книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
|
|
|
|
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП |
|
|
|
291 |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д остаточно |
доказать, |
что |
Н — подгруппа |
|||||||||||
группы G и каж ды й левы й см еж ны й класс по этой подгруппе является |
|||||||||||||||
одновременно и правы м см еж ны м классом . |
|
|
|
|
|
||||||||||
У бедимся, во-первы х, что Н — подгруппа группы G. Д л я этого сле |
|||||||||||||||
дует доказать, |
что если |
а £ |
Н и |
b £ |
Н , то ab £ |
Н , а такж е |
что если |
||||||||
a Е Н , то и а~ 1 |
Е Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П усть |
a |
Е |
Н |
и b |
Е |
Н . |
Т ак |
как |
/ — гом ом орф изм , то |
f |
(ab) = |
||||
= f{a)f(b) = / ( е ) / ( е ) . |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|||||||
Но / |
(е) играет роль единицы в группе G (см. теорему 9.4). П оэтому |
||||||||||||||
/ ( е ) / (е) |
|
= / (е), |
т. е. / |
|
(аЬ) |
= / |
(е). С ледовательно, |
ab Е Н . |
|
|
|||||
Д алее |
пусть |
а |
Е Н, |
т. е. / |
(а) |
= / |
(е). Тогда, |
если |
а - 1 — обратны й |
||||||
элемент д л я а, то а а _ 1 |
= е, т. е. а а _ 1 |
Е Н . Т ак как / — гом ом орф изм , |
|||||||||||||
то / ( е ) |
= |
/ ( а а - 1 ) = |
/ |
( а ) / ( а - 1 ) = |
f ( e ) f ( a ~ 1) |
= |
/ (а - Д |
П оэто |
|||||||
му / ( а - 1 ) = |
/ |
(е) и, следовательно, а - 1 б Я . |
|
|
|
|
|
||||||||
Д окаж ем |
теперь, что каж ды й |
левы й см еж ны й |
класс явл яется од |
||||||||||||
новременно и правы м см еж ны м классом .
П усть а — произвольны й элемент группы G. Д окаж ем , что м нож е ство А элементов группы G, отображ аю щ ихся при гом ом орф изм е / в
элемент / (а ), есть одновременно левы й и правы й см еж ны е классы а Н
и Н а . Этим и будет заверш ено доказательство теоремы . |
|
|
|||||||||||||
П усть а1 |
Е Н. Рассм отрим уравнение 3) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ах |
= |
а '. |
|
|
|
|
|
(9.9) |
|
Т ак как |
/ — гом ом орф изм |
и |
/ |
(а') = |
/ ( а ) , то из этого уравнения |
||||||||||
получаем f |
(ах) |
= |
f (a) f |
( х ) |
= |
f |
(a') |
= |
/ |
(а), |
т. е. / |
(ж) = |
/ ( е ) . |
||
П оэтому ж Е Н . Но тогда, |
согласно |
(9.9), |
а' |
= |
аж, т. е. а ' |
Е а Н . |
|
||||||||
О бращ аясь |
далее к уравнению |
жа = |
а ' |
|
и проводя |
аналогичны е |
|||||||||
рассуж дения, |
мы |
убедимся, что ж Е Н . |
Но тогда а' = |
жа, т. е. а' Е |
|||||||||||
Е Н а . Таким образом, Д = |
а Н |
= |
Н а . Теорема доказана. |
|
|||||||||||
Т е о р е м а |
9 .7 |
|
(теорема |
о |
гом ом орф изм ах |
групп). |
П уст ь |
/ — |
|||||||
гом ом орф изм группы G на G и Н |
— т от норм альны й делит ель груп |
||||||||||||||
пы G, элем ен т а м которого соот вет ст вует при гом ом орф изм е / |
еди |
||||||||||||||
ница группы G 4) . |
Тогда группа G и ф акт ор-группа G / Н |
изоморфны . |
|||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Установим взаим но однозначное соответствие |
|||||||||||||||
м еж ду элементами группы G и см еж ны м и классам и по норм альном у |
|||||||||||||||
делителю Н : элементу а группы G поставим в соответствие тот см еж |
|||||||||||||||
ный класс, которы й с помощ ью / |
отображ ается в а. О чевидно, что это |
||||||||||||||
3)в силу следствия 2 из теоремы 9.3 это уравнение разрешимо. Решением будет элемент х = а~ 1 а' .
