книги / Линейная алгебра.-1

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

151

(А х , х) ^

0.

(5.77)

Если оператор А — полож ительны й и из условия (А х, х)

= 0 сле­

дует, что х = 0 , то А назы вается

полож ит ельно определенны м опе­

ратором.

ственно обозначаю тся символами А ^ 0 и А > 0.

О тм етим следую щ ее простое ут верж дение.

К аж дое собст венное зн ачение полож ит ельного (полож ит ельно

определенного)

оператора неот рицат ельно (п о ло ж и т ельн о ).

Это утверж

дение следует из просты х рассуж дений .

ме п. 4 этого п ар агр аф а, мож но указать такой элем ент х,

||х||

= 1, что

А = (А х, х).

О тсю да и из соотнош ения

(5.77) получаем, что А ^ 0

д л я

полож и ­

тельны х операторов и А > 0

д л я полож ительно определенны х опера­

торов. У тверж дение доказано.

Введем понятие корня т -й

ст епени (т — натуральное число) из

оператора.

О п р едел ен и е. К орнем т -й

ст епени из оператора А

н азы вается

оператор В такой, что В т =

А.

К орень т - й

степени из оператора А обозначается символом А 1/ т .

Е стественно

вы делить какой-либо класс операторов, д л я

которы х

Т еорем а

5.24. П уст ь А — п олож ит ельны й сам осопряж енны й

операт ор, А ^

0. Тогда для любого нат урального т сущ ест вует по­

ло ж и т ельн ы й сам осопряж енны й оператор A 1//m, А 1//ш ^ 0.

152

ГЛ. 5.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ж ение (5.74) самосопряж енного оператора А :

п

А

= Y , ХкРк-

(5.74)

п

в

К /т Р *

(5-78)

к = 1

Согласно (5.70) справедливо соотнош ение

( Р кх,

х) ^

0,

из которого следует полож ительность

операторов

Р к и

п олож итель­

ность оператора В

(см. (5.78)).

И з свойств 1

°) и 2 °) проекторов Р к (см. п. 5 этого п ар агр аф а) вы ­

текает, что B m

=

^ 2 к = 1 А/.Р/,. С равн и вая это вы раж ение д л я В т с

вы раж ением (5.74) д л я А , получим В т

= А . Вы ш е бы ла установлена

полож ительность оператора В . Т еорема доказана.

З а м е ч а н и е 1

. О тм етим без доказательства, что сущ ествует един­

ственны й полож ительны й оператор А 1//т.

З а м е ч а н и е

2 . В ортонорм ированном базисе

{ е к }

собственны х

( \ \ /т

о

. . .

о

\

о

\ \ /т

. . .

о

о

о

. . .

\ ] i m

J

В этом п ар агр аф е

мы изучим вопрос о вы боре такого базиса, в

котором квад р ати ч н ая

ф о р м а (и нвариантная к вад р ати ч н ая ф ун кц и я

6. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

153

Введем понятие так назы ваем ы х эр м и т о вы х

ф орм .

О п р е д е л е н и е . П олуторалинейная ф о р м а В

(х, у)

назы вается эр­

м и т о во й , если д л я лю бы х х н у

справедливо соотнош ение

В (х, у )

= В (х, у ).

(5.79)

В (х,

у) = (А х , у ),

(5.80)

где А — линейны й оператор.

Д окаж ем следую щ ие д в а

утверж дения, в которы х

вы ясняю тся

Т е о р е м а 5 .2 5 . Д л я того чтобы полут оралинейная форма В (х,

у)

я в ля ла с ь эрм ит овой ,

необходимо и дост ат очно, чтобы оператор А в

предст авлении (5.80)

эт ой формы был сам осопряж енны м (А =

А *).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д ействительно, если

А — сам осопряж енны й

оператор, то, используя свойства

скалярного произведения,

получим

Б ( х , у) =

(А х , у)

=

(х,

А у )

= (А у ,

х) = В (у, х).

Таким

образом,

выполнено

соотнош ение

(5.79),

т.

е.

ф о р ­

м а В (х, у) = (А х ,

у)

явл яется эрм итовой.

Если ж е ф о р м а В (х, у)

=

(А х , у) эрм итова, то, опять обращ аясь

к свойствам скалярного произведения, получим равенства

(А х , у) =

Б ( х , у)

=

В (у, х)

= (А у ,

х) =

(х,

А у ).

Таким

образом,

(А х , у)

=

(х, А у ),

т. е. оператор

А

явл яется

са­

м осопряж енны м . Теорема доказана.

Т е о р е м а 5 .2 6 . Д л я того чтобы полут оралинейная форма В (х,

у)

была эрм ит овой , необходимо и дост ат очно, чтобы ф ункция В (х,

х)

154

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

К вадрат ичной

ф ормой, соот вет ст вую щ ей форме В (х, у ), назы ­

к сум м е квадратов.

Т е о р е м а 5 .2 7 .

