Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

554

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

При

√

(

)

(

));

при

√

(

)

√

(

)

√

(

√

)

√

при

√

(

);

при

√

(

);

при

√

(

)

√

(

)

(

))

√

(

)

(

));

при

√

(

)

√

(

)

(

))

√

(

)

(

)) ;

при

√

(

)

√

(

)

(

))

√

(

)

(

)).

Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки:

			( √			(					)			√				(							)) ,
			( √			(					)			√				(							)) ,

			( √							√										) ,
			( √							√										) ,

			( √								√										) ,
			( √								√										) ,

			( √								√											) ,
			( √								√											) ,

			( √			(							)			√		(										)) ,
			( √			(							)			√		(										)) ,

			( √			(						)			√			(									)) ,
			( √			(						)			√			(									)) ,

			( √			(							)			√		(										)) .
			( √			(							)			√		(										)) .

		Эти точки лежат на окружности радиуса √																											и являются вершина-
ми правильного семиугольника (рис. 2.52).
		Ответ:

1)					√			√	;								√						√	;					√		√		;		√
1)									;															;									;

	√	.
		.

2)						√ (													),									√ ,				√		(
2)						√ (													),									√ ,				√		(

			),				√ (			(						)		(								)),				√ (				(		)
(			),	)).			√ (			(						)		(								)),				√ (				(		)

√

Рис. 2.52. Все значения √ √


														√ √			√	;
3)			√ (			(		)	(			));		√ √			√
3)			√ (			(		)	(			));

√	(						);			√ (					);
√	(						);			√ (					);

√ (		(			)		(		));			√ (	(			)
√ (		(			)		(		));			√ (	(			)

(		));			√	(	(				)	(	)).
(		));			√	(	(				)	(	)).
Задание 2.13. Найти все значения корня из комплексных чисел:

							3) √ √
1)	√	;		2) √		;	3) √ √		.

2.14. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Пример 2.14. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

1)	;	2)			.
Решение.

1) Выразим из уравнения				:		√ и найдѐм все значения корня.
Для этого представим число					в тригонометрической форме. Найдѐм
модуль и аргумент этого числа.
Найдѐм модуль числа				:
\| \| √
\| \| √			√		.
Числу	в координатной плоскости соответствует точка						(	)
(рис. 2.53).
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка							лежит
на положительной части оси :					.
					62

O	x

Рис. 2.53. Геометрическое представление комплексного числа

Тогда тригонометрическая форма числа :

( ) .

По формуле извлечения корня из комплексного числа, получаем:

		̅̅̅̅̅.
√ √ (	)
√ √ (	)

Распишем все значения корня:

при

;

при

√

при

;

при

)

(

)

(

)

√

при

)

(

)

(

)

√ .

;

√ ;

( ) (

;

( ) (

2) Выразим из уравнения :

√

и найдѐм все значения кор-

ня. Для этого представим число

в тригонометрической форме.

Найдѐм модуль и аргумент этого числа.

Найдѐм модуль числа

| | √

√

( )

√ .

Числу

в координатной

плоскости соответствует точка

(

) (рис. 2.54).

Рис. 2.54. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка лежит в IV четверти:

Тогда тригонометрическая форма числа

√ (

(

)

(

)) .

По формуле извлечения корня из комплексного числа, получаем:

																																		̅̅̅̅̅.
								√√
	√									(																					)
	√									(																					)
	Распишем все значения корня:
													(					(					)			(							));
	при						:				√
	при						:				√

	при						:				√		(													);
	при						:				√		(													);

	при									:											√	(													)	√	(
	при									:											√	(													)	√	(

			) √ (							(						)								(						)) √ (						(		)
			) √ (							(						)								(						)) √ (						(		)

												√					√								√				√			.
(					)) √					(		√					√			)					√				√
(					)) √					(										)
	Ответ:

1)							;								√ ;												√ ;						;						√ ;
1)							;								√ ;												√ ;						;						√ ;
				√ .
				√ .
2)									√	(			(						)					(				)),								√	(
2)									√	(			(						)					(				)),								√	(

			);							√			√			.
			);													.
	Задание 2.14. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:
1)										;	2)													.
		2.15. Расстояние между точками в комплексной плоскости
	Пример 2.15. Найти расстояние между точками:
1)										,												;

2)						√				,												;

3)							,						√ ;

4)						√				,						.
	Решение. Для нахождения расстояния между точками воспользуемся

формулой:							\|				\|			√(								)		(									) .
						√
										(			)									(		)
	1)						(			(			)					(				(		)						√						√
	1)						(						)					(						)						√						√
√ .

						√(√				( ))								(						)				√(√								( )
2)						√(√				( ))								(						)				√(√					)			( )

√				√
√	√			√		√ .

		√(	)						√
3)		√(	)		(		( √ ))		√		(√ )	√	.

		√(√			(	)		√(√		)	( )
4)		√(√	)		(	)		√(√		)	( )	√

√√ .

Задание 2.15. Найти расстояние между точками:

1)			,		;

2)	√		,		√ ;
3)			,		;
		√		√
4)		√	,	√	.