4)По теореме 9.4 G представляет собой группу.
19
292 |
ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП |
|
соответствие |
взаим но однозначно, ибо, |
согласно свойству 3°) см еж |
ны х классов |
(см. п. 4 этого п ар а гр аф а ), |
эти классы не пересекаю тся. |
Если определить ум нож ение этих классов как подм нож еств группы G
и воспользоваться утверж дением , доказанны м в конце преды дущ его пункта, то легко видеть, что установленное только что взаим но одно
значное соответствие есть изом орф изм . Но классы см еж ности и есть элем енты ф актор -груп п ы . Теорема доказана.
§2. Группы преобразован и й
Вэтом п ар агр аф е изучаю тся группы невы рож денны х линейны х
преобразований линейного, |
и в частности евклидова, пространства. |
|
1. Н евы р ож ден н ы е |
линейны е |
п реобразован и я . В п. 1 § 1 |
гл. 5 бы ло введено понятие линейного |
оператора. Н апом ним, что ли |
|
нейны м оператором А назы валось такое отображ ение линейного про стран ства V в линейное пространство W , при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.
М ы будем рассм атри вать так назы ваем ы е невы рож денны е л и н е й ные операторы , отображ аю щ ие данное конечном ерное линейное про
странство V |
в это ж е пространство. П ри этом линейны й оператор А |
||||
назы вается невы рож денны м , если det А / |
0 5) . |
|
|||
О тм етим |
следую щ ее важ ное свойст во |
невы рож денны х операт о |
|||
ров: каж ды й |
т акой |
оператор от ображ ает |
прост ранст во V |
на себя |
|
взаим но однозначно. |
если А — невы рож денны й |
|
|
||
И ны ми словами, |
операт ор, то |
каж до |
|||
м у элем ен т у х Е V |
соот вет ст вует т олько |
один элем ен т |
у Е V , |
||
кот орый м ож ет быть найден по ф ормуле
|
|
У |
= А х, |
(9.10) |
|
и если у — лю бой ф иксированны й элем ен т прост ранст ва V , то сущ е |
|||||
ст вует |
т олько один элем ен т х |
т акой , чт о у = А х. |
|
||
Д л я |
доказательства второй |
части |
сф орм улированного |
утверж де |
|
ния обратим ся к |
м атричной записи |
действия линейного |
оператора. |
||
И так, если А = |
(а^) — м атри ц а |
оператора А в данном базисе и эле |
|||
м енты х и у имею т соответственно координаты ж1, ... , х п и у 1, ... , у п ,
5) Напомним, что det А был введен в п. 2 § 2 гл. 5 как определитель матрицы линейного оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение det А
не зависит от выбора базиса.
§ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ |
293 |
то, согласно ф орм уле (5.14) (см. п. 1 § 2 гл. 5), соотнош ение (9.10) пе
репиш ется в виде
п |
|
|
|
У> = £ |
з = 1, 2, |
п , |
(9.11) |
к= 1
ипоэтому координаты х к мож но рассм атри вать как неизвестны е при
задан н ы х координатах у 3. Т ак как оператор А невы рож денны й, т. е. det А / 0, система уравнений (9.11) имеет единственное реш ение д л я
неизвестны х х к . Это и означает, что д л я каж дого ф иксированного эле мента у G V сущ ествует только один элемент х такой, что у = Ах.
