27
1)y1< y2;
2)y1 > y2;
3)y1= y2.
Во всех случаях удается уменьшить область поиска. В первом случае оп-
тимум лежит в интервале x1 -xm a x ; во второй – в xmin - x2; в третьей – x1 -x2 . Таким образом, активный поиск после каждой пары расчетов позво-
ляет уменьшить область поиска, так называемой области (интервала) неопределенности Lx. Например, для первого случая после первых двух расчетов получим новый интервал неопределенности x1 - xmax. Для этой области неопределенности проводят те же действия, что и в первом случае. Такие расчеты проводят до тех пор, пока область неопределенности не сузится до величины ε. Недостатком метода половинного деления является необходимость расчета двух значений функции y = f(x) каждый раз.
4.3.2.2 Программа поиска методом половинного деления
epselon = 5 Tmax = 900 Tmin = 700 z = 0
2z = z + 1
T(0) = (Tmax + Tmin)/2
T(1) = T(0) epselon/2
T(2) = T(0) + epselon/2
T = T(z)
Объект оптимизации – Y=f(Q, T)
Y(z) = Y
IF z<2 GOTO 2 z = 0
IF Y(2)<Y(1) then Tmin=T(0) epselon/2 else Tmax=T(0)+epselon/2 IF ABS(Tmax Tmin) >Tmax/100 GOTO 2
End
4.3.3 Метод золотого сечения
4.3.3.1 Сущность метода
Можно улучшить метод половинного деления, используя информацию о лучших "старых" результатах. Пусть начальный интервал неопределенности L0 = xmax - xmin (см. рисунок 4.2). По этому методу для первых двух расчетов выбирают расстояние от концов начального интервала неопределенностей, равное 0,618Lо. Тогда значения x1 и x2 определяются по выражениям
x1 = xmax - 0,618L0 = xmax - 0,618 (xmax - xmin);
28
x2 = xmin + 0,618L0 = xmin + 0,618(xmax - xmin ).
Рисунок 4.2
Далее сравнивают значения y1 и y2 . Если, например, y1 > y2, то из области неопределенности исключают интервал L2 = x1 - xmin и тогда следующим интервалом неопределенности будет L1 = xmax - x1. В этой области вычисляют значение x3 =x1 +0,618L1 = x1 +0,618(xm a x -x1) и y3. Продолжают подобные расчеты до тех пор, пока интервал неопределенности не сузится до заранее заданной величины ε. Коэффициент 0,618 получается из условия постоянства отношения интервалов неопределенности
|
|
L1 |
= |
L2 |
= k |
|
(4.3) |
|
|
|
|
L |
|
||||
|
|
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Из выражения (4.3) получим соотношения |
|
|||||||
Тогда подставив значения L1 и L; |
2 в уравнение. |
(4.4) |
||||||
L0 =L1 +L2 (см. рисунок |
||||||||
4.2) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 . |
(4.5) |
или |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
||
Решив уравнение (4.6), получим |
|
|||||||
k = −1 + |
1 +1 = −0,5 +1118, =0,618. |
|||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Преимуществом такого способа деления отрезка на части является то, что для следующего интервала неопределенности L1 значение x4 равно значению x2 для области неопределенности L0, т.е. x4= x2. Таким образом, при каждом шаге необходимо производить лишь один расчет. Такой метод получил название метода золотого сечения.
29
4.3.3.2 Программа поиска методом золотого сечения
1z = 0 T(1) = 750 T(2) = 850
Q = 800
2z = z + 1 T = T(z)
Объект оптимизации – Y=f(Q, T)
Y(z) = Y
IF z<2 GOTO 2
IF Y(z)<Y(z 1) GOTO 3
D= T(z): T(z) = T(z 1): T(z 1) = D
D= T(z): T(z) = T(z 1): T(z 1) = D
3T(z+1) = T(z) + 0.618034 * (T(z) T(z 1)) IF ABS(T(z) T(z 1)) > T(z)/100 GOTO 2 End
4.4Постановка задачи и краткое описание математической модели процесса
Составлена аналитическая детерминированная математическая модель процесса пиролиза углеводородного сырья. О данной модели подробнее написано в лабораторной работе №3. Предварительные исследования на математической модели показали, что существует детерминированная экстремальная зависимость между выходом пропилена и температурой в реакторе, при которой протекает процесс Y = f(T). Необходимо найти значение температуры в реакторе, при котором достигается максимум выхода пропилена.
4.5Порядок выполнения работы
1Для выполнения лабораторной работы запустить программу под названием LP4.EXE и завести в текстовом поле значение расхода пропана (задается преподавателем). На экране появится окно для выбора метода поиска экстремума функции, показанное на рисунке 4.3. Выбор осуществляется установкой маркера у соответствующего метода. После нажатия кнопки «Расчёт» появляются шкалы с показаниями значений температуры
вреакторе Т и выхода пропилена Y. При одном нажатии кнопки «Расчёт» производится расчет одного значения целевой функции.
2 При заданном значении расхода пропана Q определить значение температуры в реакторе (оптимальные условия протекания процесса), при которой достигается максимальный выход пропилена методами сканирования, половинного деления и золотого сечения.
30
|
|
Рисунок 4.3 – Окно Методы оптимизации |
3 Дать геометрическую интерпретацию хода поиска экстремального |
||
значения |
Y, обозначив последовательные значения выходной величины |
|
Y1, Y2, Y3 |
и т.д. и входной величины T1, T2, T3 ... и построив графики за- |
|
висимости Y = f(T). |
||
4 Пользуясь результатами экспериментов и программами для поиска |
||
экстремума, составить блок-схемы алгоритмов изучаемых методов. |
||
5 |
По полученным результатам сделать выводы. |
|
6 |
Составить отчет о проделанной работе. |
|
4.6Содержание отчета
1Теоретические основы поисковых методов нахождения экстремума.
2Экспериментальные и расчетные данные.
3Выводы о проделанной работе.
4.7Контрольные вопросы
1Объясните сущность метода сканирования на примере выполненного практического поиска минимума.
2Объясните сущность метода половинного деления на примере выполненного практического поиска минимума.
3Объясните сущность метода золотого сечения на примере выполненного практического поиска минимума.