554

2) Числу

в комплексной плоскости соответствует точ-

ка (

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.2).

y

O

x

3) Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.3).

O

x

Рис. 2.3. Геометрическое представление комплексного числа

4)

Числу

в комплексной

плоскости соответствует точка

(

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.4).

–5

O

x

Рис. 2.4. Геометрическое представление комплексного числа

5)

Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.5).

6)

Числу

√

в комплексной плоскости соответствует точка

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.6).

(√

O

√

x

Рис. 2.6. Геометрическое представление комплексного числа

√

7)

Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Геометрическое представление комплексного числа

8) Числу

в

комплексной

плоскости

соответствует

точка

(

) или вектор ̅̅̅̅̅ (рис. 2.8).

Задание 2.4. Изобразить комплексные числа в комплексной плоско-

сти:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

32

7)

;

8)

.

y

O

3

x

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

;

Решение. Для нахождения модуля комплексного числа

| |

воспользуемся формулой:

√

.

1) Модуль числа

:

| |

√(

)

√

.

2) Модуль числа

:

| |

√

(

)

√

√ .

| |

3) Модуль числа

:

√

√ .

4) Модуль числа

:

| |

√(

)

(

)

√ .

| |

5) Модуль числа

:

√

.

6) Модуль числа

:

| |

√(

)

.

7) Модуль числа

:

| |

√

(

)

.

8) Модуль числа

:

|

| √

(

)

.

9) Модуль числа

:

|

| √(

)

(

)

.

10) Модуль числа

:

|

| √(

)

(

)

√

.

Ответ: 1)

; 2)

√ ; 3)

√

; 4)

√

; 5)

;

6)

; 7)

; 8)

; 9)

; 10)

√

.

Задание 2.5. Найти модуль комплексных чисел:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

33

7)

;

8)

;

(

)

9)

√

√ ;

10)

.

2.6. Аргумент комплексного числа

Пример 2.6. Найти аргумент комплексных чисел:

1)

;

2)

√

;

3)

√

;

4)

√ ;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

Решение.

1) Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) (рис. 2.9).

O

x

Рис. 2.9. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

во II четверти:

.

2) Числу

√ в комплексной плоскости соответствует точ-

ка (

√ ) (рис. 2.10).

y

O

x

√

Рис. 2.10. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в III четверти:

34

3) Числу

√

в комплексной плоскости соответствует точка

(√

) (рис.

2.11).

y

O

√

x

Рис. 2.11. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа,

учитывая, что точка

лежит

в I четверти:

√

.

√

4) Числу

√

в комплексной плоскости соответствует точ-

ка (

√ ) (рис. 2.12).

y

O

x

√

Рис. 2.12. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в IV четверти:

√

√

.

5)

Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) (рис. 2.13).

y

O

x

Рис. 2.13. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

на отрицательной части оси

:

.

6) Числу

в комплексной плоскости соответствует

точка

(

) (рис. 2.14).

y

O

x

Рис. 2.14. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

на положительной части оси

:

.

7) Числу

в

комплексной плоскости соответствует

точка

(

) (рис. 2.15).

O

x

Рис. 2.15. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

на положительной части оси

:

.

8)

Числу

в

комплексной

плоскости соответствует

точка

(

) (рис. 2.16).

y

O

x

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка лежит

на отрицательной части оси

:

.

9) Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) (рис. 2.17).

O

x

Рис. 2.17. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в I четверти:

.

10) Числу

в комплексной плоскости соответствует точка

(

) (рис. 2.18).

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в III четверти:

.

Ответ: 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

;

.

6)

; 7)

; 8)

; 9)

; 10)

37

O

x

Задание 2.6. Найти аргумент комплексных чисел:

√

;

1)

;

2)

;

3)

√

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

форме:

√

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

√

√ ;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

Решение.

1) Найдѐм модуль комплексного числа

√

:

| |

√(

)

√

( √ )

.

Числу

√ в комплексной плоскости соответствует точка

(

√ ) (рис. 2.19).

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в III четверти:

√

.

√