И так, р езульт а т дейст вия невы рож денного линейного оператора м ож но рассм ат риват ь как от ображ ение линейного прост ранст ва V
на себя.
П оэтом у при заданном невы рож денном операторе м ы м о ж ем го ворит ь о невы рож денном ли н ей н о м преобразовании прост ранст ва V ,
и л и , короче, о ли н ей н о м преобразовании прост ранст ва V .
2. Группа линейных преобразований. П усть V — п -мерное ли
нейное пространство |
с элементам и х, у, z, . . . и |
GL(n) — м нож ество |
всех невы рож денны х |
линейны х преобразований |
этого пространства. |
О пределим в GL (п ) закон композиции, которы й в дальнейш ем бу |
||
дем н азы вать ум нож ением . М ы определим умнож ение линейны х пре
образований из GL (п ) так ж е, как бы ло |
определено в п. 2 |
§ 1 |
гл. 5 |
|
умнож ение линейны х операторов. |
|
|
|
|
Именно, произведением А В ли н е й н ы х |
преобразований А |
и |
В из |
|
м нож ест ва GL (п ) м ы назовем ли н ей н ы й операт ор, дейст вую щ ий по |
||||
правилу |
(АВ)х = А(Вх). |
|
(9.12) |
|
|
|
|||
О тметим, что, вообщ е говоря, А В ф ВА . |
|
|
||
Д л я того чтобы |
указанное произведение действительно |
бы ло за |
||
коном композиции |
(см. п. 1 § 1 этой главы ), достаточно доказать, что |
|||
преобразование А В явл яется невы рож денны м , а это следует из то
го, что м атри ц а линейного |
преобразования АВ равн а произведению |
|
м атриц преобразований А и В, а следовательно, det |
(АВ) = det А х |
|
х det В ф 0, ибо det А / |
О н det В / 0. |
|
Д окаж ем теперь следую щ ую теорему. |
|
|
Теорема 9.8. М нож ест во GL (п ) невы рож денны х ли н е й н ы х пре |
||
образований линейного п -м ерного прост ранст ва V |
с введенной выше |
|
операцией ум н о ж ен и я предст авляет собой группу (назы ваем ую груп пой ли н е й н ы х преобразований линейного прост ранст ва V ).
Д о к а з а т е л ь с т в о . П роверим требования 1°), 2°), 3°) определе ния 2 группы (см. п. 2 § 1 этой главы ).
294 |
ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП |
|
1°) |
Ассоциат ивност ь ум нож ения, т. е. равенство |
|
|
А(ВС) |
= (АВ)С |
справедливо, поскольку, согласно |
(6.12), произведение линейны х пре |
|
образований заклю чается в их последовательном действии, и поэто |
||
му линейны е преобразования А(ВС) и (А В ) С совпадаю т с линейны м преобразованием А В С и, следовательно, тож дественны .
2°) Сущ ест вование единицы. О бозначим символом I тож дествен
ное преобразование. |
Это |
преобразование невы рож денное, |
так как |
|
det 1 = 1 . О чевидно, д л я |
лю бого преобразования А |
из G L {n ) спра |
||
ведливо равенство A I |
= IA = А. |
|
|
|
С ледовательно, линейное преобразование I играет |
роль |
единицы . |
||
3°) Сущ ест вование обратного элемента. П усть А — лю бое ф и кси
рованное невы рож денное линейное преобразование. О братим ся к коор динатной записи (9.11) этого преобразования. Т ак как det А ф 0, то из системы (9.11) мож но по заданном у у (по заданны м координатам у3)
единственны м образом определить х (координаты х к). С ледовательно, определено обратное преобразование А - 1 , которое, очевидно, будет
линейны м |
(это следует из (9.11)); кроме того, по самому определению |
||
А -1 А = |
I. П оэтом у линейны й оператор А -1 |
играет роль обратного |
|
элемента д л я А. |
|
|
|
И так, |
д л я операции ум нож ения элементов |
из |
G L (п ) вы полнены |
требования 1°), 2°), 3°) определения 2 группы . |
П оэтом у G L (n ) — |
||
группа. Т еорема доказана. |
|
|
|
3.Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы
группы GL ( п) . В этом и дальнейш их пунктах этого п ар а гр аф а мы будем рассм атри вать группу G L (п ) в n -мерном евклидовом простран стве V .
Введем понятие сходимости в группе G L (п ).
Определение. П оследовательность элементов { А Д из G L (п ) н а зы вается сходящейся к элементу А Е G L (п ) , если д л я лю бого х из V
последовательность {А пх} сходится к Ах 6) . |
|
|
|
|
||
П онятие сходимости в G L (п ) мы используем ниж е при |
введении |
|||||
так назы ваем ы х компактных групп. |
|
(п ). |
|
|||
Р ассм атри ваю т следую щ ие типы подгрупп группы G L |
|
|||||
1°) Конечные подгруппы, т. е. подгруппы , |
содерж ащ ие |
конечное |
||||
число элементов. |
|
|
|
|
|
|
6) |
Последовательность { А пх } |
представляет |
собой последовательность |
точек |
||
пространства V. Поэтому сходимость |
последовательности { А п х } |
понимается |
в |
|||
обычном смысле. |
|
|
|
|
|
|
§ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ |
295 |
П римером конечной подгруппы м ож ет служ ить |
подгруппа отр а |
ж ений относительно н ач ал а координат, содерж ащ ая |
д в а элемента — |
тож дественное преобразование и отраж ение относительно н ач ал а (см. пример 7 п. 2 § 1 этой главы ).
2°) Д искрет н ы е подгруппы , т. е. подгруппы , содерж ащ ие счетное число элементов.
П римером такой подгруппы м ож ет служ ить подгруппа поворотов
плоскости около н ач ал а координат на углы |
к = О, =Ы, ± 2 , ... , |
где ер— угол, несоизмеримы й с 7. |
|
3°) Н епреры вны е подгруппы , т. е. подгруппы , содерж ащ ие более чем счетное число элементов.
П одгруппа всех поворотов трехм ерного п ространства вокруг ф и к сированной оси представляет собой пример непреры вной подгруппы .
С реди непреры вны х подгрупп группы GL (п ) вы деляю тся так н а зы ваем ы е ком пакт ны е подгруппы , т. е. подгруппы , у которы х из лю бого бесконечного м нож ества ее элем ентов мож но вы делить последо вательность, сходящ ую ся к элем енту этой подгруппы .
4.Группа ортогональных преобразований. В группе GL(n)
вы деляется специальная подгруппа так назы ваем ы х орт огональны х преобразований. Эти преобразования, рассм атриваем ы е как отдельное м нож ество, образую т группу, назы ваем ую ортогональной группой.
Введем понятие ортогональны х преобразований .
Н апомним, что мы рассм атриваем невы рож денны е линейны е пре
образования. П онятие |
такого преобразования равнозначно поня |
|
тию |
невы рож денного |
оператора, т. е. оператора А, д л я которого |
det |
А / 0. |
|
Н апомним теперь введенное в § 9 гл. 5 понятие ортогонального опе
ратора, действую щ его |
в вещ ественном |
евклидовом пространстве V . |
|
Именно, линейны й |
оператор Р мы |
назвали ортогональны м , если |
|
д л я лю бы х х и у из У справедливо соотнош ение |
|
||
|
(Рх, Ру) = (х, у). |
(9.13) |
|
Р езультат действия |
ортогонального |
оператора Р будем |
н азы вать |
орт огональны м преобразованием Р. |
|
|
|
В теореме 5.36 бы ло доказано, что оператор Р явл яется ортогональ ным тогда и только тогда, когда сущ ествует обратны й оператор Р _ 1 и вы полняется равенство
р - 1 = |
(9.14) |
В этом равенстве Р* — оператор, сопряж енны й к Р.