П уст ь В (х,

у ) — эрм ит ова

ф орма, определенная

на всевозм ож ны х

вект орах х

и у п-м ерноео

евклидова прост ран­

ст ва V . Тогда в эт ом прост ранст ве сущ ест вует т акой орт онорм и-

чт о для любого х, принадлеж ащ его V ,

квадрат ичная форма В (х,

х)

м ож ет быть предст авлена в виде следую щ ей

сум м ы квадрат ов

ко­

ординат £k вект ора х в базисе {е/Д:

п

£ ( х , х) = ^ A

ft|£fc|2.

(5.81)

k = 1

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как ф о р м а В (х, у)

эрм итова, то, соглас­

£ ( х , У)

=

(А х ,

у ).

(5.82)

О братим ся теперь

к теореме

5.21. По

этой теореме

д л я операто­

р а А мож но указать

ортонорм ированны й базис

{ е Д из собственны х

векторов этого оператора. Если

А/, — собственны е значения А , а £*.—

координаты вектора х в базисе {е/Д, так что

п

х =

£

Д е А,

(5.83)

к = 1

то, используя ф орм улу (5.12) и соотнош ение А е/,

= А^е/, 19) , получим

следую щ ее вы раж ение д л я А х :

п

А * =

£

Ajfe&e*;,

(5.84)

к = 1

И з (5.83), (5.84) и ортонорм ированности базиса {е/Д

получим сле­

дую щ ее вы раж ение д л я (А х , х):

п

(А х , х) = £

Аа|Д |2.

§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

155

И з этого вы раж ен и я и из соотнош ения

(5.82) получим

(5.81). Тео­

рем а доказана.

Д окаж ем теперь важ ную теорему об

одновременном

приведении

двух к вад рати чн ы х ф орм к сумме квадратов.

Т еорем а 5 .28. П уст ь А (х, у) и В (х, у) — эрм ит овы формы ,

прост ранст ва V . Д о п ус т и м далее,

чт о для всех

нен улевы х элем ен ­

т ов х из V им еет м ест о неравенст во В (х,

х) > 0.

Тогда в прост ран­

ст ве V

м ож но указат ь базис {е/Д т акой ,

чт о квадрат ичны е формы

А (х, х)

и В (х, х) м о гут

быть предст авлены в следую щ ем виде:

п

А

х >х ) =

Х Т 'А * ! 2’

А 85)

k = 1

п

В ( х , х ) =

£

| 6 | 2,

(5-86)

к = 1

где

Xk — вещ ест венны е чи сла , а

— координат ы

вект ора х в баз?/-

се

{ efe}-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как свойства скалярного произведения и

свойства эрм итовой ф орм ы В (х,

у)

при дополнительном требовании

о том, что В (х, х) > 0 при х /

0, ф орм улирую тся одинаково, мы мо­

ж ем ввести в линейном пространстве V скалярное произведение (х, у)

векторов, полагая

(х >У)

= В { х , у).

(5.87)

н ая ф о р м а А (х, х) будет представлена в виде (5.85).

С другой стороны ,

в лю бом ортонорм ированием

базисе скаляр ­

ное произведение (х, х),

равное, согласно (5.87), В (х,

х), равно сумме

156

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

нош ение

(U x , U y ) =

(х, у ).

(5.88)

В дальнейш ем

соотнош ение

(5.88)

будем

н азы вать условием у н и ­

т арност и оператора.

З а м е ч а н и е

1 . И з

условия

(5.88)

унитарности оператора

следу­

ет,

что д л я лю бого унитарного

оператора U

справедливо равенство

l|U x|| =

||х ||.

О тм етим следую щ ее ут верж дение.

Е сли

А — собст венное

зн ачение

унит арного

оператора

U ,

то

|А|

= I-

Д ействительно, если А — собственное значение U , то сущ ествует та­

кой

элемент е, что ||е||

=

1

и

U e

=

Ае. О тсю да и из

зам ечан и я 1

следую т

соотнош ения |А|

=

||Ае|| =

||U e || =

||е||

= 1 . У тверж дение

доказано.

Д окаж ем следую щ ую теорему.

Т е о р е м а 5 .2 9 . Д л я

того

чтобы ли н ей н ы й оператор U , дейст ву­

ю щ ий в евклидовом прост ранст ве V ,

был ун и т а р н ы м ,

необходимо и

дост ат очно, чтобы было вы полнено соот нош ение

U* = U - 1 .

(5.89)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь .

П усть

оператор

U

щ ей ф орм е 20) :

(U * U x ,

у) =

(х,

у ),

(5.90)

или, иначе, д л я лю бы х х н у вы полняется равенство

( ( I T U -

1)х,

у)

= 0.

(U * U -

1)х =

0.

С ледовательно, U * U = I. С оверш енно аналогично м ож но убедить­

ся, что

U U * =

I.

