Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

554

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

(	)	(	)

(	)	(	)
(	)	(	)

[ (	)		(	)].
Выпишем результат:
		[	(	)	(	)].

Таким образом, частным двух комплексных чисел является комплексное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя; аргумент равен разности аргументов делимого и делителя. Кратко говоря, при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делят, а аргументы вычитают.

Пример 1.11. Найти частное двух комплексных чисел

и√ в тригонометрической форме.

Решение. Представим каждое число в тригонометрической форме. Для этого найдѐм их модуль и аргумент.

Найдѐм модуль первого числа					:

\|	\| √		√	( )	√ .
Первому числу			в координатной плоскости соответствует
точка (	) (рис. 1.16).
		y
		O			x

Рис. 1.16. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка

лежит в IV

четверти:

(

)

Тогда тригонометрическая форма первого числа

√ (

(

)

(

)).

√

Найдѐм модуль второго числа

√( √

)

| | √

( )

√ .

Второму числу			√	в координатной плоскости соответ-

ствует точка	( √	) (рис. 1.17).
					y

		√
				O	x

Рис. 1.17. Геометрическое представление комплексного числа √

Найдѐм аргумент второго числа, учитывая, что точка	лежит в III
четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма второго числа

√

(

)

(

)).

Найдѐм частное чисел:

√

(

))

(

)))

√

(

√

Ответ:

(

Замечание 1. В результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел снова получается комплексное число. Если правила действия над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 2. Если в выражениях суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел заменить каждое комплексное число сопряжѐнным, то и результаты указанных действий заменяются сопряжѐнными числами.

1.4.5. Возведение комплексного числа в целую положительную степень

Для получения формулы возведения комплексного числа в целую положительную степень рассмотрим частные случаи, используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:

		(	(		))(	(	))
(	(	)		(	))	(	);
		(	(			))( (	))
(	(	)		(	))	(	).
Применяя формулу произведения комплексных чисел раз, получа-
ем следующую формулу:
	(	(		))	(		).

Эта формула называется формулой Муавра.

Таким образом, при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример 1.12. Выполнить возведение комплексного числа в степень

по формуле Муавра: ( √

) .

Решение.

Представим число

√

в тригонометрической

форме. Для этого найдѐм его модуль и аргумент.

Найдѐм модуль числа

√

| |

√( √

)

√

√ ;

Числу

√

в координатной плоскости соответствует точка

( √

) (рис. 1.18).

√

Рис. 1.18. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

во II четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма числа		√	:

√ (	).
√ (	).

Выполним возведение в степень по формуле Муавра:

( √

) ( √ ) (

(

)

(

))

√

(

)

√

(

)

√ )

√

(

√

Ответ:

√

1.4.6. Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу, то есть

если √	, то		, где и	– комплексные числа.
Пусть		(		),	(	). Тогда:

√	√	(	)		(	)
√	√					.

Возводя в степень n по формуле Муавра, получаем:

(	)	(	).
Учитывая, что у равных комплексных чисел модули равны, а аргу-
менты могут отличаться на число, кратное			, получаем следующие урав-
нения для определения	и	:
,		.
Отсюда получаем формулы для нахождения и :

√ ,		,
√ ,		,

где √ – арифметическое значение корня из положительного числа.

Придавая значения	, получим различных значе-
ний корня. Для других значений	аргументы будут отличаться от полу-

ченных на число, кратное , и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Окончательно, получаем следующую формулу для извлечения корня из комплексного числа:

√ √ ( ) √ ( ),

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.

Пример 1.13. Найти все значения корня из комплексных чисел:

	2) √
1) √ ;	2) √	√ .
Решение.
1) Для извлечения корня из комплексного числа			представим

его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

Найдѐм модуль числа	:
	24

| |

√

√(

)

Числу

в координатной

плоскости

соответствует

точка

(

) (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

на отрицательной части оси

Тогда тригонометрическая форма числа

(

)

Выполним извлечение корня:

√

√ (

)

Распишем все значения корня.

При

;

при

(

)

(

)

Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки: ( ) , ( ), лежащие на окружности радиуса 1 и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Все значения √

2) Для извлечения корня из комплексного числа √ представим его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.


Найдѐм модуль числа	√ :
	25

\| \|			√(	)
\| \|	√		√(	)	( √ )	.
Числу		√	в	координатной		плоскости соответствует
Числу		√	в	координатной		плоскости соответствует

точка (	√ ) (рис. 1.21).

√

Рис. 1.21. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

во II четверти:

√

(

√ )

Тогда тригонометрическая форма числа

√

(

Выполним извлечение корня:

̅̅̅̅̅.

√

(

)

√

Распишем все значения корня.

(√

√

√ ;

При

√

(

)

√

)

√ )

√

при

√

(

)

√

(

√ ;

при

√

(

) √

(

)

)) √

( √

(

)) √ (

(

)

(

)

√√ ;


при	:	√ (					) √ (	(		)
при	:	√ (					) √ (	(		)

									√ )
(	)) √ (	(	)	26	(	)) √ (
(	)) √ (	(	)		(	)) √ (

√√ .

Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки:

(√ √ ) ,

( √ √ ),

( √

√ ),

(√

√ ),

лежащие на окружности радиуса √

и являющиеся вершинами квадрата

(рис. 1.22).