296 |
ГЛ. 9. |
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП |
Таким |
образом, если |
преобразование Р явл яется ортогональны м , |
то у этого преобразования есть обратное Р - 1. О тсю да следует, что ка ж дое ортогональное преобразование являет ся невырож денным. Д ей ствительно, поскольку Р Р _ 1 = I, где I — тож дественное преобразова ние, то
det Р • det Р - 1 = det 1 = 1,
т. е. det Р / 0. С ледовательно, ортогональное преобразование Р невы рож денное.
О тм етим следую щ ее важ ное свойство ортогональны х преобразова
ний.
Т еорем а 9.9. М нож ест во всех ортогональных преобразований ев клидова пространства V с обычной операцией ум нож ения линейных преобразований образует группу, называемую ортогональной группой и обозначаемую символом О (п).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д остаточно доказать, что произведение ор
тогональны х преобразований представляет собой ортогональное пре образование. С ущ ествование обратного преобразования (обратного
элемента) д л я данного ортогонального преобразования доказано в те ореме 5.36 (см. такж е только что сделанное зам ечание).
И так, пусть P i и Р 2 — ортогональны е преобразования. Рассм отрим
произведение Р 1 Р 2 . С огласно теореме |
5.36 |
нам |
достаточно доказать |
соотнош ение |
|
|
|
( Р 1Р 2) ( Р 1Р 2)* |
= |
I. |
(9.15) |
В п. 1 § 5 гл. 5 (см. свойство 5°) сопряж енны х операторов) мы уста
новили, что ( P i P 2)* = Р 2 Р 1 |
. И спользуя это |
соотнош ение и ортого |
|||
нальность преобразований P i |
и Р 2 , получим |
|
|
||
(Р1 Р 2Х Р 1 Р 2Г = |
(PIP 2)(P ;P D |
= |
|
|
|
|
|
= р д р 2р ; ) р ^ = Р 1 П Д = P I P 1 |
= I. |
||
Таким образом , соотнош ение (9.15) доказано. Т еорема доказана. |
|
||||
З а м е ч а н и е |
1. О чевидно, |
ортогон альн ая |
группа явл яется |
под |
|
группой группы G L (п ) . |
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
2. Значение |
определителя |
det Р ортогонального |
||
преобразования Р удовлетворяет соотнош ению |
|
|
|||
|
(det |
Р ) 2 = 1. |
|
(9.16) |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
det Р = ± 1. |
(9.17) |
§ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ |
297 |
Д л я доказательства (9.16) зам етим , что д л я м атрицы Р преобразо
вания Р справедливо соотнош ение |
|
|||
|
|
Р Р ' |
= / , |
(9.18) |
где Р ' — транспонированная м атрица, полученная из Р |
перестановкой |
|||
строк и столбцов, а / — единичная м атрица. |
|
|||
Т ак как det Р = det Р 1 |
(при перестановке строк и столбцов опре |
|||
делитель не м еняется) и det / |
= |
1, то из соотнош ения |
(9.18) следует, |
|
что (det Р ) 2 = 1, т. е. det Р |
= |
± 1. П оскольку, по определению , det Р |
||
вводится как определитель |
м атрицы Р в лю бом базисе, то соотнош е |
|||
ния (9.16) и (9.17) доказаны . |
|
|
|
|
С оотнош ение (9.17) д л я |
определителя ортогонального преобразо |
|||
вания служ ит основой д л я разделения всех таких преобразований на
д в а класса. |
|
|
|
|
|
|
В первы й |
класс |
мы отнесем |
все ортогональны е |
преобразования, |
||
д л я которы х |
det Р |
= + 1. Эти |
преобразования в дальнейш ем |
будем |
||
н азы вать собст венны м и. |
|
|
|
|
||
Во второй |
класс |
отнесем |
все ортогональны е преобразования, д л я |
|||
которы х det Р = —1. Такие |
преобразования будем |
н азы вать |
несоб |
|||
ст венн ы м и .
