прерывна и линейна на каждом отрезке сетки. Её удобно описать следующим выражением: при xi-1<= x <= xi

где hi = xi - xi-1. Сама функция g(x) находится путем двукратного интегрирования соотношения (2.4), откуда

где C1 и C2 - константы интегрирования. Они находятся из условия, что g(xi-1) = fi-1; g(xi ) = fi . Отсюда

Таким образом, получают систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных m1, m2,..., mn-1. А m0 = m1 = 0 в силу условия (2.3).

2.4 Программа для интерполяции кубическими сплайнами

'ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КУБИЧЕСКИМ СПЛАЙНОМ

DIM X 200 ,Y1 200 ,L 200 ,M2 200 ,R 200 ,S1 200 ,P2 200 DIM Y 100 ,M 150 ,T 100 ,S 100 ,P 2,100 ,F 40 ,H 100 ,A 5 ,C 5 'Ввод исходныхданных

N10 'N количество экспериментальных точек;

Next K

M2 N 0: L N 1 S1 N 1 : M2 N 1 L N 1

For K N 2 To 1 Step 1

L K L K *L K 1 S1 K : M2 K L K

13

2.5Порядок выполнения работы

1)Построить зависимость функции f(x) от x на миллиметровой бумаге и соединить экспериментальные точки плавной кривой.

2)Произвести численное интегрирование и дифференцирование функции f(x).

3)Построить их графики.

4)Запустить программу LP2.XLS

14

5) Ввести исходные данные согласно варианту лабораторной рабо-

ты.

6)Произвести расчет нажатием кнопки «Интерполяция кубическим сплайном».

7)Данные расчеты будут выведены на экран.

8)По расчетным данным построить графики функции f(х), ее интеграла и производной на листе «Graf».

9)Сравнивая полученные данные, сделать вывод о преимуществах обработки экспериментальных данных кубическими сплайнами.

10)Интегрировать и дифференцировать выражение (2.6).

2.6Содержание отчета

1)Краткие теоретические сведения о методе обработки экспериментальных данных кубическими сплайнами.

2)Результаты обработки экспериментальных данных.

3)Выводы.

2.7Варианты

Таблица 2.1 – Экспериментальные значения Y

2.8 Контрольные вопросы

1Что понимается под термином «интерполяция»?

2Объясните сущность линейной интерполяции?

3Объясните сущность интерполяции кубическими сплайнами?

4Каковы достоинства интерполяции кубическими сплайнами?

5Для каких целей используется интерполяция при обработке экспериментальных данных?

15

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

3.1 Цель работы

Освоение метода регрессионного анализа и составление эксперимен- тально-статистической модели процесса пиролиза.

3.2 Теоретические основы метода регрессионного анализа

Вследствие бурного роста разработок новых технологических процессов и АСУТП интенсивное развитие получили методы математического моделирования. Наиболее популярными являются статистические методы.

Пусть технологический процесс описывается моделью вида

определить по результатам эксперимента; y - выходная переменная (вели-

конкретные значения.

Выражение (3.1) называется уравнением регрессии, а его геометрический образ - поверхностью отклика. Переменные x1,..., xk называют также факторами.

При создании моделей технологических процессов можно выделить два этапа исследований: идентификация структуры моделей (параметризация моделей) и идентификация (определение) параметров моделей по экспериментальным данным.

На первом этапе путем осмысливания известных представлений о процессе разрабатывается его модель. На практике модель процесса довольно часто аппроксимируют полиномами первой или второй степени.

Второй этап разработок заключается в статической обработке экспериментальных данных, полученных на объекте с целью оценки неизвестных параметров модели (параметрическая идентификация модели).

Обычно для определения оценок параметров математических моделей используют метод регрессионного анализа.

Математическая модель должна наиболее точно описывать зависимость между входными и выходными величинами. На практике часто используется описание, основанное на минимуме среднеквадратической

измеренными значениями выходной величины в каждом эксперименте и

Эту процедуру называют методом наименьших квадратов (МНК). При этом важно отличать МНК как вычислительную процедуру от регрессионного анализа. Регрессионный анализ является статистическим анализом регрессионной модели, в которой зависимая переменная - случайная величина, а независимые переменные - детерминированные величины.

Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнение следующих условий:

•входные координаты (параметры) x1, x2,...xk измеряются с пренебрежимо малыми ошибками и могут рассматриваться как неслучайные величины;

•экспериментальные значения выходной координаты представляют значения независимых случайных величин, имеющих нормальное распределение;

•при изменении значений входных координат изменяется только математическое ожидание выходной координаты, но не изменяется дисперсия ее разброса, то есть дисперсия разброса однородна.

3.2.1Проверка воспроизводимости опытов (определение однородности дисперсий)

1Для определения воспроизводимости опытов проводят несколько серий параллельных опытов в рассматриваемой области изменения влияющих параметров. Результаты этих опытов сводят в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 - Данные для проверки воспроизводимости опытов

17

2 Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение выходной координаты:

1

, 1,2,…, , (3.4)

где k - число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях; N - число серий параллельных опытов. В данном случае N = 10 и k = 5.

3 Определить оценку дисперсии для каждой серии параллельных опытов:

где Gp(N,k-1) - табулированное значение критерия Кохрена при условии значимости p = 1 - P; P - доверительная вероятность.

Если оценки дисперсий однородны, рассчитывается дисперсия воспроизводимости:

3.2.2 Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии

При построении модели объекта желательно уметь выделять переменные, слабо влияющие на выходную координату. Их можно исключить из уравнения. Это позволяет упростить модель, не снижая существенно ее точности.

Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента: