31

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 МНОГОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ.

ПОИСК ЭКСТРЕМУМА МЕТОДОМ ГАУССА­ЗЕЙДЕЛЯ

5.1 Цель работы

Освоение метода многомерной оптимизации Гаусса-Зейделя. 5.2 Теоретические основы

При многомерной оптимизации необходимо выполнить задачу:

что означает поиск координат точки экстремума n+1-мерной криволинейной поверхности в n+1–мерном пространстве. Для удобства рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода при n=2.

Рельеф любой поверхности можно отобразить линиями уровня. Для этого проводят линии их пересечения с исходной криволинейной поверхностью. Проекции этих линий на плоскость Х1 - Х2 называются линиями уровня.

Различают три типа рельефа: овальный, овражный и сложный (см. рисунок 5.1). В последнем случае поверхность может содержать точки минимума, максимума и седловые точки.

а - овальный, б – овражный, в – сложный Рисунок 5.1– Типы рельефа

32

В каждой из точек экстремума, а также в седловой точке выполняются условия

случаях возможно решение системы уравнений (5.2) относительно неизвестных Хi. Однако большинство задач настолько сложны, что процесс решения нелинейной системы оказывается более трудоемкой задачей. Кроме того, может случиться, что решение системы (5.2) не будет являться решением задачи (5.1), например, соответствовать координате седловой точки. Поэтому чаще используют численные методы поиска экстремума.

При оптимизации многофакторных задач часто используют метод Гаусса-Зейделя – метод последовательного поиска локальных оптимальных значений переменных и локальных экстремумов (закрепляя все факторы, кроме одного, как константы, и варьируя решение задачи по единственному переменному параметру). Среди локальных экстремумов затем находят глобальный экстремум. Метод прост в реализации и в достаточной степени надежен. Для наглядности рассмотрим работу метода при оптимизации двухпараметрической задачи, для которой заданы целевая функция R(X1,X2) = max, область исследований Xmini < X < Xmaxi (см. рисунок 5.2).

Алгоритм метода состоит из трех элементов:

1) На первом этапе расчета закрепляют произвольно значения всех параметров, кроме одного, например Х1. Любым методом поиска экстремума, например методом сканирования, находят оптимальное значение Х1отп.лок.1 для первого этапа варьирования переменных, при котором значение локального критерия оптимальности R1 = max.

2)На втором этапе закрепим Х1 = Х1отп.лок.1 и найдем аналогичным путем оптимальное значение координаты Х2отп.лок.2, при котором R2 > R1. Таким образом, в течение двух этапов расчета область исследования была изучена с определением локального экстремума с величиной критерия оптимальности R2 и выполнен первый цикл решения задачи оптимизации.

3)Аналогично пунктам 1 и 2 продолжим последовательно изменять переменные, пока координаты очередных локальных экстремумов не ста-

нут смещаться относительно друг друга на величину, меньшую ∆Хi.

При овальных линиях уровня метод Гаусса-Зейделя сходится хорошо. Однако при сильной овражности минимум может быть не достигнут. Эта трудность в особенности возникает при расположении оврага под углом ±45º к осям координат – возникают частые колебания с малыми шагами, что может привести к преждевременному завершению итерационного процесса.

33

○– локальные оптимальные значения переменных;

●– координаты глобального экстремума; ▲ – начальная точка

Рисунок 5.2 – Иллюстрация метода Гаусса-Зейделя

5.3 Постановка задачи

Составлена аналитическая математическая модель процесса пиролиза. О данной модели подробнее написано в лабораторной работе №3. Предварительные исследования показали, что существует экстремальная зависимость между выходом пропилена в процессе пиролиза от температуры в реакторе T и расхода сырьевой смеси Q Y=f(T, Q). Необходимо найти значения температуры и расхода, при котором достигается максимальный выход пропилена.

5.4Порядок выполнения работы

1Для выполнения лабораторной работы запустить файл LP5.EXE. В контуре «Исходные данные:» напротив ячеек «Расход пропана, куб. м в час» и «Температура, град. Цельсий» вводятся соответствующие значения. При нажатии кнопки «Расчет выхода пропилена» производится вычисление выхода пропилена в зависимости от заданных условий.

34

2Получить от преподавателя начальные исходные данные (температуру, расход и шаг расчета для температуры и расхода). Ввести в ячейки исходных данных полученные значения.

3Согласно пунктам 1 и 2 алгоритма, указанного в п. 5.2, методом сканирования вычислить локальные значения максимума выхода пропилена.

4При завершении 1-го цикла расчета разделить заданные шаги для расчета температуры и расхода пополам и продолжить расчет по пунктам 1

и2 указанного алгоритма (в случае, если при делении шага пополам и дальнейшем расчете максимум не определяется, следует еще раз разделить шаг на два).

5Дать геометрическую интерпретацию хода поиска экстремального значения Y.

6По полученным результатам сделать выводы.

7Составить отчет о проделанной работе.

5.5 Содержание отчета

1Теоретические основы метода Гаусса-Зейделя.

2Экспериментальные данные.

3Графическое отображение поиска экстремума.

4Выводы о проделанной работе.

5.6Варианты

Таблица 5.1 – Исходные данные

5.7Контрольные вопросы

1Объясните сущность метода Гаусса-Зейделя на примере выполненного практического поиска экстремума.

2Достоинства и недостатки метода Гаусса-Зейделя.

3Сущность многомерной оптимизации.