Множ ество всех собственны х ортогональны х преобразований об разует группу, назы ваем ую собст венной орт огональной группой. Эта
группа обозначается символом S O (п ).
М ож но доказать, что к аж д ая группа S O (п ) ком пактна.
5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортого нальной группы. В этом пункте мы не будем стрем иться к полноте излож ения. Н а отдельны х прим ерах мы постараем ся вы яснить хар ак теристики некоторы х подгрупп ортогональной группы .
О тметим, что конечны е и дискретны е подгруппы группы О (3) име
ют важ ное значение в кристаллограф ии . |
|
|||
1°) |
Рассм отрим |
двумерную ортогональную группу 0 ( 2 ) . |
В |
|
этой группе |
мож но |
вы делить дискретную подгруппу поворотов |
на |
|
угол |
к = |
О, =Ь 1, |
=Ь 2, . .. |
|
О бозначим буквой а элемент этой подгруппы , отвечаю щ ий значе
нию |
к = |
+ 1. Тогда, очевидно, элем ент а&, отвечаю щ ий |
повороту на |
|||
угол |
к(р |
при к > 0 равен а/, = |
а • а . . . а . Это |
соотнош ение мож но |
со- |
|
|
|
|
к р аз |
|
|
|
кращ енно записать в следую щ ей ф орм е: |
|
|
|
|||
|
|
ак = а к , к = 1, 2, . . . |
|
|
|
|
Если |
обозначить символом |
а ~ 1 элемент, |
обратны й |
элементу |
а |
|
(а - 1 — элемент, отвечаю щ ий повороту на угол —у?), и |
единицу рас- |
|||||
298 |
ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ |
ГРУПП |
|
||||
см атриваем ой |
подгруппы |
обозначить ао, |
то, |
очевидно, |
лю бой эле |
||
мент ctk при |
отрицательном , полож ительном |
и нулевом |
значении к |
||||
м ож но записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
а к |
= |
ак , к = |
0, ± 1 , |
± 2 , . . . |
(9.19) |
|
Группы , элем енты |
ak |
которы х |
м огут |
бы ть |
представлены в виде |
||
(9.19), назы ваю тся |
цикли ческ и м и . |
|||
О чевидно, что |
ц иклические группы я в ля ю т с я дискрет ны м и. |
|||
О тм етим д в а типа циклических подгрупп поворотов: |
||||
1) если ip ф 27ф/д, где р и q — целы е числа (т. е. угол несоизмерим |
||||
с я ), то все элем енты |
ak различны . |
|||
2) если р = 27гр/щ |
где р и д — взаим но просты е числа, то справед |
|||
ливо соотнош ение ak + q = |
а/., то есть aq = а 0. |
|||
Группы , д л я которы х |
вы полняется последнее соотнош ение, н азы |
|||
ваю тся ц и к ли ч еск и м и |
группам и |
порядка q. |
||
2°) О братим ся |
теперь |
к так |
назы ваем ы м подгруппам зеркальной |
|
сим м ет рии . |
|
|
|
|
К а ж д а я подгруппа зеркальной сим м етрии состоит из двух элемен тов: единица (тож дественное преобразование) и отраж ение либо отно сительно какой-либо плоскости, либо относительно н ач ал а координат.
