Плакат до гр–12 Лекція 13.

Тема 12.Вимірювання відрізків в п.

12.1. Про збереження відношення відрізків в п.К.В.

При центральному проектуванні відношення відрізків, розміщених на одній прямій, взагалі, не зберігається. Пропорційність зберігається тільки на прямих, паралельних картині æ. Зокрема, на прямих, паралельних основі k та на перпендикулярах до предметної площиниγ.

Приклад 1.Задано суміщене креслення, суміщені пряміаγтаb γ(b||k)і їх перспективи. На кожній прямій відкладено по кілька рівних відрізків, побудовано їх центральні проекції. Рис.12.1.

Висновок:на прямій загального положення “ а” в П. не зберігається рівність відрізків, а на прямій “ b”, що паралельнаk, проекції рівних відрізків також рівні. Пряму типу “ b” будемо використовувати при розв’язанні метричних задач

Приклад 2. На прямій “р” (γ) відкладено ряд рівних відрізків ^ота знайдено їх дійсні величини на картинному сліді площини, що утворена перпендикуляром “р” та прямою. Відрізки також рівні між собою. З того, що пряма і обернена задачі тут рівносильні, робимо висновок, що на прямих типу “р” зберігається пропорційність.

Принагідно робимо висновок, що на картинному сліді довільної площини, що проходить через перпендикуляр до площини γ, одержуємо дійсні величини відрізківцього перпендикуляра. Рис. 12.2.

12.2. Масштабні (вимірювальні) точки прямих предметної площини.

Приклад 3.На суміщеному кресленні розглянемо суміщене положення прямої загального положення, що належить площиніγ та її П. На прямій відкладено довільної довжини відрізок [AB], знайдемо його П. Рис.12.3.

Пряму асуміщаємо з прямоюk обертанням її навколо картинного слідуК_{а .} При цьому точка К також обертається по колу з центромS_аі і суміщається з лінією горизонту, перетворюючись у масштабну (вимірювальну) точкуМ_аі прямої “а”. В силу проективних властивостей, прямі (М_аі А) та (КА); (КВ) та (М_аі В) перетинаються в точках^оАта^оВ.

Означення.

Масштабною (вимірювальною) точкою прямих а_і–М_аі називається точка зоруК, суміщена з лінією горизонту, обертанням її в площиніσ по колу з центромS_аі радіуса= |КS_аі |.

12.3. Застосування масштабних точок.

Приклад 4. Від точки^оАвідкласти на прямій^оав П. відрізок, дійсна величина|АВ|якого задана. Рис.12.4.

Легко бачити, що задача має два розв’язки, адже відрізок |АВ| можна відкладати як наліво від точки А так і направо. Крім того, при побудовіМ_аі , точку Кможна обертати навколо точкиS_аітакож в обидва боки. Тобто точокМ_аі може бути дві. Використовуємо ту, яка дає нам більш точний графічний результат. Наприклад, на рис.12.4 при правій масштабній точці дуже гострі кути– неточно.

Приклад 5. Визначити дійсні величини відрізків прямих за їх перспективами.

Визначити:1) |АВ| ,якщо [AB]а γ;

2) |СD| ,якщо [CD]b γ, b||k

3) |EF| ,якщо [EF]p γ.

за перспективами відрізків [AB], [CD], [EF]. Рис.12.5.

Висновок:Масштабними (вимірювальними) точками прямих типуb (паралельних k) абор(p γ) можуть бутидовільніточки лінії горизонту.

Приклад 6.Побудувати П. куба з основою в площиніγ за перспективою однієї сторони основи.^оА(2;5),|^оА ^оВ|= 2 см, [AB]а γ , đ=6 см,ħ=7 см,|ОS_аі|=9 см. Рис.12.6. Легко бачити, що задача має чотири розв’язки (два куба над пл.γ,два – під пл.γ).

Приклад 7.Побудувати П. прямого кругового циліндра з центром нижньої основи в пл.γ, центр основи Р (3;4), висота циліндра – 4 см, радіус основи=3,5 см. Рис.12.7.

Література.