измерительных преобразованиях.

Из выражения (8.11) виден путь построения, например, преобразователя перемещений в электрический сигнал: выполним катушку в виде провода, скрученного в пружину, получится контур с индуктивностью, зависящей от положения витков – при сжатии витки сближаются, и индуктивность контура возрастает. Поэтому, если через контур пропустить постоянный ток, то напряжение на нем будет пропорционально производной от величины перемещения. Можно использовать магнитно-связанные контура, у которых с изменением расстояния между контурами, изменяется величина взаимной индукции М.

С практической точки зрения необходимо обратить внимание на роль связанных контуров в появлении помех и шумов в измерительных каналах. Дело в том, что провода, идущие от одного преобразователя (например, термопары) к следующему (например, усилителю), образуют петлю, на которую воздействуют источники магнитных полей. А ими служат все мощные агрегаты с большими токами питания (электродвигатели, нагревательные печи, электросварка) создающие, согласно (8.3) и (8.6) большие магнитные потоки. В петле из проводов от термопары до усилителя наводится паразитная э.д.с., сопоставимая с величиной полезного сигнала. Очевидно, без принятия специальных мер, реализовать измерения с заданной погрешностью невозможно.

Самые простые меры по снижению наведенных сигналов – уменьшение площади петли. Этого можно достичь приближением усилителя к термопаре (если возможно) или скруткой проводов между собой так, чтобы при заданной длине проводов образуемая ими площадь была минимальной. Естественно, провода покрыты изоляцией, исключающей короткое замыкание.

Трансформаторы используются очень широко с разнообразными целями:

- Изменение величин токов и напряжений. Если, например, количество витков первичной обмотки в 10 раз больше вторичной, то, согласно (8.19), вторичное напряжение будет в 10 раз меньше, но ток во вторичной обмотке в 10 раз больше. Это удобно при подключении источника сигнала к низкоомной нагрузке (динамику, контрольной лампе, регулирующему элементу типа электродвигателя и т.д.).

При обратном включении, т.е. при подключении к обмотке с малым числом витков входного сигнала и передаче на нагрузку сигнала с обмотки с большим числом витков, напряжение на выходе возрастает в 10 раз; получается усилитель напряжения. Отличие трансформатора от усилителя на активных элементах, например, на операционных усилителях, состоит в сохранении исходной мощности сигнала. Дополнительные положительные свойства, достигаемые при использовании трансформатора:

- Простой выбор желательной полярности сигнала - достаточно поменять подключение проводов от источника сигнала на клеммах a на b (рисунок 8.4).

- Гальваническое разделение источников питания схем, т.е. исключение проводной связи между отдельными частями схем. В частном случае входного суммарного сигнала, состоящего из постоянной составляющей и переменной части вида , во вторичной обмотке останется только переменная часть сигнала, так как производная от постоянного тока равна нулю.

- Выполнение операции дифференцирования, поскольку напряжение на вторичной обмотке является производной от тока первичной.

8.2 МАГНИТНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

8.2.1 Предварительные замечания

Магнитные поля обладают одним существенным недостатком с точки зрения их практического использования. Заключается он в малых силах взаимодействия полей. Для понимания этого рассмотрим два точечных заряда q, движущихся параллельно с постоянной скоростью v. Если расстояние между зарядами равно r, то электрическая сила взаимодействия (сила Кулона) равна

,

а сила магнитного взаимодействия

.

Отношение магнитной силы к электрической, с учетом равенства (с – скорость света в вакууме), выводимого в электродинамике, дает

.

Если электроны перемещаются в проволоке, то средняя скорость направленного перемещения зарядов под действием электрического напряжения имеет порядок 1·10^-3 м/с (см. п. 5.3). Понятно, что магнитные силы в сотни миллиардов раз меньше электрических. Реализация каких – либо устройств с магнитным силовым взаимодействием путем намотки соленоидов выльется в такие гигантские конструкции, экономический и технический смысл создания которых просто теряется.

Выход из тупика появился при исследовании воздействия магнитного поля на вещество (газы, жидкости, твердые тела). Оказалось, что магнитное поле (внешнее) создает внутри вещества внутренние магнитные поля. С этой точки зрения вещества делятся на три группы:

- Диамагнетики, у которых внутреннее поле направлено встречно внешнему. К ним относятся: газы, вода, цинк, кремний, медь, золото, серебро. Величина внутреннего поля очень мала.

- Парамагнетики, у которых внутреннее поле направлено согласно с направлением внешнего поля. К ним относятся, в частности, алюминий, литий, натрий, калий, титан, вольфрам. Внутреннее магнитное поле парамагнетиков (как и диамагнетиков) очень мало и исчезает при выключении внешнего поля.

- Ферромагнетики, которые подобны парамагнетикам, но создают в десятки тысяч раз более сильные внутренние поля и способны сохранять их при исчезновении внешнего поля. К ним относятся: железо, кобальт, никель, лантаниды, их сплавы.

Практический интерес при разработке ИП представляют, естественно, ферромагнетики, существенно усиливающие собственное магнитное поле контуров с током. Их свойства и характеристики рассмотрим несколько более подробно.

8.2.2 Ферромагнетизм и ферромагнетики

Как мы уже знаем, эксперименты Ампера, Био и других ученых позволили установить, что движущиеся электрические заряды образуют в окружающем пространстве магнитное поле; другие источники магнитных полей не обнаружены. Чем же порождаются магнитные поля у ферромагнетиков, если ток от внешнего источника в них не течет?

Для качественного ответа на вопрос необходимо вернуться к рассмотрению атомной структуры вещества.

Каждый атом вещества состоит из положительного ядра и движущихся вокруг него отрицательно заряженных электронов; причем у электронов имеется два вида движения: вращение вокруг собственной оси (спин) и вращение вокруг положительно заряженного ядра. Следствиями движения электронов должны быть внутренние микроскопические магнитные поля. Так оно и есть у большей части веществ, но разнонаправленность векторов угловых скоростей вращения электронов приводит к взаимной компенсации магнитных микрополей, и внешне их наличие никак не проявляется.

По-другому складываются магнитные условия в ферромагнитных материалах: некомпенсированное магнитное поле электронов внутренних слоев одного атома поворачивает вектора вращения электронов соседних атомов так, что образуются внутренние области однонаправленной магнитной индукции. Области эти, размером порядка сотых долей миллиметра, называются доменами. Соседние домены имеют разное направление магнитной индукции; их разделяют тонкие границы, в пределах которых вектор магнитной индукции поворачивается от состояния одного домена к другому.

Домены и границы можно наблюдать визуально. Для этого образец материала (например, сплав железа) полируют и на поверхность наносят слой порошка окиси железа тонкого помола. Порошок распределяется по границам доменов и их можно наблюдать визуально в микроскоп (рисунок 8.5).

На рисунке 8.5,а, приведена фотография сплава FeSi под микроскопом; на ней ясно видны отдельные домены. Если на образец под микроскопом поместить тонкие отрезки намагниченных проволочек, то их взаимное положение укажет направление индукции поля в каждом домене. Именно этот результат наблюдений представлен на рисунке 8.5,б.

Кроме границ доменов, на фотографии образца видны характерные для сплавов неравномерности состава, искажения кристаллических решеток, грязевые и газовые микровключения, называемые дислокациями. В областях дислокаций возникают внутренние механические напряжения, и этим сплавы ферромагнетиков сильно отличаются от кристаллов чистых металлов не только структурой, но и магнитными свойствами.