√

Рис. 1.22. Все значения √

√

Ответ: 1)

;

√

√ ,

√

√ ,

√

√ ,

√

√ .

Пример 1.14. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

;

Решение.

1) Найдѐм корни квадратного уравнения, учитывая, что √

√

Выразим из уравнения :

√ и найдѐм все значения корня.

Для этого представим число

в тригонометрической форме. Найдѐм

модуль и аргумент числа.

Найдѐм модуль числа

| | √

√

Числу

координатной

плоскости соответствует

точка

(

) (рис. 1.23).

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

на положительной части оси

Тогда тригонометрическая форма числа

Рис. 1.23. Геометрическое представление комплексного числа

( ) .

По формуле извлечения корня из комплексного числа, получаем:

			(									)				̅̅̅̅̅.
√		√
√		√
Распишем все значения корня.
При		:		(				)					(				)			;

				(						)			(				√ )
при		:																				√ ;
при		:																				√ ;
при		:		(							)		(						√ )
при		:		(							)		(						√ )
	√ ;
при		:		(				)					(				)					;
при			:		(											)	(			(			)
при			:		(											)	(			(			)

(		))	(	(			)	(							))		(					√ )
(		))	(	(			)	(							))		(					√ )
	√ ;
при			:		(											)	(			(			)
при			:		(											)	(			(			)

(		))	(	(		)		(						))			(				√ )
(		))	(	(		)		(						))			(				√ )
√ .

Ответ: 1)				;	2)								,							√ ,

		√ ,		,					√ ,									√ .

Контрольные вопросы

1.Что такое ?

2.Как комплексное число представляют геометрически?

3.Назовите формы записи комплексного числа.

4.Что такое модуль комплексного числа и как его находят?

5.Что такое аргумент комплексного числа и как его находят?

6.Как выполняют сложение комплексных чисел?

7.Как выполняют вычитание комплексных чисел?

8.Как выполняют умножение комплексных чисел?

9.Как выполняют деление комплексных чисел?

10.Как выполняют возведение комплексного числа в степень?

11.Как извлекают корень из комплексного числа?

Раздел 2. Практикум

В данном разделе используется следующая нумерация примеров и заданий: a.b, где первая цифра "a"обозначает номер раздела, вторая цифра "b" обозначает номер примера (задания, рисунка). Например: 2.9 обозначает второй раздел, девятый пример (задание, рисунок).

Часть I. Первый уровень сложности

2.1. Действительная и мнимая части комплексного числа Пример 2.1. Указать действительную и мнимую части чисел:

1)		;	2)		;	3)	;
4)		;	5)	;		6)	;

7)	;		8)	;		9)	√ ;

10)				;	11)			.
Решение. Все числа заданы в алгебраической форме													, где
–действительная часть комплексного числа,										– мнимая часть. Тогда:
1)					;			2)				;
3)					;			4)				;
5)					;			6)				;
7)					;			8)				;

9)		√			;			10)				;
11)					.
Задание 2.1. Указать действительную и мнимую части чисел:
1)				;	2)			;			3)	;
1)				;	2)			;			3)	;
4)				;	5)	;					6)	;

7)	(		;	) ;	8)		;				9)	√ ;
7)			;		8)		;				9)	√ ;
10)					11)				.
10)					11)				.
					2.2. Степень числа i
Пример 2.2. Найти степень числа .
1)	;			2) ;	3)	;		4)		;	5)	;

6).

Решение. Воспользуемся формулой								.
1)			(	)		( )		;
2)	(	)	(	)		;
3)			(	)		(	)	;
4)			(	)		(	)	;
5)				(	)	(	)	;
6)	(		)	(	)		.
						29

Ответ: 1) – ; 2) –1; 3)		; 4)	; 5)	; 6) 1.
Задание 2.2. Найти степень числа				:
1) ;	2) ;	3)	;	4) ;	5) ;

6).

2.3. Сопряжѐнное комплексное число Пример 2.3. Найти комплексные числа, сопряжѐнные данным чис-

лам:

;

√ .

Решение. Сопряжѐнное число отличается от исходного знаком мни-

мой части, то есть для комплексного числа

сопряжѐнным явля-

ется комплексное число ̅

. С учѐтом этого:

;

3) ̅

;

√ .

Задание 2.3. Найти числа, сопряжѐнные данным числам:

;

2.4. Геометрическое представление комплексного числа Пример 2.4. Изобразить комплексные числа в комплексной плоско-

сти:


1)		√ ;	2)	;	3)		;
						√
4)	;		5)	;	6)	√	;
7)	;		8)	.

	Решение.

	1) Числу		√ в комплексной плоскости соответствует точ-
ка (	√	) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.1).
ка (	√	) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.1).
				y
				O	x

√

Рис. 2.1. Геометрическое представление комплексного числа

√

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.2024384.56 Кб755.pdf
#
09.01.20241.59 Mб5550.pdf
#
09.01.20241.59 Mб7551.pdf
#
09.01.20241.6 Mб26552.pdf
#
09.01.20241.6 Mб6553.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4554.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4555.pdf
#
09.01.20241.61 Mб4556.pdf
#
09.01.20241.61 Mб3557.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0558.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0559.pdf