§ 38. Atom водорода и водородоподобные ионы. Основные формулы

Момент импульса электрона на стационарных орбитах в водородоподобных атомах

L=mυr=nħ (n=1, 2, 3,…),

здесь т – масса электрона; r – радиус орбиты; υ – скорость электрона на орбите; п – главное квантовое число; ħ – постоянная Планка.

Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

здесь e – элементарный заряд, ε₀ – электрическая постоянная, Z – атомный номер (зарядовое число, порядковый номер атома в таблице Д.И. Менделеева).

Радиус электронной орбиты в водородоподобном атоме

.

Сериальная формула, определяющая длину волны λ или частоту υ света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,

,

здесь R' и R –постоянная Ридберга (R'=1,097*10⁷ м^-1; R=cR'=3,29*10¹⁵ с^-1); n₁ и n₂ – целые числа; n₁ – номер серии спект­ральных линий (n₁=l – серия Лаймана, n₂=2 – серия Бальмера, n₁=3 – серия Пашена и т. д.). Для данной серии n₂=n₁+l, n₁+ 2, n₁+3 и т. д.

• Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое,

здесь E_i – энергия ионизации * водорода: E_i=2πhħR=13,6 эВ.

* Бор исходил из предположения, что электроны обращаются по круговым орбитам. Зоммерфельд дополнил теорию Бора введением эллиптических орбит. Современная физика отказалась от представления об электронных орбитах. Вместо орбит введено понятие об энергетических уровнях атома. При этом номера уровней совпадают с номерами боровских орбит. Однако в целях наглядности иногда пользуются термином «орбита».

ЗАДАЧИ

(1) 1.1. Атом водорода

Уровень 1

1. Вычислить радиусы 1) r₂ второй и 2) r₃ третьей орбит в атоме водорода. Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м, π=3,142. Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения.

1) [212] [211] 2) [476] [477]

2. Определить длину волны λ, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [434] [435]

3. Найти 1) наибольшую λ_max и 2) наименьшую λ_min длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена). Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения.

1) [1875] [1876] 2) [820] [821]

4. Атомарный водород, возбужденный светом определенной длины волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определите длины волн этих линий и укажите, к каким сериям они принадлежат. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения.

1) [103] [102] 2) [122] [121] 3) [656] [657]

5. 1) Вычислить длину волны λ фотона, который испускает ион гелия Не⁺ при переходе со второго энергетического уровня на первый. 2) Сделать такой же подсчет для иона лития Li⁺⁺. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10¹⁰ и округлите до целого значения.

1) [304] [303] 2) [135] [136]

6. Вычислить частоту ν излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1, скорость света c=2,998∙10⁸ м/с. Полученный ответ умножьте на 10^-12 и округлите до целого значения. [458] [459]

7. Вычислите полную энергию электрона в ионе гелия He⁺ в основном состоянии. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м, π=3,142. Полученный ответ запишите в электронвольтах, умножьте на 10 и округлите до целого значения. [544] [545]

8. Определить длины волн, ограничивающие серию Бальмера в спектре водорода и аналогичную серию в спектре ионизованного лития Li⁺⁺. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. 1) головная линия (H), 2) граничная линия (H), 3) головная линия (Li⁺⁺), 4) граничная линия (Li⁺⁺).

1) [656] [657] 2) [365] [364] 3) [73] [72] 4) [41] [40]

Уровень 2

1. Во сколько раз уменьшается радиус орбиты электрона в атоме водорода, если при переходе атома из одного стационарного состояния в другое кинетическая энергия электрона увеличивается в 16 раз? [16]

2. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое, если угловая скорость вращения по орбите увеличилась в 8 раз? [4]

3. Во сколько раз увеличивается угловая скорость вращения электрона в атоме водорода, если при переходе атома из одного стационарного состояния в другое радиус орбиты электрона уменьшается в 4 раза? [8]

4. Каков номер возбужденного состояния, в которое переходит атом водорода из нормального состояния при поглощении фотона, энергия которого составляет 8/9 энергии ионизации атома водорода? [3]

5. Вычислить энергию ε фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый. Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1.