У бедиться в том, что тож дественное преобразование и отраж ение
образую т группу, весьм а просто —достаточно |
зам етить, что д в а |
по |
|||||||
следовательны х отраж ен и я даю т |
тож дественное преобразование |
(см. |
|||||||
пример 7 и. 2 § 1 этой главы ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ассм отрим , наприм ер, подгруппу Д |
Р } группы О (3), состоящ ую |
||||||||
из единицы I и о траж ен и я Р трехмерного п ространства относитель |
|||||||||
но н ач ал а координат. В ортонорм ированием базисе м атри ц а |
Р этого |
||||||||
|
/ |
|
. - 1 |
0 |
|
0 |
^ |
|
|
преобразования имеет вид Р = |
|
|
0 |
- 1 |
|
0 |
|
|
|
|
V |
0 |
0 |
- |
1 |
/ |
|
|
|
Т ак как определитель det Р |
|
|
является |
||||||
= |
|
—1, то подгруппа {I, Р } |
|||||||
несобственной. В примере 7 и. 2 |
§ 1 этой главы |
отм ечалось, |
что |
под |
|||||
группа {I, Р } и зом орф н а группе |
|
|
вы четов по модулю 2. |
|
|
||||
Д окаж ем следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
|
|
|||
Р ассм ат риваем ая подгруппа {I, Р } |
предст авляет собой норм аль |
||||||||
ны й делит ель группы О (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н ам требуется доказать, что д л я лю бого элем ента а из О (3) спра ведливы соотнош ения
а I = 1а, аР = Р а |
(9.20) |
§ 2. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ |
299 |
(эти соотнош ения показы ваю т, что левы й и правы й |
см еж ны е классы |
подгруппы {I, Р } совпадаю т, что явл яется признаком норм ального де лителя) .
П ервое из соотнош ений |
(9.20) очевидно. |
|
|
|
|
|||||
Д л я доказательства |
второго соотнош ения |
воспользуемся |
следую |
|||||||
щ ими очевидны ми свойствам и отраж ен и я Р : |
|
|
|
|
||||||
|
Р Р |
= I, |
Р а Р |
= |
а, |
а Е О (3). |
|
|
||
У м нож ая |
соотнош ение |
Р а Р |
слева |
на |
Р |
и пользуясь |
равен |
|||
ством Р Р = |
I, получим второе соотнош ение |
(9.20). |
|
|
||||||
Д окаж ем теперь следую щ ее утверж дение. |
|
|
|
|
||||||
П одгруппа |
S O (3) |
собст венны х |
орт огональны х |
преобразований |
||||||
группы О (3) |
изоморф на ф акт ор-группе |
группы |
О (3) |
по норм ально |
||||||
м у делит елю |
{I, Р } . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . С м еж ны й |
класс |
элемента а Е 5 0 ( 3 ) |
по под |
|||||||
группе {I, Р } |
имеет вид {а, Р а } , причем Р а — несобственное преобра |
|||||||||
зование (произведение собственного преобразования а и несобственно го преобразования Р дает несобственное преобразование).
Если |
а' — несобственное преобразование, |
то |
см еж ны й класс {а7, |
||||||||
Р а '} приводится к |
виду |
{а, Р а } , где |
а |
= |
Р а ' — собственное преоб |
||||||
разование |
и Р а = |
Р ( Р а ') |
= ( Р Р ) а ' |
= |
|
а' . |
|
|
|
||
Таким |
образом, |
ф акто р -гр у п п а |
0 ( 3 |
/ {I, Р } ) |
состоит из |
см еж ны х |
|||||
классов |
вида {а, Р а } , |
где а — собственное |
преобразование. |
О чевид |
|||||||
но, что |
соответствие а |
еэ |
{а, Р а } есть |
изом орф изм м еж ду |
группам и |
||||||
S O (3) и О ( 3 ) /{I, Р } . У тверж дение доказано. |
|
|
|||||||||
6. |
|
Г руппа |
Л ор ен ц а . В п. 1 § 4 гл. 8 мы |
ввели понятие псевдоев- |
|||||||
кли дова п ространства Е™р ^ , т. е. линейного пространства, в котором
задано скалярное произведение (х, у), равное невы рож денной симмет ричной билинейной ф орм е А (х, у), полярной знакоперем енной к в ад ратичной ф орм е А (х, х):
|
(х, х ) |
= |
А ( х , |
х ). |
|
(9.21) |
|
В п. 2 § 4 |
гл. 8 бы ло отмечено, |
что |
в |
так |
назы ваем ой |
галилеевой |
|
сист ем е координат квадрат и н тервала |
|
|
|
|
|||
|
s 2 (х) |
= |
(х, |
х) |
|
|
(9.22) |
(так обы чно |
назы вается к вад р ат |
длины |
вектора х с |
координата |
|||
ми (xi, Ж2 , ... , х п )) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
п |
|
|
|
s2(x) = У |
*< - |
У |
4*- |
(9.23) |
||
i = 1 |
i = P + 1 |
300 ГЛ. 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова про
стран ства Е™р ^ .