Таким образом , U и U* — взаим но обратны е операторы , т. е. соот­

нош ение (5.89)

выполнено. Н еобходимость условия теорем ы доказана.

§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

157

при лю бы х х н у

равенства

(U x ,

U y ) = (х, U * U y ) = (х, 1у) = (х, у).

Таким образом, условие

(5.88) унитарности оператора выполнено.

С ледовательно, оператор U

унитарны й. Т еорема доказана.

З а м е ч а н и е 2 . В процессе доказательства теорем ы

установлено,

что условие (5.88) унитарности оператора U и условие

U * U = U U * = I

(5.91)

тора U .

Введем понятие норм ального оператора.

О п р е д е л е н и е

2 . Л инейны й оператор А назы вается н о рм альны м ,

если справедливо соотнош ение

А* А

= А А * .

(5.92)

О бращ аясь к

условию (5.91)

унитарности

оператора и к усло­

Н ам понадобится следую щ ее вспомогательное утверж дение.

Л е м м а . П уст ь А

— норм альны й оператор. Тогда

оператор

А и

оператор А* им ею т

общ ий собст венны й

элем ен т

е

т акой ,

чт о

||е|| = 1 и справедливы соот нош ения А е =

Ае и А *е

=

Ае.

ментов х таких, что А х

— Ах

=

0 .

У бедимся теперь, что если х п ри н ад леж и т R \ , то и А *х принадле­

ж и т R \ . Д ействительно,

если

А х

=

Ах (т. е. х

Е R \ ), то, поскольку

А — норм альны й оператор,

А (А * х ) =

А * (А х )

=

А*(Ах) =

А (А *х).

158

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Р ассм атри вая далее оператор А* как оператор, действую щ ий из R \

в R \ , и используя

вы вод следствия из теорем ы 5.8 о том, что к аж ­

ж д ат ь, что в R \ сущ ествует элемент е

такой, что

||е|| =

1 и справед­

ливы соотнош ения А*е = /ie и А е =

Ае.

И спользуя эти соотнош ения и условие ||е||

=

1 , найдем (А е, е) =

= (Ае, е) =

А||е||2

=

Л, (е, А*е) = (е, це) =

Д||е||2 =

Д.

Т ак как (А е, е)

=

(е, А*е), то, очевидно, А =

Д. Л ем м а доказана.

Д окаж ем теперь следую щ ую теорему.

Т еорем а

5 .30.

П уст ь А — норм альны й

оператор.

Тогда сущ е­

ст вует ортонор м ир ованны й базис {е/Д, сост оящ ий из

собст венны х

элем ент ов операторов А и А*.

ответствую щ ие e i, равны соответственно Ai и Ai.

П усть Vi — ортогональное дополнение элем ента

e i

до

простран ­

ства V . И ны ми словами, V\ — совокупность всех х,

удовлетворяю щ их

условию (х, еД =

0 .

Д окаж ем , что

если х п ри н адлеж и т

ТД,

то

А х

и А *х

принадле­

ж ат V\. Д ействительно, если (х, еД

=

0, то

(А х, е х)

= (х, А *е1)

= (х,

A iei)

=

Ai(x,

е х)

=

0,

т. е. А х G V\. А налогично, если

(х, еД

= 0, то

(А*х, еД

= (х, А еД

= (х, А ^ Д

=

АДх, еД

=

0,

ЧТО А в 2 =

А 2 в 2 , А * в 2 =

А 2 в 2 -

Д алее

мы обозначим

через V2 ортогональное дополнение элемен­

§ 7. УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

159

С л е д с т в и е 2 . У нит арны й оператор им еет полную орт онормиро-

ванную сист ем у собст венны х вект оров.

С ледую щ ая теорем а явл яется обратной д л я теорем ы 5.30.

Т е о р е м а

5 .3 1 . Е сли у дейст вую щ его в п -м ер н о м евклидовом про­

ст ранст ве V

оператора

А

им еет ся п попарно орт огональны х

соб­

ст венн ы х элем ент ов e i,

в 2

, ... ,

е п , то оператор А норм альны й.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

{е/Д — попарно ортогональны е

соб­

ственны е векторы оператора А . Тогда

А е/, = А^е/, и, согласно (5.69),

имеет место следую щ ее представление

оператора А 21) :

п

А * у =

^

А*(у, e k)e k .

(5.93)

k = 1

Д остаточно доказать, что д л я

операторов А и А *, определяем ы х со­

отнош ениями (5.69) и (5.93), справедливо равенство

(х, А *у)

= (А х , у ).

(5.94)

(х, А *у) = У У х , А*(у, e k)e k) =

^

А*(у, e ft)(x , e k ) =

k = 1

k = 1

n

=

X ] Afc(X’ e k )(e k, У) = (A x , y ).

k = 1

РУ А .

Ч тобы заверш ить доказательство

теорем ы , нуж но убедиться в

справедливости равенства (5.92): А* А

= А А * .