554

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найдѐм модуль числа

в координатной плоскости соответствует точка

) (рис. 2.47).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.01.2024

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

2.10. Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел

Пример 2.10. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

;

Решение.

Выразим

, учитывая, что √

√

Найдѐм корни квадратного уравнения, учитывая, что √

√

Ответ: 1)

;

√

Задание 2.10. Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

1) ; 2) .

Часть II. Второй уровень сложности

2.11. Произведение и частное комплексных чисел

в тригонометрической форме

Пример 2.11. Найти произведение и частное двух комплексных чи-

сел в тригонометрической форме:

√

;

√

Решение.

1) Представим каждое число в тригонометрической форме.

Найдѐм модуль первого числа

√

√( √

)

| | √

( )

√ .

Первому числу

√

в координатной плоскости соответ-

ствует точка

( √

) (рис. 2.39).

√

Рис. 2.39. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент первого числа,

учитывая, что точка

лежит в III

четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма первого числа

√

(

)

(

)).

Найдѐм модуль второго числа

| |

√

√(

)

√ .

Второму числу

координатной плоскости

соответ-

ствует точка

(

) (рис. 2.40).

O x

Рис. 2.40. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент второго числа	, учитывая, что точка
лежит во II четверти:
		.
		.

Тогда тригонометрическая форма второго числа		:

√ (	).
√ (	).

Найдѐм произведение чисел, учитывая, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножают, а аргументы складывают:

√

√ ( (

)

(

))

√ (

Найдѐм частное чисел, учитывая, что при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делят, а аргументы вычитают:

√

(

)

(

))

√ (

(

)

√

(

))

√ (

(

)

(

))


√ (				).
√ (				).
	2) Представим каждое число в тригонометрической форме.
	Найдѐм модуль первого числа					:
\|		\|
\|		\|	√		√	.
	Первому		числу		в координатной плоскости соответствует
точка (		) (рис. 2.41).

Рис. 2.41. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент первого числа,

учитывая,

что точка

лежит на

положительной части оси

Тогда тригонометрическая форма первого числа

(

Найдѐм модуль второго числа

| |

√

√(

)

√ .

Второму числу

в координатной плоскости соответству-

ет точка

(

) (рис. 2.42).

O	x
Рис. 2.42. Геометрическое представление комплексного числа
Найдѐм аргумент второго числа, учитывая, что точка		лежит во II

четверти:

Тогда тригонометрическая форма второго числа

√

(

Найдѐм произведение чисел:

√ (

(

)

(

))

√

(

)

√

(

)

(

))

√

(

)

(

)).

Найдѐм частное чисел:

(

)

(

))

√ (

(

)

√

(

)).

3) Представим каждое число в тригонометрической форме.

Найдѐм модуль первого числа

√

Первому числу

в координатной плоскости соответствует точ-

ка

(

) (рис. 2.43).

Рис. 2.43. Геометрическое представление комплексного числа

Найдѐм аргумент первого числа, учитывая, что точка

лежит на

положительной части оси

Тогда тригонометрическая форма первого числа

(

Найдѐм модуль второго числа

√

√(√

)

(

)

√

Второму числу

√

в координатной плоскости соответствует

точка

(√

) (рис. 2.44).

Найдѐм аргумент второго числа, учитывая, что точка

лежит в IV

четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма второго числа

√

(

)

(

)).

√

O	x

Рис. 2.44. Геометрическое представление комплексного числа																						√
	Найдѐм произведение чисел:
						(	(	(					))		(		(			)))
						(	(	(					))		(		(			)))
(		(			)		(		)).
(		(			)		(		)).
	Найдѐм частное чисел:
				(		(	(				))			(	(			)))	(								).
				(		(	(				))			(	(			)))	(								).
	Ответ:

							(								),		√ (							).
1)						√
1)						√

2)						√ (		(				)			(		)),				√ (		(			)
2)						√ (		(				)			(		)),				√ (		(			)
(			)).			(	(			)				(		)),			(						).
(			)).
3)
3)

Задание 2.11. Найти произведение и частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

1)		,	√	;	2)	;

3)	,		√ .

2.12. Возведение комплексного числа в степень Пример 2.12. Выполнить возведение комплексного числа в степень

по формуле Муавра: 1) (		) ;
по формуле Муавра: 1) (		) ;	2) (	√ ) .
	Решение.
	1) Представим комплексное число					тригонометрической
форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.
	Найдѐм модуль числа		:

	\| \| √	√(	)		√ .
	Числу	в координатной плоскости соответствует точка
(	) (рис. 2.45).

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка	лежит
во II четверти:
55

O x

Рис. 2.45. Геометрическое представление комплексного числа

Тогда тригонометрическая форма числа		:

√ (	).
√ (	).