Что будет происходить с доменами при подаче внешнего магнитного поля, например, если поместить образец ферромагнетика в соленоид с током в обмоткес индукцией исходить с доменами при подаче внешнего магнитного поля? ов неравномерности состава, грязевые и газовые включения н? Для понимания происходящих процессов, будем внешнее поле плавно увеличивать по модулю, сохраняя его направление.

При очень малых внешних полях векторы индукции доменов, близкие по направлению внешнего поля, будут поворачиваться по направлению вектора индукции внешнего поля; границы доменов начнут смещаться, увеличивая размеры отдельных доменов с совпадающими векторами индукции. Общая намагниченность образца ферромагнетика станет отличной от нуля, и индукция суммарного поля будет больше, чем поле соленоида без ферромагнетика.

Для количественного анализа изменений индукции поля, необходимо ввести параметр, количественно характеризующий влияние ферромагнетика. Делается это следующим образом. Вводится характеристика той части магнитного поля, которая не зависит от среды. Она называется вектором напряженности магнитного поля Н; в вакууме (или в воздухе) эта величина отличается от магнитной индукции В только на магнитную постоянную μ₀:

Н = В/μ₀. (8.22)

Размерность напряженности магнитного поля – А/м.

В воздухе, следовательно, модуль индукции поля равен его напряженности Н, умноженной на магнитную постоянную μ₀. А в присутствии ферромагнетика индукция В возрастает во столько раз μ, во сколько ферромагнетик увеличивает начальную напряженность внешнего поля Н:

В = μ₀ μН. (8.23)

Величина μ называется магнитной проницаемостью среды; она показывает, во сколько раз увеличилась индукция внешнего магнитного поля при суммарном действии внешнего поля и поля ферромагнетика. Для ферромагнетиков из различных материалов значение магнитной проницаемости (безразмерная величина) лежит в диапазоне от 1·10³ до 1·10⁵.

Теперь можно зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля показать графически (рисунок 8.6) и продолжить рассмотрение примера, когда ферромагнетик находится в соленоиде. По оси абсцисс отложена величина модуля внешнего намагничивающего поля Н, по оси ординат – значения суммарного (с полем ферромагнетика) поля В, которое больше порождающего в μ раз.

Итак, первое намагничивание ферромагнетика идет по кривой I. Как указывалось выше, на начальном участке намагничивания (в районе, близком к нулю внешнего магнитного поля), увеличение индукции связано с поворотом на небольшой угол векторов индукции доменов, близких по направлению к вектору магнитной напряженности Н.

Дальнейшее увеличение модуля напряженности Н усложняет картину физических процессов намагничивания: по направлению внешнего поля начинают поворачиваться домены с направлениями векторов индукции сильно отличающимися от внешнего. Стенки доменов теперь смещаются скачками: дойдя до неоднородности (дислокации) они останавливаются, не в силах ее преодолеть. Дальнейший рост поля приводит к отрыву стенки домена от дислокации и быстрому ее перемещению в новое положение.

Но быстрое движение намагниченной стенки в металле, по закону электромагнитной индукции, создает электрический ток. Этот ток (называется он током Фуко), движется по замкнутым цепям в объеме металла и его энергия полностью переходит в тепло. Следовательно, процесс намагничивания становится необратимым – при снятии внешнего поля возврат доменов в исходное положение возможен только при компенсации потерь энергии на нагрев образца.

Наконец, при напряженности поля насыщения Н_Н все домены повернуты по вектору напряженности; дальнейшее увеличение напряженности внешнего поля ведет к очень незначительному росту индукции, пропорционально μ₀Н. Поэтому линия намагниченности I после Н_Н идет почти параллельно оси абсцисс.

Теперь уберем внешнее поле, на графике рисунка 8.6 это означает движение от Н_Н к 0. Размагничивание пойдет по кривой II. В точке Н = 0 образец ферромагнетика будет обладать остаточной индукцией В_r, т.е. он становится постоянным магнитом.

Подадим в соленоид ток обратного знака, создавая магнитную напряженность противоположного направления (на рисунке 8.6 это движение по оси Н в отрицательную область). Энергия приложенного внешнего поля будет использоваться для компенсации тепловых потерь при намагничивании и поэтому образец продолжит размагничиваться. При напряженности внешнего поля Н_К произойдет полное размагничивание образца и индукция станет В = 0.

Напряженность Н_К называется коэрцитивной силой. Эта сила характеризует ту напряженность внешнего поля, которую необходимо приложить к постоянному магниту, чтобы его размагнитить. Дальнейший процесс перемагничивания образца идет симметрично относительно начала координат.

Площадь внутри замкнутой кривой намагничивания от + Н_Н до – Н_Н и обратно характеризует тепловые потери на перемагничивание образца: чем больше Н_К, тем больше площадь внутри кривой намагничивания и, следовательно, потери энергии внешнего источника поля на перемагничивание образца.

Подводя итоги рассмотрения ферромагнетиков, можно отметить следующее:

- Ферромагнетики в десятки тысяч раз увеличивают магнитное поле катушек с током, являясь, тем самым, основой для создания малогабаритных электрических и электронных устройств, в том числе ИП.

- Вместе с тем, ферромагнетикам присущи три существенных недостатка. Первый - нелинейность зависимости индукции от напряженности внешнего поля, что приводит к нелинейным искажениям сигналов. Второй - большие потери на перемагничивание образцов, вызванные дислокациями, что при переменном внешнем сигнале ведет к потерям энергии источников сигнала и сильному нагреву конструкций устройств. Третий – возникновение токов Фуко (характерных для всех металлов), увеличивающихся с ростом частоты сигнала и ведущим к очень большим тепловым потерям.

Недостатки ферромагнетиков не являются абсолютными: например, постоянный магнит должен иметь большую коэрцитивную силу, чтобы не размагнититься в процессе эксплуатации, а сердечники трансформаторов желательно иметь с предельно малой коэрцитивной силой, чтобы исключить перегрев устройства и снижение коэффициента полезного действия. Поэтому создание ферромагнитных материалов идет несколькими путями.

Для постоянных магнитов создаются сплавы со структурой в виде микроскопических гранул с дислокациями на границах. Подобные сплавы (обычно сплавы сложного состава типа Fe + Cu + Al + Ni + Co) называются магнитотвердыми. Образцы этих сплавов намагничивают в сильных магнитных полях (часто в процессе застывания сплава). Большая коэрцитивная сила подобных сплавов не позволяет им самопроизвольно размагнититься; так получаются образцы постоянных магнитов.

Для трансформаторов, электродвигателей, сердечников индуктивностей разработаны сплавы железа с никелем - пермаллои с малой коэрцитивной силой; они называются магнитомягкими. Для снижения токов Фуко, из магнитомягких материалов прокатывают тонкие пластины, поверхность которых покрывают лаком. Детали (сердечники, магнитопроводы) собирают в виде пакетов указанных тонких пластин.

В высокочастотных приборах, где особенно велики потери от токов Фуко, используются композиции окислов железа с окислами других металлов (ферриты); границы гранул ферритов имеют очень высокое электрическое сопротивление, которое не позволяет развиться большим токам Фуко.

У всех ферромагнетиков с ростом температуры магнитные свойства ослабевают из – за хаотических тепловых колебаний атомов в кристаллах; при определенной температуре (обычно выше 550 – 700⁰ С) магнитные свойства ферромагнетиков резко пропадают.

У железа определяющей причиной исчезновения доменов является не температура образца, а изменение кристаллической структуры металла – объемоцентрированная кубическая решетка переходит в гранецентрированную [11]. Оказывается, подобного эффекта можно добиться при низких температурах, если сделать сплав железа с никелем и хромом. При этом получается нержавеющая сталь, сохраняющая прочностные характеристики обычной стали, но прозрачная для магнитных полей. Такую сталь удобно использовать там, где нужно обеспечить проникновение магнитного поля сквозь прочную конструкцию, как, например, сделано в турбинном расходомере (см. раздел 10.3 и рис. 10.5).

8.3 ИП НА ОСНОВЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЕЩЕСТВА

И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

8.3.1 Индуктивные ИП

Индуктивными называются преобразователи, в которых входной физический параметр изменяет величину индуктивности L или коэффициент взаимной индукции M. Как правило, подобные ИП не первые в цепи измерительных преобразований. У датчиков давления или силы индуктивному ИП предшествует упругая мембрана; у датчиков уровня, расстояния, профиля поверхности – шток с пружиной.

Рассмотрим схему преобразователя, у которого изменяется индуктивность в функции от величины воздушного зазора (рисунок 8.7). Первым преобразователем является мембрана, выполненная из магнитомягкой стали, на которую воздействует измеряемая физическая величина Р (давление среды, линейное перемещение, сила). Мембрана смещается, изменяя величину воздушного зазора δ магнитной цепи сердечника с катушкой и мембраной.

Для анализа сопротивления магнитных цепей удобно, как при расчете электрических цепей ввести понятие магнитного напряжения U_M, равного напряженности поля Н, умноженного на длину магнитного пути (для сердечника - это длина средней линии l, для воздушного зазора – его длина δ):

U_M = Н· l.

Но Н, согласно (8.23), равен в ферромагнитной среде индукции поля, деленной на величину магнитной проницаемости Н = В/( μ₀ μ) = Ф/(μ₀ μS), где Ф – магнитный поток через поперечное сечение S участка магнитной цепи.

Следовательно,

, (8.24)

где

R_M = l /(μ₀ μS) (8.25)

называется магнитным сопротивлением участка магнитной цепи. А уравнение (8.24) – законом Ома для магнитной цепи (очевидно, что сопротивление для воздуха будет R_M = l /(μ₀ S)).

Удобство использования закона Ома заключается в возможности суммировать последовательные магнитные сопротивления, а параллельные – рассчитывать как параллельно включенные резисторы.

Для рассматриваемого случая индуктивного ИП магнитное сопротивление магнитопровода R_M складывается из сопротивления в стали сердечника R_MС и сопротивления воздушного зазора R_MВ:

.

Выражение для магнитного потока:

, (8.26)

где I – ток в контуре (катушке) преобразователя,

n – число витков катушки,

l_C – длина стальной части магнитопровода.

Индуктивность L, согласно (8.10) равна ψ/I, а ψ = Фn; следовательно

. (8.27)

Чтобы индуктивность существенно изменялась при изменении воздушного зазора δ, должно выполняться условие μ₀ ·l_C « μ_C ·δ. При этом выражение (8.27) упрощается

. (8.28)

Если под действием измеряемой физической величины происходит приращение воздушного зазора на Δδ, то индуктивность становится равна

. (8.29)

Структура выражения (8.29) точно соответствует случаям параметрических резистивных преобразователей – терморезистору и тензорезистору. Поэтому и оптимальные схемные решения похожи – подача питания от внешнего источника (только переменным сигналом, обычно синусоидальным), выделение изменяемой части параметра (приращения) с помощью мостовой схемы.

Если круговая частота питающего ИП напряжения равна ω, то величина сопротивления индуктивности (пренебрегая омическим сопротивлением катушки) будет пропорциональна величине индуктивности

Z_L = ωL + ωΔL. (8.30)

Из (8.29) видно, что зависимость между приращением зазора и величиной индуктивного сопротивления носит нелинейный, гиперболический характер; графически он представлен на рисунке 8.8.

Как следствие нелинейности функции преобразования, чувствительность преобразователя по диапазону преобразования непостоянна и почти линейный участок зависимости индуктивного сопротивления от приращения зазора Δδ составляет примерно (0,1-0,15)·δ; реально это не более сотых долей миллиметра.

Но для некоторых ИП такие расстояния вполне достаточны. Один случай – преобразование расстояния смещения трубок в кориолисовом расходомере – будет рассмотрен в главе 10.

Другой случай – преобразователь давления (датчик типа ДД–10) газов, агрессивных и неагрессивных жидкостей представлен на рисунке 8.9. Давление Р воздействует на мембрану из магнитомягкого сплава, вызывая ее прогиб. При этом уменьшается зазор между мембраной и сердечником 3, внутри которого намотаны две катушки. Рабочая 1 является частью индуктивного ИП, а катушка 2, включенная последовательно с первой, служит для компенсации влияющих факторов. Соединение с последующими преобразователями происходит через разъем 4.

Погрешность индуктивного преобразователя определяется несколькими внутренними и внешними факторами: нестабильностью амплитуды и частоты питающего генератора, омическим сопротивлением катушки ИП и емкостным сопротивлением линий связи, нелинейными искажениями, вызванными гистерезисом сердечника. Если компенсационную катушку 2 включить в соседнее с катушкой 1 плечо мостовой схемы, то часть погрешностей, действующих одинаково на обе катушки, будут скомпенсированы (см. п. 5.7.2).

Характеристики ИП можно еще улучшить, если индуктивности включены по дифференциальной схеме так, что приращения индуктивностей каждой катушки имеет обратный знак. В этом случае не только снижается воздействие влияющих факторов, но и увеличивается в два раза линейный участок функции преобразования Z(Δδ). Пример подобного ИП уровнемера приведен на рисунке 8.10.

В корпусе ИП на отрезке трубы из немагнитного материала намотаны две одинаковых катушки 1 и 2. Внутри трубы расположен ферромагнитный сердечник 3, перемещаемый немагнитным штоком 4 уровнемера.

При подъеме сердечника 3 относительно среднего положения, растет индуктивность катушки 1 и снижается индуктивность катушки 2; при его опускании – наоборот. На графике представлены кривые изменения сопротивлений индуктивностей катушек Z₁ и Z₂. Там же приведена функция преобразования разности сопротивлений Z₁ – Z₂, соответствующая случаю включения катушек в мостовую схему. Видно, что участок функции преобразования, близкий к линейному закону, увеличился, и крутизна преобразования возросла.

8.3.2 Дифференциальные трансформаторные ИП

Еще лучше компенсируются влияющие факторы и упрощается схема подключения ИП на базе дифференциальных трансформаторов. Идея заключается в том, что питание на чувствительные катушки ИП подается через специальную обмотку, трансформирующую напряжение на обе катушки. Если катушки включить встречно, то отпадает необходимость в мостовой схеме.

Рассмотрим работу подобного ИП на примере оригинальной конструкции измерителя перемещений фирмы Schaevitz [12]. На цилиндре, в котором перемещается сердечник из магнитомягкого сплава, намотаны три обмотки.

Самая нижняя катушка (рисунок 8.11) является первичной обмоткой p трансформатора, на которую подают питание. Эта обмотка намотана равномерно, ее плотность (число витков на единицу длины) по длине преобразователя постоянна. Две вторичных обмотки s₁ и s₂ намотаны поверх первичной с плотностью, линейно изменяющейся по длине: у обмотки s₁ плотность нарастает, у s₂ - спадает.

Когда сердечник находится в центре цилиндра, трансформируемые в обмотках s₁ и s₂ напряжения равны по амплитуде и их разность равна нулю. При смещении сердечника в любую сторону разность напряжений будет являться функцией от величины смещения. При такой конструкции ИП почти вся его длина является рабочей, парируются большинство составляющих погрешности преобразования.