1) Полученный ответ запишите в Дж, умножьте на 10²⁰ и округлите до целого значения. [194] [193]

2) Полученный ответ запишите в эВ, умножьте на 10² и округлите до целого значения. [1209] [1210]

6. Определите 1) наименьшую ε_min и 2) наибольшую ε_max энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана). Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ запишите в эВ, умножьте на 10 и округлите до целого значения.

1) [102] [103] 2) [136] [137]

7. Фотон с энергией ε=16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость υ будет иметь электрон вдали от ядра атома? Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, энергия ионизации атома водорода E_ион=13,6 эВ. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [1010] [1009]

8. Найти энергию E_i ионизации ионов 1) He⁺ и 2) Li⁺⁺. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1, скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с. Полученный ответ запишите в электронвольтах, умножьте на 10 и округлите до целого значения.

1) [544] [545] 2) [1224] [1225]

9. Определить первый потенциал U_i возбуждения атома водорода. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1, скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с. Полученный ответ умножьте на 10 и округлите до целого значения. [102] [103]

10. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ=121,5 нм. Определите номер квантового уровня, возбужденного атома водорода. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. [2]

11. Определить полное число N спектральных линий, которые появятся в спектре атомарного водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его электронами с энергией ε=12,75 эВ. Постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1, скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с. [6]

12. На возбужденный (n=2) атом водорода падает фотон и вырывает из атома электрон с кинетической энергией ε=4 эВ. Определите энергию падающего фотона ε_ф. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м. Полученный ответ запишите в электронвольтах, умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [7400] [7401]

Уровень 3

1. Переход атомов водорода из состояния с номером 2 в нормальное состояние сопровождается ультрафиолетовым излучением с некоторой длиной волны. Каков номер возбужденного состояния, в которое переходят атомы водорода из состояния с номером 2 при поглощении кванта с длиной волны, в 4 раза большей? [4]

2. Определить скорость υ электрона на первой, второй, третьей, четвертой орбитах атома водорода. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10^-4 и округлите до целого значения.

1) [218] [219] 2) [109] [110] 3) [73] [72] 4) [55] [54]

3. Определить потенциальную П, кинетическую Т энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водорода. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м.

Потенциальная энергия: 1) Полученный ответ запишите в Дж, умножьте на 10²⁰ и округлите до целого значения; 2) Полученный ответ запишите в эВ, умножьте на 10 и округлите до целого значения.

Кинетическая энергия: 3) Полученный ответ запишите в Дж, умножьте на 10²⁰ и округлите до целого значения; 4) Полученный ответ запишите в эВ, умножьте на 10 и округлите до целого значения.

1) [436] [435] 2) [272] [273] 3) [218] [217] 4) [136] [137]

4. Вычислить частоты 1) ω₁ и 2) ω₂ 3) ω₂ вращения электрона в атоме водорода на первой второй и третьей орбитах. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10^-12 и округлите до целого значения.

1) [6577] [6576] 2) [822] [823] 3) [244] [243]

5. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ=121,5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода. Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м, π=3,142. Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [212] [211]

Уровень 4

1. Какую минимальную скорость υ_min должен иметь электрон, чтобы при неупругом столкновении с невозбужденным атомом водорода вызвать излучение только одной линии в спектре водорода? Заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10^-3 и округлите до целого значения. [1894] [1895]

2. Определить скорость υ фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны λ=18 нм из покоящихся невозбужденных ионов гелия He⁺. Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, масса электрона m=9,109∙10^-31 кг, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, электрическая постоянная ε₀=8,854∙10^-12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10^-4 и округлите до целого значения. [226] [225]

3. Найти полную энергию E_n возбужденного состояния иона гелия He⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волны λ₁=108,5 нм и λ₂=30,4 нм. Скорость света c=2,998∙10⁸ м/с, заряд электрона q=1,602∙10^-19 Кл, постоянная Планка h=6,626∙10^-34 Дж∙с, постоянная Ридберга R=1,097∙10⁷ м^-1. Полученный ответ умножьте на 10² и округлите до целого значения. [219] [220]

(3) 1.1. Атом водорода