Выполним возведение в степень по формуле Муавра:

(

)

( √

) (

(

)

(

))

√ (

(

)

(

))

√ (

(

)

√

(

))

√ (

)

√ (

√ )

2) Представим комплексное число

√

в тригонометриче-

ской форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

Найдѐм модуль числа

√

| |

√

(

√ )

Числу

√

в координатной плоскости соответствует точка

(

√ ) (рис. 2.46).

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка

лежит

в IV четверти:

√√.


Тогда тригонометрическая форма числа					√ :
(	(	)	(	)).

Выполним возведение в степень по формуле Муавра:

(	√	)	(	(			)			(	))

(	(		)	(		))			(	(			)

(			))	(	(			)		(		))

					56

√

Рис. 2.46. Геометрическое представление комплексного числа

√

(

√ )

√ .

Ответ: 1)

; 2)

√ .

Задание 2.12. Выполнить возведение комплексного числа в степень

по формуле Муавра:

1) (

) ;

2) ( √

) .

2.13. Извлечение корня из комплексного числа Пример 2.13. Найти все значения корня из комплексных чисел:

3) √

√ ;

2) √ ;

√ .

Решение.

Для извлечения корня из комплексного числа

представим

его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

		O	x
Рис. 2.47. Геометрическое представление комплексного числа
Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка				лежит
на отрицательной части оси	:	.
Тогда тригонометрическая форма числа			:
		57

( ).

Выполним извлечение корня:

√√ (

Распишем все значения корня. При : √ (

при : √ (

√√ ;

при

√

(

))

√

( √

√ )

при

√

(

))

(√

√ )

√

)

̅̅̅̅̅.

)

(√

√

)

√

;

√

)

( √

√

)

√

)

(

)

√

;

)

√

(

)

√

Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют собой точки:

(

√

) ,

(

√

(

√

(

√

Эти точки лежат на окружности радиуса √

и являются вершинами

квадрата (рис. 2.48).

√

Рис. 2.48. Все значения √ .
2) Для извлечения корня из комплексного числа	представим

его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

	Найдѐм модуль числа		:

	\| \| √		√	.
	Числу	в координатной		плоскости соответствует точка
(	) (рис. 2.49).
			58

																		O					x
	Рис. 2.49. Геометрическое представление комплексного числа
	Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка																												лежит
на положительной части оси																:					.
на положительной части оси																:					.
	Тогда тригонометрическая форма числа																													:
		(												).
		(												).
	Выполним извлечение корня:
																											̅̅̅̅̅.

	√			√ (																		)
	√			√ (																		)
	Распишем все значения корня.

	При			:						√		(													);
	При			:						√		(													);

	при			:					√			(													)			√		(								)
	при			:					√			(													)			√		(								)

√		;

	при			:					√			(			(									);			)						(	(			)
	при			:					√			(												);

	при			:							√																					√
	при			:							√																					√

		(		))				√				(				(				)						(					));
		(		))				√				(				(				)						(					));

	при			:							√				(												)					√	(	(			)
	при			:							√				(												)					√	(	(			)

		(		))				√				(				(				)						(					)).
		(		))				√				(				(				)						(					)).
	Найденные значения корня в комплексной плоскости представляют
собой точки:

			(√					√									),			(√										√					),
			(√					√									),			(√										√					),

(√					√								),				(√		(							) √							(			)),
(√					√								),				(√		(							) √							(			)),

(√		(				)	√								(			)).
(√		(				)	√								(			)).

	Эти точки лежат на окружности радиуса √																													и являются вершинами
правильного пятиугольника (рис. 2.50).
																			59

√

Рис. 2.50. Все значения √
3) Для извлечения корня из комплексного числа	√ пред-

ставим его в тригонометрической форме. Для этого найдѐм модуль и аргумент числа.

Найдѐм модуль числа

√

| | √

√( )

( √ )

√ .

Числу

√

в координатной плоскости соответствует точка

(

√ ) (рис. 2.51).

√

Рис. 2.51. Геометрическое представление комплексного числа

√

Найдѐм аргумент комплексного числа, учитывая, что точка лежит

в III четверти:

√

Тогда тригонометрическая форма числа

√

√ (

(

)

(

)).

Выполним извлечение корня:

̅̅̅̅̅.

√

(

)

√

Распишем все значения корня.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.01.2024384.56 Кб755.pdf
#
09.01.20241.59 Mб5550.pdf
#
09.01.20241.59 Mб7551.pdf
#
09.01.20241.6 Mб26552.pdf
#
09.01.20241.6 Mб6553.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4554.pdf
#
09.01.20241.6 Mб4555.pdf
#
09.01.20241.61 Mб4556.pdf
#
09.01.20241.61 Mб3557.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0558.pdf
#
09.01.20241.62 Mб0559.pdf