По данным фирмы - производителя, у указанного преобразователя следующие метрологические характеристики: диапазон линейных перемещений – от 1 до 500 мм; чувствительность – от 1 до 500 мВ на 1 мм перемещений; отклонение от линейности – 0,05 % от диапазона; погрешность от гистерезиса – 0,002% от диапазона измерения.

И последнее замечание: все индуктивные преобразователи имеют большое количество витков провода, поэтому они, с одной стороны, подвержены воздействию внешних магнитных полей, создающих помехи, а, с другой стороны, сами являются источниками магнитных помех. Поэтому индуктивные ИП необходимо размещать в кожухах из магнитомягкого материала с хорошей электрической проводимостью.

8.3.3 ИП на гальваномагнитных эффектах

К гальваномагнитным эффектам относятся явления изменения параметров электрических токов в проводниках при воздействии на них магнитных полей. Мы рассмотрим наиболее часто используемые в ИП эффект Холла и магниторезистивный эффект. Другие эффекты подобного рода можно посмотреть в [25].

Если на проводник с током воздействует внешнее магнитное поле с вектором индукции, перпендикулярной проводнику, то на боковых стенках проводника появляется электрический потенциал. Это явление и называется эффектом Холла. Причиной его является поворот заряженных частиц, движущихся в магнитном поле силой Лоренца согласно уравнению (8.5). В металлах этот эффект крайне мал, а в полупроводниках имеет существенную величину. Поэтому рассмотрим явление на примере пластинки полупроводника n – типа (рисунок 8.12).

Имеется пластинка полупроводника, через которую от грани 1 к грани 2 под действием напряжения от внешнего источника U_x течет ток I. Если к пластинке приложить внешнее поле индукцией В, то электроны проводимости, создающие ток I, начнут отклоняться, согласно (8.5) силой, действующей по направлению оси Y к краю пластинки 3; соответственно, у края 4 образуется недостаток электронов. А это означает появление между краем 3 и 4 э.д.с. Э_Н, называемый э.д.с. Холла.

В силу ортогональности всех векторов, можно записать в скалярной форме силу, смещающую один электрон к краю 3:

, (8.31)

где e – заряд электрона,

- средняя скорость электронов проводимости.

Описанное разделение зарядов приводит к появлению поперечного электрического поля, напряженностью E_y, препятствующего процессу разделения зарядов. В момент равенства противоположно действующих на электрон сил, разделение зарядов прекратится. Приравнивая электрическую силу (силу по закону Кулона) к силе Лоренца получим:

. (8.32)

После наступления равенства (8.32) разделение зарядов прекратится и ток в пластинке будет течь как при отсутствии магнитного поля.

Если от одного электрона перейти к плотности тока в пластинке j_х, то напряженность E_y запишется в виде

E_y = -R_H j_xB,

где R_H – константа Холла, зависящая от свойств полупроводника (подвижности зарядов, удельного сопротивления).

Умножим последнее выражение на площадь поперечного сечения пластинки b·d:

E_y· b· d = -R_H · j_x · B· b· d.

Плотность тока, умноженная на площадь поперечного сечения проводника дает величину тока I, а напряженность E_y, умноженная на ширину пластинки b дает значение э.д.с. Холла Э_Н. С учетом сказанного можно записать:

Э_Н = -R_HIB/d. (8.33)

Следовательно, если обеспечить прохождение через элемент Холла (через пластинку) постоянного тока, то э.д.с. на поперечных краях ее будет пропорционален индукции внешнего магнитного поля В. Это же выражение показывает путь повышения чувствительности ИП – необходимо уменьшать толщину пластинки d. Поскольку величину тока повышать нельзя (наступит перегрев пластинки джоулевым теплом), то необходимо уменьшение толщины пластинки сопроводить увеличением ее ширины, сохраняя общую площадь поперечного сечения проводника.

ИП на эффекте Холла используются в измерителях магнитного поля, приборах контроля близости к объектам. Особенно часто они применяются как части преобразователей углов поворота и чисел оборотов различных валов (автомобильных, насосных и т.д.). Для этого в валы запрессовываются постоянные магниты; их поля пересекают при вращении элементы Холла, на выходе которых появляются электрические импульсы.

Теперь рассмотрим магниторезистивный эффект. Он заключается в изменении омического сопротивления проводящей пластинки при воздействии на нее внешнего магнитного поля.

Для достижения такого эффекта достаточно в элементе Холла (рисунок 8.12) закоротить между собой края 3 и 4 пластинки. При этом разделенные электроны с края 3 потекут к краю 4 и напряженность E_y, уравновешивавшая силу Лоренца, станет близкой к нулю. Как следствие, разделение зарядов магнитным полем будет происходить постоянно.

При этом большее магнитное поле, создавая большую силу, вынуждает большую часть тока течь не вдоль пластинки, а поперек нее. Внешний эффект получается такой: при постоянном напряжении питания пластинки увеличение магнитного поля приводит к снижению тока во внешней цепи. А отношение напряжения к току есть омическое сопротивление.

К достоинствам магниторезисторов относятся малые размеры и высокая чувствительность: изменение индукции на доли теслы изменяет сопротивление на килоомы. Основной недостаток – зависимость сопротивления от температуры. Недостаток парируется напылением в одной микросхеме четырех магниторезисторов, соединенных в мостовую схему.

Используются подобные ИП, в основном, как преобразователи угла поворота магнитного поля. На их основе создан новый класс электродвигателей – бесконтактные двигатели постоянного тока.

9 ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ

9.1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В главе 4 было дано краткое описание жидкостей – газовых и капельных. Основное их отличие от твердых веществ – текучесть. Этого оказывается достаточно для возникновения колоссального количества эффектов, не характерных для твердых веществ.

Об одном свойстве жидкостей говорилось в п. 4.1 – способности жидкостей принимать форму сосуда, в котором они находятся. Под действием внешних сил жидкости перемещаются. В связи с этим можно говорить о форме движения слоев жидкости – вихревой или поступательной. При поступательном движении подробно исследованы два режима:

- При малых скоростях потока отдельные его части перемещаются не перемешиваясь, слоями. Такой режим называется ламинарным течением.

- При больших скоростях потока отдельные его струйки интенсивно перемешиваются в процессе движения. Такой режим называется турбулентным течением.

Между ламинарным и турбулентным режимами нет резкой границы; область скоростей жидкости, при которой появляются элементы перемешивания отдельных струек, но часть потока сохраняет слоистую структуру, называется переходным режимом. Границы переходного режима весьма условны и сам он не имеет теоретического описания.

Из сказанного становится ясным, что для математического описания движения жидкости необходимо иметь, как минимум, данные о полях сил (обычно рассматривают действие удельных сил, т.е. полей давлений), влияющих на движение жидкости и данные о полях скоростей.

Чтобы модель движения жидкости была хотя бы качественно близка к реальности, необходимо учесть вязкие силы (см. п. 4.1) и изменение плотности элементов жидкости при ускорении отдельных ее частей. Действительно, ускорение условно выделенного объема жидкости, обладающего массой, по второму закону Ньютона, создает силу, действующую на соседний объем, что приводит к изменению объема последнего. А при постоянной массе изменение объема как раз и приводит к изменению плотности.

Таким образом, описание поля движения жидкости должно включать в себя векторные поля, характеризующие скорости элементов потока жидкости; аргументами векторов являются три пространственные координаты (в прямоугольной системе координат) и время. Подобные дифференциальные уравнения приводятся в специальной литературе по гидродинамике, но решения для них известны в весьма ограниченном количестве частных случаев.

