Точно Не проект 2 / Не books / Источник_1

Так как нечеткие отношения – это нечеткие множества, то к ним можно применять рассмотренные выше операции нечетких множеств. Кроме этого, над нечеткими отношениями выполняют ряд дополнительных операций. Наиболее важной является операция композиции.

Пусть заданы два нечетких отношения: P X Y и R Y Z, где X,Y,Z – четкие множества. Тогда композиция отношений P и R (обозначается P R) определится с помощью выражения

P R {((x,z)| maxmin{ P (x, y), R (y,z)})} (x,z) X Z

y Y

или

где символы и используются соответственно для обозначения макси-

y y

мума и минимума относительно переменной y. Операцию композиции называют также max-min сверткой. Max-min свертка позволяет установить нечеткое отношение элементов множеств X и Z, минуя отношение с элементами из множества Y. Она реализует правило: “если элементы из Х находятся в отношении Р к элементам из Y, а элементы из Y находятся в отношении R к элементам из Z, то элементы из Х находятся в отношении P R к элементам из Z”. Данное правило является составным и, по сути, состоит из двух правил, реализуемых в ходе нечеткого вывода. Поэтому композиция нечетких отношений соответствует цепочке правил, реализуемых в ходе нечеткого вывода.

В нечетких выводах участвуют нечеткие утверждения, над которыми выполняются операции нечеткой логики. В рамках нечеткой логики существует два подхода к определению степени истинности нечетких утверждений. В первом случае степень истинности нечеткого утверждения (нечеткого предиката) представляется числом из диапазона [0, 1]. Во втором случае степень истинности характеризуется лингвистическими значениями типа: “истинно”, “ложно”, “почти истинно”, “почти ложно” и т.п. Каждое такое значение, по сути, есть нечеткая переменная, представляемая нечетким подмножеством единичного интервала. Логика с лингвистическими значениями истинности была предложена Заде и называется лингвистической. Заметим также, что иногда логику первого типа называют многозначной, а лингвистическую логику – нечеткой [31].

Основным объектом многозначной логики является нечеткое логическое выражение, в состав которого входят нечеткие предикаты. Нечеткий предикат Р(х1,х2,…,хn) ставит в соответствие конкретному набору нечетких переменных х1 Х1,х2 Х2 , ,хn Xn , превращающих предикат в выска-

циативным свойством. Мотивировку введения данной операции поясним на примере. Пусть имеется правило:

Если Температура 870оС и Давление 40 бар,

То Подача_газа=0,3.

При возникновении опасности подача газа должна сокращаться. Так, если измеренные значения температуры и давления будут равны 871 оС и 41 бар, то правило будет активизировано, и подача газа сократится. Если же температура будет равна 868 оС, а давление составит 62 бара, то ничего не произойдет. В то же время здравый смысл подсказывает, что значительное повышение давления компенсирует пониженную температуру и, следовательно, подачу газа необходимо снижать. С этой целью разумно операцию конъюнкции заменить операцией “компенсирующее И”, связав с параметром температуру. При понижении температуры конъюнкция может автоматически переходить в дизъюнкцию.

В повседневной жизни часто используются приближенные выводы на основе нечетких исходных высказываний. Например,

Для формализации такого вывода Заде предложил обобщенное пра-

вило modus ponens в форме:

посылка 1: если х есть А, то y есть В, иначе y есть C посылка 2: х есть А'

следствие: y есть D,

где А, А', B, C, D – нечеткие переменные, представленные нечеткими множествами, заданными на следующих областях определения U,U,V,V,V; x,y – лингвистические переменные. Это правило имеет существенную особенность по сравнению с традиционным правилом modus ponens

А, А В

.

В

В обобщенном правиле множества А и А' не совпадают. Если А и А' более или менее сопоставимы, то можно получить следствие D, в некоторой степени подобное В, иначе D в некоторой степени подобно С. Ранее было отмечено, что для формализации правила А В можно использовать нечеткое отношение, определяемое с помощью декартового произве-

Таким образом, D={(30|0),(60|0,1),(120|0,8),(240|1,0)}, т.е. время на-

грева действительно большое.

В заключение отметим, что в лингвистической логике существует несколько вариантов построения нечетких выводов. Рассмотренный вариант, основанный на применении максиминного отношения (4.16), не всегда совпадает с нашей интуицией [2].