О п р едел ен и е. Л инейное преобразование Р псевдоевклидова про стран ства Е™р ^ назы вается преобразованием Лоренца, если д л я лю бы х х и у из Е™р ^ справедливо соотнош ение
|
|
(Р х, Р у) = (х, у), |
(9.24) |
|
где |
(х, у ) — скалярное произведение, |
определенное |
соотнош ени |
|
ем |
(9.21). |
|
|
|
|
Р авенство |
(9.24) назы вается условием лоренцовости преобразо |
||
вания. |
|
|
|
|
|
О тметим, |
что при преобразовании |
Л оренца сохраняется к вад р ат |
|
ин тервала s 2 (х), определенны й соотнош ением (9.22) (или |
(9.23)). |
|||
Т ак ж е, как в и. 4 этого п ар агр аф а, м ож но доказать, что определи
тель det Р преобразования |
Л оренца отличен от нуля, и поэтому д л я |
каж дого преобразования Л |
оренца Р сущ ествует обратное преобразо |
вание Р _ 1.
К ром е того, по самому смыслу определения преобразования Л орен ца, произведение таких преобразований дает в результате преобразо вание Л оренца. Таким образом, справедливо следую щ ее утверж дение.
М нож ест во всех преобразований Лоренца псевдоевклидова про странства Е™р ^ с обычной операцией ум нож ения линейных преобра зований (линейных операторов) образует группу, называемую общей
группой Лоренца псевдоевклидова пространства Е™р ^ |
и обозначае |
|||||||||||||
мую символом L (n; р, q). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
М ы |
вы делим |
специальны й |
класс |
псевдоевклидовы х |
пространств |
|||||||||
E (i п |
- 1 |
) (сюДа |
вклю чается |
интересное |
с ф изической точки |
зрения |
||||||||
пространство |
3^). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Группа |
Л оренца |
д л я |
пространств |
п _ ^ обозначается |
че |
|||||||||
рез L (п). |
|
|
|
|
|
бы ло введено понятие длины а (х) |
||||||||
В и. 1 § 4 гл. 8 (ф орм ула |
(8.69)) |
|||||||||||||
вектора х, |
которая вы числяется по ф орм уле |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ст(х) = |
(signs2 ( x ) ) y |s 2 (х)|. |
|
|
|
|
||||
С |
помощ ью |
этой |
ф орм улы |
все ненулевы е векторы |
псевдоевкли |
|||||||||
дова |
п ространства |
разделяю тся |
на |
времениподобные |
(а (х) |
> |
0), |
|||||||
пространственноподобные |
(а (х) |
< |
0) |
и изотропные |
(а (х) |
= |
0). |
|||||||
Б ы ло |
доказано, |
что |
множ ество |
концов |
времениподобны х |
(простран |
||||||||
ственноподобны х, изотропны х) |
векторов, н ач ал а которы х |
совпадаю т |
||||||||||||
с произвольной ф иксированной точкой, образует конус Т |
(конус про |
|||||||||||||
странственноподобны х векторов обозначается буквой S ). |
К онус Т |
по |
||||||||||||