Для ламинарного потока сжимаемой жидкости при постоянной температуре, отсутствии диффузии (типа, например, растворения спирта в воде) полтора века тому назад было получено дифференциальное уравнение, известное по имени авторов как уравнение Навье – Стокса. До настоящего времени его полное решение не известно. С турбулентным режимом течения до конца не ясна качественная физическая картина процессов, а теоретической ясности еще меньше.

По указанным причинам движение жидкости рассматривают на моделях, из которых исключены факторы, считающиеся несущественными для рассматриваемой задачи. Чаще всего это следующие упрощающие условия:

- постоянство структуры потока и его параметров во времени (стационарное течение);

- отсутствие завихрений (безвихревое течение);

- неизменность плотности жидкости в потоке (условие несжимаемости);

- отсутствие теплопритока, т.е. отсутствие теплообмена, требующего учета при расчетах;

- поле скоростей потока (или вектор средней скорости) направлено по одной оси, например, движение воды в реке или в водопроводной трубе.

Конечно, при анализе реальных процессов движения жидкости редко возникают задачи, в которых можно принять модель движения, включающую все упрощения; но использование даже части из них позволяет решать дифференциальные уравнения до получения расчетных выражений и дает более ясную физическую картину протекающих процессов.

Следуя выработанной в литературе практике изложения, мы последовательно рассмотрим свойства жидкости при нулевой поступательной скорости (гидростатика), законы движения идеальной жидкости, ламинарный и турбулентный режимы течения реальных жидкостей.

Полученные сведения позволят понять принципы работы ИП параметров жидкости и ограничения (или специальные требования по применению), при которых ИП могут реализовать процесс преобразования, не превышая установленных величин погрешности преобразования.

О каких параметрах жидкости или газа, подлежащих измерениям, идет речь? Таких параметров очень много – это вязкость, плотность, давление, температура, поверхностное натяжение и т.д. Но самыми массовыми являются измерения расходов (количества жидкости, проходящих через выделенное сечение в единицу времени) и количества вещества (количество нефти в цистерне, количество кислоты в химическом реакторе и т.д.) Указанная группа составляет 40 % всех параметров, измеряемых в промышленности и науке.

Своеобразие жидкостей не позволяет сейчас, до рассмотрения элементов гидростатики и гидродинамики, указать, что понимать под физическими величинами, определенными выше терминами «скорость», «давление», «расход» и т.д. Это станет ясно по мере рассмотрения физических процессов в жидкости.

9.2 ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАПЕЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

9.2.1 Плотность

Жидкости, не содержащие включений газов или твердой фазы (например, льда) и газы рассматриваются как сплошные среды с переменной в общем случае плотностью ρ(t,x,y,z), определяемой как отношение элемента массы жидкости Δm к занимаемому объему ΔV:

. (9.1)

Плотности жидкостей зависят от давления и температуры. Диапазон плотностей примерно такой: жидкий водород при температуре 20 К – 71 кг/м³; жидкий азот при температуре 74 К – 820 кг/м³; вода при 277 К – 1000 кг/м³; ртуть при 310 К – 13000 кг/м³.

Молекулы жидкостей расположены настолько близко и так сильно взаимодействуют при изменении расстояния между ними в процессе сжатия, что при давлениях до сотен атмосфер (десятки МПа) можно считать их несжимаемыми. А изменение температуры (в пределах одного агрегатного состояния, т.е. без перехода в твердое или газообразное состояние) ведет к заметному изменению плотности. Относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на 1 К называется изобарным (т.е. определенным при постоянном давлении) коэффициентом расширения β и его значения находятся в диапазоне от 0,1·10^-3 до 2·10^-3. Значит, изменение температуры жидкости, например на 50 К, приведет к изменению ее объема на (0,5 – 10)% и игнорировать эти изменения при измерениях, конечно, нельзя.

Плотность газов в сильной степени зависит от давления и температуры. При давлениях не более 1 МПа можно считать, согласно (4.5), плотность пропорциональной давлению и обратно пропорциональной температуре. При более высоких давлениях приходится вводить поправки в уравнение (4.5).

Величина поправки, называемая коэффициентом сжимаемости, индивидуальна для каждого газа и приводится в справочниках.

9.2.2 Вязкость

Между слоями жидкости (или газа), текущих с различной скоростью проявляется сопротивление сдвигающим усилиям, некоторое подобие трения между твердыми телами. Например, течение воды в реке. Те молекулы воды, которые касаются дна реки, неподвижны, поскольку связаны молекулярными силами с неподвижным грунтом. Но следующий слой воды (пока не будем уточнять его толщину и характер скорости потока в нем) уже движется.

Молекулы воды, связанные с дном, теми же молекулярными силами связаны с движущимся выше слоем воды и создают касательную (т.е. параллельную скорости движения) тормозящую силу. Эта сила F называется силой вязкости, и величина ее определяется уравнением Ньютона: между параллельными слоями жидкости или газа, движущимися прямолинейно с разной скоростью возникает сила, пропорциональная площади соприкосновения слоев S и градиенту скорости u. При движении жидкости параллельными слоями, градиент скорости равен производной от скорости по нормали y к поверхности слоев (рисунок 9.1) и уравнение Ньютона имеет вид:

. (9.2)

Коэффициент µ, имеющий размерность Паּс, называется динамическим коэффициентом вязкости и определяется для каждой жидкости и газа экспериментально.

При теоретическом анализе течения жидкостей и газов удобно рассматривать величину силы вязкости, приходящуюся на единицу площади контактирующих слоев; величина этой удельной силы называется напряжением вязкой силы τ:

. (9.3)

В уравнения движения жидкости часто входит плотность ρ как характеристику массовых свойств жидкости. Чтобы уравнения движения из динамических, содержащих плотность жидкости, перевести в кинематические, вместо динамической вязкости µ используют отношение ее к плотности ρ, называемой кинематическим коэффициентом вязкости ν, м²/с:

ν=µ/ρ. (9.4)

Кинематический коэффициент вязкости весьма сильно зависит от температуры (численные данные для широкого класса жидкостей и газов приводятся в справочниках); на рисунке 9.2 приведены зависимости от температуры кинематической вязкости воды, масла и воздуха.

Из приведенных кривых видно, что вода является уникальной жидкостью – ее вязкость меньше вязкости воздуха (шкала вязкости воздуха дана правее шкалы воды, а масла - справа от графика).

9.3 ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОСТАТИКИ

В гидростатике изучают законы распределения давлений в покоящейся жидкости и их воздействие на погруженные тела или стенки сосудов.

9.3.1 Закон Паскаля

Рассмотрим элемент малого объема покоящейся жидкости плотностью ρ на глубине h от поверхности. Неподвижность выделенного мысленно элемента означает, что действующие на него силы полностью уравновешены по всем возможным направлениям. Поскольку у капельных жидкостей плотность можно считать постоянной величиной, то давление, оказываемое на элемент жидкости p, определяется давлением газа p₀ на зеркало (поверхность раздела) жидкости и удельной силой земного притяжения столба жидкости высотой h над выделенным элементом (рисунок 9.3).

Удельная сила Δp, вызванная гравитационным полем Земли, есть давление столба жидкости от зеркала до выбранного элемента, т.е. Δp = ρ· g· h, где g – ускорение свободного падения, а ρ· h – масса столба жидкости с единичной площадью основания и выстой h. Полное давление на выбранный элемент жидкости равно

p = p₀ + ρ· g· h. (9.5)

Согласно третьему закону Ньютона, выделенный элемент жидкости давит на окружающую жидкость с такой же силой, с какой жидкость действует на элемент. А это означает, в отличие от твердых тел, что давление p действует не только по вертикали, но и по горизонтали (иначе жидкость начала бы течь) и, в частности, создает давление на стенки сосуда. Последнее утверждение составляет содержание закона Паскаля.