4.2.3. Неполнота знаний и немонотонный вывод

Относительно рассмотренных выше методов оценки достоверности заключений высказываются критические замечания. Во-первых, все рассмотренные методы используют количественные меры неопределенности. При этом приходится довольствоваться субъективными оценками функций принадлежности, априорных вероятностей, коэффициентов уверенности. Возникает проблема определения достоверности самих этих оценок. Вовторых, многие исследователи полагают, что количественные оценки неопределенности несвойственны рассуждениям человека. Если спросить эксперта, почему данное заключение характеризуется неопределенностью, то, как правило, ответ формулируется в терминах качественных взаимосвязей, существующих в предметной области. В-третьих, количественные оценки неопределенности не обеспечивают выполнение правдоподобных рассуждений в условиях неполноты (отсутствия) знаний. Безусловно, с отсутствующими элементами знаний можно связать низкую оценку их достоверности. Но что делать, если в ходе дальнейшего вывода те или иные элементы знаний, на основе которых строился вывод, будут подкреплены достаточно надежными свидетельствами, или, наоборот, признаны ложными? Иными словами, как быть, если вновь полученные утверждения противоречат исходным посылкам логического вывода? Ответ на этот вопрос дают методы немонотонной логики, применяемой в условиях неполноты знаний.

Системы логического вывода, основанные на классической логике, ограничиваются формализацией общезначимых рассуждений. При этом должны выполняться следующие требования. Во-первых, должно быть заданно множество аксиом и правил вывода, которые позволяют делать за-

Внемонотонных логиках предусловия в правилах вывода записывают

спомощью модальных операторов1). Одним из таких операторов является оператор unless (англ. “пока не”). Рассмотрим правило

Правило позволяет из посылки P(x) вывести заключение R(x), пока не доказано предположение Q(x). Если будут получены сведения о выполнимости Q(x), то необходимо будет исключить R(x) из базы знаний. С этой целью системы немонотонного вывода должны сохранять протокол вывода.

Идея введения в правила вывода предположений получила дальнейшее развитие в логике умолчаний Рейтера. При этом предположения, используемые в процессе вывода, берутся такими, какими они бывают в обычных ситуациях, т.е. их значения принимаются по умолчанию. Правила умолчаний записываются в форме

: М

. (4.18)

Здесь М обозначает модальный оператор “согласуется с” (выполнимо). Двоеточие отделяет посылку правила от предположения. Смысл правила следующий: если верно и если согласуется со всеми значениями, полученными к данному моменту, то выполнимо . Рассмотренное ранее правило “если х птица, то х летает” можно записать в виде следующего правила умолчания

птица (х) : М летает (х)

.

летает (х)

Оно означает, что если х – птица и выполним предикат летает(х), то выводимо “х летает”.

Использование правил умолчания позволяет получать различные несовместные множества значений. Например, пусть верно А и

А: МВ , А: МС.

СВ

1)Модальные операторы были введены в логику для формализации конструкций естественного языка: “возможно”, “необходимо”, “разрешено”, “обязательно” и др. Соответствующая логика называется модальной логикой.

полнимость следствий ранее примененных нормальных умолчаний. В силу этого, нормальные теории относятся к полумонотонным.

Рейтер построил процедуру доказательств для замкнутых нормальных теорий. Процедура позволяет для заданной замкнутой формулы выяснить, входит ли эта формула в одно из расширений замкнутой нормальной теории [27,37]. В общем случае проблема проверки существования расширения с заданной замкнутой формулой не является полуразрешимой.

Вряде случаев применение нормальных умолчаний может приводить

кнежелательным заключениям. Например, опишем ситуацию, изображенную на рисунке 3.18, нормальной теорией (D,F), где D содержит два

нормальных умолчания: “если х птица, то х летает”, или в символьном виде

птица(х): М летает(х); летает(х)

“если х пингвин, то х не летает”

пингвин(х): М летает(х)

.

летает(х)

Множество формул F запишется в виде:

{птица(Чилли Вилли),пингвин(Чилли Вилли)}.

В зависимости от порядка применения правил из D можно получить два следствия: летает(Чилли-Вилли) и летает(Чилли-Вилли). Очевидно,

первое следствие не соответствует действительности, чтобы исключить возможность применения первого правила разумно потребовать его блокирования, если выполняется предикат пингвин(х). Перепишем первое правило в виде:

птица(х): М летает(х) пингвин(х)

.

летает(х)

Тогда теория дает только одно следствие летает(Чилли-Вилли). Последнее правило называется полунормальным. В общем случае оно

записывается в виде:

(х): М (х) (х).

(х)

Такое умолчание явно управляется условием, задаваемым формулой (х). Теории с полунормальными умолчаниями не всегда обладают расширени-