Часть III. Третий уровень сложности

2.16. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пример 2.16. Выполнить действия над комплексными числами в ал-

гебраической форме:		(		)			.
гебраической форме:		(	)(		)		.
Решение.
Найдѐм	:				(	)	( )	.
Найдѐм значение числителя первой дроби, выполнив умножение
комплексных чисел:
(	)	(			)(	)		( )

Найдѐм значение знаменателя первой дроби, выполнив умножение комплексных чисел:

(	)(	)
(	)	.

Найдѐм значение первой дроби, выполнив действие деления комплексных чисел. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжѐнное знаменателю:

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Найдѐм значение второй дроби, выполнив действие деления комплексных чисел. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжѐнное знаменателю:

(	)(	)			(	)

(	)(	)	(	)	( )

(

)

Найдѐм значение данного выражения, выполнив действие вычитания комплексных чисел:

(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

))

(

)

Ответ:

Задание 2.16. Выполнить действия над комплексными числами в ал-

гебраической форме:

(

)(

)

(

)

2.17. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пример 2.17. Выполнить действия над комплексными числами в

(

)

тригонометрической форме:

√

( √

) (

)

Решение.

В данном примере используются операции возведения в степень,

умножения и деления над четырьмя комплексными числами:

√

. Для выполнения перечислен-

ных операций представим каждое число в тригонометрической форме.

√

Найдѐм модуль первого числа

√(

√

√ )

Первому числу

√

в координатной плоскости соответ-

ствует точка

(

√

) (рис. 2.55).

√

Рис. 2.55. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка

лежит во II

четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма первого числа

	(		).	:
	(		).
	Найдѐм модуль второго числа

	\| \| √		√	.
	Второму числу	в координатной плоскости соответствует точка
(	) (рис. 2.56).

Рис. 2.56. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент второго числа, учитывая,

что точка

лежит на

положительной части оси

Тогда тригонометрическая форма второго числа

(

) .

Найдѐм модуль третьего числа

√

(√ )

√ .

Третьему числу

√

в координатной плоскости соответ-

ствует точка

(

√ ) (рис. 2.57).

√

Рис. 2.57. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент третьего числа, учитывая,

что точка

лежит в I

четверти:

√		.

	67

Тогда тригонометрическая форма третьего числа

√ :

√

(

Найдѐм модуль четвѐртого числа

| |

√

√(

)

√ .

Четвѐртому числу

в координатной плоскости соответ-

ствует точка

(

) (рис. 2.58).

Рис. 2.58. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент четвѐртого числа, учитывая, что точка

лежит во

II четверти:

Тогда тригонометрическая форма четвѐртого числа

√ (

Далее выполним возведение в степень по формуле Муавра:

			(			(				)		(				))			(									)
			(			(				)		(				))			(									)
(			(			)				(				))		(					(		)
(			(			)				(				))		(					(		)
(				));		(			(		)	(			))				(							)
(				));


(			(			)				(				))		(			(			)			(		));
(			(			)				(				))		(			(			)			(		));

		);			( √	)			(	(		)		(			))		(
					( √	)			(	(		)		(			))		(



					( √ )				(	(		)		(				))					√	(
					( √ )				(	(		)		(				))					√	(

			)					√	(	(				)		(				))
			)					√	(	(				)		(				))
	(		(				)			(			)).
√
√
												68

Найдѐм значение числителя данной дроби, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

(	(		(		))	(		(		)))

(	(		)	(		)).

Найдѐм значение знаменателя данной дроби, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

(

) ( √ )(

(

))

(

)))

√ (

Найдѐм значение данной дроби, используя правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

(

)

(

))

√

(

)

(

))

(

)

√

(

))

√

(

)

(

)

√

Ответ:

(

)

Задание 2.17. Выполнить действия над комплексными числами в


тригонометрической форме:	(	) ( √	)	.
тригонометрической форме:				.
	(	√	)

2.18. Решение биквадратных уравнений на множестве комплексных чисел

Пример 2.18. Решить биквадратное уравнение на множестве ком-

плексных чисел:				.
Решение.
Обозначим	через	. Получаем квадратное уравнение:
	.
Корни уравнения:			√		или	.
Корни уравнения:			√		или	.
1) Решим уравнение				, учитывая, что комплексное число
имеет вид	, где	и	– действительные числа.
С учѐтом этого: (		)		.
Тогда:				.

Учитывая, что комплексные числа равны, если равны их действи-

тельные и мнимые части, получаем систему уравнений: { Отсюда:

{

Обозначим

через

. Получаем квадратное уравнение:

Корни уравнения:

√

Тогда:

√

Учитывая, что – действительное число, оставляем положительное

значение:

√

и, следовательно:

√

(√

)

√

√( √

)(√

√

)

√

(√

)

√ (√

)

√√

(√

)

Соответственно корни уравнения:

√

2) Решим уравнение

, учитывая, что комплексное число

имеет вид:

, где

– действительные числа.

С учѐтом этого: (

)

Тогда:

{

Обозначим

через

. Получаем квадратное уравнение:

Корни уравнения:

√

Отсюда:

√

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.2024384.56 Кб755.pdf
#
09.01.20241.59 Mб5550.pdf
#
09.01.20241.59 Mб7551.pdf
#
09.01.20241.6 Mб26552.pdf
#
09.01.20241.6 Mб6553.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4554.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4555.pdf
#
09.01.20241.61 Mб4556.pdf
#
09.01.20241.61 Mб3557.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0558.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0559.pdf