Из закона Паскаля следует, что для измерения давления в любом слое жидкости нет необходимости помещать преобразователь давления непосредственно в исследуемый слой. Достаточно вывести трубку на уровне соответствующего слоя и к ней присоединить преобразователь, как это показано на рисунке 9.3 (трубка у дна сосуда).

Вернемся к уравнению (9.5). Если измерять давления p и p₀, то можно при известной высоте столба жидкости h получить информацию о ее плотности; функция преобразования будет иметь вид

.

Чаще, однако, представляет интерес высота столба жидкости (ее уровень от дна емкости), которая при известной плотности и измеряемых давлениях имеет уравнение преобразования

. (9.6)

Таким образом, например, удобно определять количество химически активных жидкостей в баках; в этом случае соединительную трубку к ИП давления заполняют нейтральной жидкостью или продувают газом, исключая контакт агрессивной жидкости с мембраной ИП.

При измерении уровня рассматриваемым методом имеется одна тонкость. Рассмотрим ее на следующем примере. Пусть бак на рисунке 9.3 является питательным для котельной. В баке находится вода при температуре 100⁰ С; для исключения вскипания воды сверху создана паровая подушка с избыточным давлением p₀  = 200 кПа. Максимальная высота столба воды h = 3 м, плотность ее, для простоты вычислений, примем ρ =1000 кг/м³. Преобразование давлений (паровой подушки в верхней части бака и суммарного давления в нижней части бака) в электрический сигнал выполняют серийные датчики давления с относительной погрешностью преобразования γ = 0,5%. Необходимо определить погрешность преобразования высоты столба жидкости в выходной сигнал измерительного устройства.

При полном баке давление, оказываемое водой, на дно бака будет равно

Δp = ρ· g· h = 1000 ∙ 9,8∙3 ≈ 30000 Па,

а полное давление (столба воды плюс давление паровой подушки над водой), преобразуемое датчиком давления, расположенного в нижней части бака, соответственно, 230000 Па.

В выражение (9.6) входят результаты преобразований давлений двумя датчиками давления с относительной погрешностью каждого 0,5%:

- нижнего, измеряющего полное давление p = 230000 Па,

- верхнего, измеряющего давление пара p₀  = 200000 Па.

Если считать, что погрешности каждого из датчиков носят случайный характер, то, как доказывается в курсах метрологии, абсолютная погрешность Δ разности показаний p -  p₀  равна абсолютной погрешности одного из них, умноженная на :

.

Для вычисления относительной погрешности измерения уровня, воспользуемся описанным в п. 2.2.3 приемом: прологарифмируем выражение для высоты столба жидкости h = Δp/ρg, определим дифференциалы от левой и правой частей, а потом дифференциалы заменим значениями абсолютных погрешностей:

.

Из последнего выражения видно, что даже при уровне воды в баке, близком к максимальному значению 3 м (что соответствует давлению столба жидкости Δp = 30000 Па), относительная погрешность преобразования превышает 4,5%, т.е. в 9 раз больше исходной погрешности использованных преобразователей.

Причина столь большой погрешности заключается в том, что ИП давлений преобразуют всю физическую величину (230 кПа, 200 кПа), а информативной является только часть всей величины (от 200 до 230 кПа).

С подобной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении термометров сопротивлений и тензорезисторов. Общий метод преодоления указанной трудности – использование дифференциального (разностного) метода преобразования физической величины. В первом случае это достигалось применением мостовых схем (см. п. 5.7.2).

В случае давлений положительный эффект достигается применением вместо двух датчиков давления одного датчика разности давлений. Схематично подобный преобразователь может представлять собой полость, разделенную мембраной; с одной стороны в полость подают жидкость (или газ) с большим давлением, а в другую – с меньшим. В итоге величина прогиба мембраны оказывается функционально связанной с разностью давлений.

Именно такой ИП условно изображен на рисунке 9.3. Если даже применить весьма грубый ИП разности давлений с относительной погрешностью 2%, то погрешность преобразования высоты столба жидкости будет в 2 раза меньше, чем в случае применения ИП давлений.

И последнее замечание относительно уравнения (9.6). Необходимо помнить, что мы рассматриваем упрощенные модели физических величин, входящих в уравнение измерения; в частности, плотность жидкости ρ и ускорение свободного падения g приняты постоянными. При измерениях высокой точности необходимо считать плотность жидкости переменной (например, изменяющейся с температурой), а ускорение свободного падения зависящим от географического положения и высоты над поверхностью земли.

9.3.2 Закон Архимеда

Погрузим в жидкость плотностью ρ на глубину h цилиндрическое твердое тело плотностью ρ_Т с площадями оснований S и высотой H (рисунок 9.4). Рассмотрим проекцию на вертикальную ось сил, действующих на тело (рассматривать проекции сил на горизонтальную ось не имеет смысла, поскольку твердое тело не создает горизонтальных сил, а гидростатические - уравновешены в соответствии с законом Паскаля).

На верхнюю плоскость тела действует сила, равная весу столба жидкости над твердым телом ρ∙g∙S∙h. Само тело создает давление на лежащий под ним слой жидкости с силой веса ρ_Т·g∙S∙H. Действие указанных сил направлено вниз. Снизу вверх направлена сила, в соответствии с законом Паскаля, создаваемая слоем жидкости толщиной h + H, и равная ρ∙g∙S∙ (h + H); эта сила называется выталкивающей.

Теперь необходимо рассмотреть три возможных ситуации.

Первая. ρ∙g∙S∙h + ρ_Т ∙g∙S∙H > ρ∙g∙S∙ (h + H). После приведения подобных членов и учета того, что произведение S∙H равно объему тела V получим ρ_Т·g∙V > ρ∙g∙V. Плотность тела ρ_Т выше плотности жидкости ρ, выталкивающая сила меньше веса тела и оно опускается на дно.

Вторая ситуация. ρ∙g∙S∙h + ρ_Т·g∙S∙H = ρ∙g∙S∙(h + H). После приведения подобных членов, получим ρ_Т·g∙V = ρ∙g∙V. Плотность тела равна плотности жидкости и вес тела равен весу жидкости в том же объеме V (или, по другому – вес тела равен выталкивающей силе). Тело будет находиться в неопределенном состоянии - не всплывая и не погружаясь на дно.

Третья ситуация. ρ∙g∙S∙h + ρ_Т·g∙S∙H < ρ∙g∙S∙(h + H). В данном случае выталкивающая сила превышает вес тела и оно частично всплывает над поверхностью жидкости. Возникает вопрос: какая часть тела остается погруженной?

Обозначим высоту погружения через H_П. Для погруженной части выполняется, естественно, условие равенства веса тела выталкивающей силе, т.е. ρ_Т·g∙V = ρ∙g∙S∙H_П = ρ∙g∙V_П, где произведение S∙H_П =V_П есть объем погруженной части тела.

Рассмотренные три случая объединяются одним утверждением: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в погруженном объеме тела. Это утверждение и является законом Архимеда (древне – греческий ученый, 287-212 г.г. до н.э.).

Применив открытый им закон, Архимед создал один из первых в истории человечества измерительных преобразователей. Измерительная задача формулировалась следующим образом: определить, не добавили ли ремесленники меди в золото при изготовлении короны. Архимед взял золотой слиток весом, равный весу короны, и погрузил по очереди их в сосуд с водой. Поскольку плотность золота выше плотности меди, то при равном весе сплав (золото + медь) занимает объем больше, чем золото того же веса. Поэтому золотой слиток при погружении в воду вызовет ее подъем (за счет вытеснения соответствующего объема воды) меньше, чем при погружении сплава. В современных терминах, Архимед создал ИП, преобразующий физическую величину одного вида (плотность) в величину другого вида (высоту столба жидкости, т.е. в аддитивную физическую величину).

Несколько модифицированные ИП плотности (они называются ареометрами) используются в настоящее время. Это мензурка с помещенным на дне тяжелым телом и делениями на стенке. При погружении в жидкость глубина погружения тем больше (она отсчитывается по количеству делений на уровне зеркала жидкости или датчиком перемещений), чем меньше плотность жидкости.

В заключение вновь подчеркнем упрощенный характер рассмотренной модели. В частности, в рассмотрении не учтено, что воздух также обладает плотностью (а в баках с избыточным давлением – тем более) и создает выталкивающую силу (меньшую, конечно, чем жидкость, но требующую учета при особо точных измерениях).

9.4 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Под идеальной жидкостью понимают жидкость, не обладающую вязкостью, т.е. это модель жидкости, для которой в выражениях (9.2), (9.3) коэффициент вязкости μ = 0. Принятая идеализация означает, что отдельные слои жидкости, перемещаясь в трубе в установившемся режиме, не обмениваются энергией между собой и со стенками трубы. Установившийся (стационарный) режим соответствует случаю постоянства во времени скоростей перемещения жидкости в различных сечениях трубы (хотя они могут быть не равны в различных сечениях).

Поскольку при движении жидкости переносится масса вещества, то возникает вопрос: какие силы вызывают перемещение жидкости? При постоянной температуре таких сил может быть две (или их комбинация):

– сила веса, если труба (или открытый канал) имеет разную высоту над поверхностью земли в различных поперечных сечениях;

- сила, создаваемая насосами (или газом под избыточным давлением). Рассматривая силу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения трубы, можно в общем случае считать – жидкость перемещается избыточным давлением.

9.4.1 Уравнение неразрывности потока

Рассмотрим участок трубы, в пределах которого нет источников и потребителей жидкости, т.е. жидкость в трубу не добавляется и не удаляется из нее (рисунок 9.5). Площадь поперечного сечения на входе в участок S₁, на выходе из участка – S₂. Количество переносимой жидкости через площадь, например S₁, определяется скоростью жидкости.

Но что понимать под «скоростью», если каждая струйка имеет свой вектор скорости, т.е. индивидуальное направление и модуль.

Условно на рисунке 9.5 показаны векторы трех струек в потоке. Под скоростью потока через определенное сечение понимается средняя скорость v, определяемая как средний интеграл от проекций скорости на единичный нормальный вектор n к плоскости сечения S₁. Проекция векторов скорости на единичный вектор n есть скалярное произведение векторов скорости отдельных струек v на вектор n. Окончательно

. (9.7)

В выражении (9.7) средняя скорость представлена как скаляр, поскольку мы определяли ее модуль по уже выбранному направлению (по оси трубы) и учтено, что вектор скорости и единичный вектор n направлены встречно (отсюда знак минуса перед интегралом). Использованные логические построения позволяют определять среднюю скорость в любом другом сечении, например, в сечении S₂; эту скорость обозначим v₂.

За бесконечно малый интервал времени dt жидкость в сечении S₁ переместится на расстояние dl₁, а в сечении S₂ – соответственно dl₂. Поскольку отсутствуют стоки, то по закону сохранения массы вещества, масса жидкости, втекающей в трубу ρ₁·S₁·dl₁ за интервал времени dt, равна вытекающей ρ₂·S₂·dl₂. Разделив полученное равенство на интервал времени dt, получим выражение:

, (9.8)

которое необходимо рассмотреть детально.

В числителях дробей стоят произведения элементарных объемов dV = S · dl на плотности жидкости ρ в соответствующих сечениях; а это есть элементарная масса жидкости dm в соответствующем сечении.

Отношение элементарной массы к элементу времени называется массовым расходом Q_m = dm/dt. Массовый расход является физической величиной, наиболее часто определяемой в процессах измерений жидкостей. Объясняется это тем, что в подавляющее большинство уравнений динамики процессов (второй закон Ньютона; кинетические уравнения горения топлив и других химических реакций; перенос тепла; истечение газа из реактивного двигателя и т.д.) входят количества участвующих в процессах молекул или, в макроскопической интерпретации, массы веществ.

Теперь выражение (9.8) можно переписать в виде

Q_m1 = Q_m2 . (9.9)

Выражение (9.9) является уравнением (условием) неразрывности потока: при отсутствии источников или стоков жидкости массовый расход в любом сечении трубопровода остается постоянным.

Вернемся к выражению (9.8). Теперь элемент объема S · dl разделим на интервал времени dt. Полученная величина называется объемным расходом жидкости

Q = dV/dt. (9.10)

Объемный расход менее информативен, чем массовый, но его легче измерять; если условия задачи позволяют считать плотность жидкости постоянной, то последующее умножение Q на справочную плотность дает величину массового расхода Q_m. Уравнение неразрывности потока через объемный расход записывается в виде

ρ₁ ∙Q₁ = ρ₂ ∙Q₂.

Вновь вернемся к выражению (9.8). Теперь на элемент времени dt разделим элемент длины dl; получилось выражение средней линейной скорости потока v в соответствующем сечении трубы v = dl/dt. Уравнение неразрывности записывается через линейную скорость так:

ρ₁∙S₁ ∙ v₁ = ρ₂ ∙ S₂ ∙ v₂ .

Обычно (особенно для капельных жидкостей) можно считать плотность величиной постоянной. Тогда последнее выражение, определяющее условие неразрывности потока, упрощается и приобретает вид чаще всего применяемый в расчетах

S₁ ∙v₁ = S₂ ∙v₂ = const. (9.11)

Из (9.11) видно, что при уменьшении площади поперечного сечения трубы пропорционально возрастает средняя скорость потока и наоборот, если труба плавно расширяется, то по мере расширения уменьшается скорость течения жидкости в ней.

9.4.2 Уравнение сохранения энергии

При гидравлических расчетах очень часто используется уравнение сохранения механической энергии движущейся жидкостью. Модель жидкости и условия ее движения сохраняются: в трубе с плавно изменяющимися поперечными размерами движется несжимаемая жидкость постоянной плотности ρ с нулевой вязкостью; средняя скорость потока в каждом сечении трубы неизменна во времени (стационарное течение).

Рассмотрим объем жидкости V массой m c геометрической высотой центра тяжести над горизонтальной плоскостью h₁. Жидкость обладает потенциальной и кинетической энергиями.

Кинетическая энергия Э_К1 равна, как известно, , где v₁ – средняя скорость потока в рассматриваемом сечении.

Потенциальная энергия складывается из двух составляющих:

- из энергии положения массы вещества на высоте h₁, это будет m∙g∙ h₁;

- энергии сжатого давлением p₁ объема V жидкости, это будет p₁ ∙V.

Полная энергия Э₁ рассматриваемого объема жидкости равна сумме кинетической и потенциальной энергий

. (9.13)

Через некоторое время рассматриваемый объем жидкости переместится по трубе и высота центра тяжести станет h₂, скорость v₂, сжимающее объем давление p₂. Полная энергия того же объема жидкости запишется в виде выражения

. (9.14)

Поскольку, по условию, отсутствуют трение и тепловые потоки, то энергия, по закону ее сохранения, остается постоянной и Э₁ = Э₂, откуда

.

В последнем выражении разделим все слагаемые на m = ρ·V:

. (9.15)

Полученное выражение называется уравнением Бернулли, по имени физика, получившего его в 1738 г.

Если участок трубопровода расположен горизонтально h₁ = h₂, или преобразование скоростей и давлений происходит в локальной области, которую можно считать находящейся на одной высоте, то уравнение Бернулли упрощается:

. (9.16)

Есть простое измерительное устройство (трубка Пито), позволяющая физически разделить составляющие энергии потока. Трубка Пито представляет собой изогнутую в виде буквы Г трубку, внутрь которой вставлена трубка меньшего диаметра с открытыми концами. У трубки большего диаметра входная часть приварена к трубке меньшего диаметра, а отверстия для поступления жидкости просверлены на боковой поверхности (рисунок 9.6). К верхним частям каждой из трубок подключают измерители давления, например, манометры.

Трубка Пито помещается в поток навстречу вектору скорости в исследуемом сечении трубы.

Рассмотрим давления, которые будут создаваться в трубках. В трубке большого диаметра отверстия для ввода жидкости никак не изменяют вектор скорости потока, т.е. они не влияют на движение жидкости. Давление, развиваемое в этой трубке равно той части давления, которая не зависит от скорости. В уравнении (9.16) это давление p₁ (или p₂, если трубку установить в другом сечении). Составляющая давления, не зависящая от скорости потока называется статическим давлением p_С.

Определим давление в трубке малого диаметра. Очевидно, что статическое давление p_С, действуя во всех направлениях (по закону Паскаля), создает давление и в трубке малого диаметра. Но, кроме того, набегающая на открытое отверстие струя жидкости полностью останавливается и ее кинетическая энергия ρ∙v²/2 переходит в потенциальную, т.е. в давление, которое называется динамическим давлением (динамическим напором) p_Д. Следовательно, в трубке малого диаметра создается давление, равное сумме статического и динамического давлений, которое называется полным давлением потока p_П. Согласно уравнению Бернулли энергия потока постоянна, поэтому полная потенциальная энергия остановленного потока равна:

p_П = p_С + p_Д = const.

Теперь можно оценить, как изменяются давления в жидкости при движении в трубе с плавно изменяющимися площадями поперечных сечений (если трубы круглые – то, соответственно, внутреннего диаметра). Например, диаметр трубы уменьшается. По свойству неразрывности потока средняя скорость жидкости нарастает пропорционально квадрату уменьшения диаметра (в порядке напоминания: площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра). При этом растет кинетическая энергия потока. А статическое давление p_С понижается, поскольку суммарная энергия жидкости (или, по-другому, полное давление p_П) остается постоянной величиной; просто изменение диаметра трубы приводит к ее перераспределению между потенциальной и кинетической формами.

9.4.3 Теорема о количестве движения. Гидравлические потери

При рассмотрении законов движения идеальной жидкости неоднократно подчеркивался тот факт, что рассматривается течение при плавных изменениях сечения трубы. Дело в том, что внезапные изменения площади сечения трубы (внезапные расширения или сужения) ведут к необратимым потерям механической энергии. Это означает, что применить закон сохранения механической энергии Бернулли для расчета и анализа потерь не представляется возможным.

Понятно, что потерянная энергия не исчезает, она из механической переходит в тепловую; но механизм и уравнения этого перехода в явной форме не известны. В подобных обстоятельствах полезна теорема о количестве движения; она не описывает детально протекающий процесс, но дает ответ на вопрос о конечном состоянии системы. Теорема, по существу, является следствием второго закона Ньютона: скорость изменения количества движения m∙v жидкости в выделенном объеме равна сумме сил F, приложенных к выделенному объему с массой жидкости m:

. (9.17)

Рассмотрим движение жидкости в трубе с внезапным расширением (рисунок 9.7). Жидкость течет из трубы с малой площадью поперечного сечения S₁ при средней скорости v₁ и статическом давлении p₁ в трубу большей площади поперечного сечения S₂.

Движение жидкости в трубе большего диаметра имеет сложный характер. В сечении 1-1 струя еще движется компактно, сохраняя площадь сечения S₁, скорость v₁ и статическое давление (по закону Паскаля) равное p₁. При дальнейшем движении струя размывается, занимая все большую площадь, и в сечении 2-2 средняя скорость потока стабилизируется на величине v₂ < v₁ (в силу неразрывности потока), а статическое давление становится равным p₂. Характер и процессы перехода от одной скорости и статического давления к другим не известны. Поэтому для оценки величины p₂ применим теорему о количестве движения.

За время dt струя малого диаметра (в сечении 1-1) переместит жидкость массой ρ·S₁ · dl со скоростью v₁ , образуя количество движения ρ· S₁· dl₁· v₁. По закону неразрывности потока за это же время dt в сечении 2-2 будет перемещена та же масса жидкости, но через другое поперечное сечение S₂ и с другой скоростью v₂; количество движения жидкости в этом сечении будет равно ρ· S₂· dl₂ · v₂.

Дополнительно необходимо учесть, что скорости, как векторные величины, рассматриваются относительно нормалей n к поверхностям, ограничивающим выделенный объем жидкости (на рисунке 9.7 это единичный вектор n к плоскости 1-1, направленный навстречу вектору скорости v₁ и единичный вектор n к плоскости 2-2, совпадающий по направлению с вектором v₂). Поэтому выражение количества движения, вносимого потоком, будет входить в сумму количеств со знаком минус, а выносимых – со знаком плюс:

.

В правой части последнего уравнения, согласно выражению (9.17), стоит алгебраическая сумма сил, действующих на выделенный объем. Этих сил две: произведение давления p₁ на площадь сечения 1-1, равной S₂, и произведение давления p₂ на площадь сечения 2-2, также равной S₂. Поскольку производная от пути по времени есть скорость, последнее выражение можно записать в следующем виде

. (9.18)

Воспользовавшись уравнением неразрывности потока (9.10), в первом слагаемом (9.18) произведение S₁v₁ заменим на S₂ v₂ и сократим все выражение на S₂:

. (9.19)

Если бы расширение трубы было плавное и потерь не было, то разность давлений в сечениях 1-1 и 2-2 определялось уравнением Бернулли (9.16)

, (9. 20)

где p_2Б – статическое давление в сечении 2-2 при отсутствии потерь механической энергии при расширении потока.

Просуммировав почленно выражения (9.19) и (9.20), произведя приведение подобных членов, получим значение потерянной безвозвратно потенциальной энергии Δp

. (9.21)

Потеря механической энергии объясняется тем, что на выходе из трубы малого диаметра поток сохраняет высокую скорость и, следовательно, низкое статическое давление в сечении 1-1 трубы большого диаметра. Снижение скорости потока ведет к росту статического давления, которое выдавливает часть потока вдоль стенок трубы в обратном направлении (на рисунке 9.7 показано пунктирными стрелками).

Уравнение (9.21) легко преобразовать так, чтобы потери были функцией диаметров трубы в узком и широком сечениях. Для этого вынесем за скобки скорость v₁ и заменим отношение скоростей отношением площадей сечений (по уравнению неразрывности потока)

. (9.22)

Видно, что при постоянстве площади поперечного сечения трубы (S₁ = S₂) потери давления равны нулю, а с ростом площади S₂ (или уменьшении S₁) потери возрастают и в пределе, при S₂ стремящемся к бесконечности, потери равны всей кинетической энергии потока.

Расчеты, подобные приведенному выше, показывают, что потери давления имеют место и при резком сужении трубы, и при прохождении потока через искривленные участки трубы с малыми радиусами закруглений.. Поскольку потери имеют место даже для модели жидкости без вязкости, тем более следует их ожидать для реальных жидкостей. Эти обстоятельства необходимо учитывать при введении в поток жидкости или газа каких-либо частей измерительных преобразователей.

9.5 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И ВЕЩЕСТВА