Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3228 29 30 31 32 > Следующая >>>


4.	МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР			271
ния [a[bd]] векторов а, b и d
[a[bd]] =		b(ad) — d(ab).		(8.62)
И спользуя соотнош ение	(8.60) и ф орм улу		(8.43) д л я скалярного про
изведения векторов, перепиш ем		(8.62) следую щ им образом:
dklakcim nbm d n =		Ьдыак< -	<?дк1акЪ1.	(8.63)

С помощ ью (8.63) мы получим ф орм улу, связы ваю щ ую тензоры сы

и gik, которую в свою очередь используем д л я записи координат двой

ного векторного произведения.

П роведем следую щ ие преобразования в ф орм уле

(8.63). В первом

слагаемом Ьгды акс1

правой части

(8.63)

заменим

Ьг

на

Ьт 5гт 7) и

индекс сум м ирования I заменим на п.

Во втором слагаемом в правой

части

(8.63)

полож им

— dn Sln

индекс

сум м ирования

I заменим

на т . П осле этих преобразований ф орм ула (8.63) прим ет вид

( 4 lClm n)a kbm dn = (g k n S l

gkm 6l ) a kbm dn .

(8.64)

Т ак

как

соотнош ение

(8.64)

справедливо

д л я

лю бы х векторов

а,

и d,

то оно

представляет

собой

тож дество

относительно

координат ак , Ъш и dn этих векторов,

поэтому д л я

лю бы х индек

сов г, к , ш , п имеет место равенство

4 г ст п = 9кп$т

д/апК -

(8-65)

О бозначим

через

z l

координаты

двойного

векторного

произведе

ния

[a[bd]].

Тогда,

согласно (8.63),

z 1

—

clklclkmak brndn . О тсю да и из

(8.65) получаем следую щ ее вы раж ение д л я координат z l двойного век торного произведения М М ] :

	4 = (gknSin - 9kmbh)akbmdn.	(8.66)
Ф орм ула (8 .6 6 ) удобна д л я разли чн ы х прилож ений.
§ 4.	М етри ческ и й тен зор п сев доевк л и дов а пространства
1.	П онятие п сев доевк л и дов а пространства	и м етри ческ о

го тен зор а п сев доевк л и дов а пространства. Рассм отрим п-мерное

7) Соотношение Ьг = ЪгпЬ\п следует из свойств символа Кронекера.

272	ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ
линейное пространство	L, в котором зад ан а невы рож денная симмет
ри чн ая билинейная ф о р м а А (х,		у), полярн ая знакоперем енной к в ад
ратичной ф орм е.		произведением (х, у) векторов х н у
Будем н азы вать скалярны м

значение А (х, у) билинейной ф орм ы . Н аим енование «скалярное про изведение» условно, поскольку в рассм атриваем ом случае не вы полня ется четвертая аксиом а скалярного произведения. И менно, в случае,

когда билинейная ф о р м а А (х,	у)	п олярна знакоперем енной к в ад р а
тичной ф орм е, вы раж ение А (х,	х)	в зависим ости от вы бора х м ож ет

иметь как полож ительное, так и отрицательное значение и обращ ать ся в нуль д л я ненулевы х векторов х. Все ж е мы будем пользоваться

термином «скалярное произведение», так как это общ епринято. С ф орм улируем определение псевдоевклидова пространства.

О п р едел ен и е. П севдоевклидовы м прост ранст вом н азы вается

n -мерное линейное пространство L, в котором задано скалярное произ ведение посредством невы рож денной сим м етричной билинейной ф о р мы А (х, у), полярной знакоперем енной квадрати чн ой ф орм е.

Ч исло п назы вается разм ерност ью псевдоевклидова пространства.

В ы делим в линейном		пространстве L базис	e i, в2, . . ., е п и обо
значим через ( g i j )	м атрицу билинейной ф орм ы А		(х, у) в этом базисе
(напомним, что д ^	= А (щ, е^)). Если х г и у 3 — кон травариантны е ко
ординаты векторов х н у ,		то
		А (х, У) = 9ijX ly 3.	(8.67)

В полной аналогии с рассуж дениям и п. 2 § 2 этой главы д оказы ва


ется,	что gij		представляю т		собой	координаты		тензора	G типа (2 , 0 ).
Э тот тензор			мы будем в дальнейш ем н азы вать					м ет р и ческ и м			т ензо
ром	псевдоевклидова прост ранст ва.
Т ак		как скалярное		произведение (х, у) равно А (х,					у),	то,	соглас
но (8.67), имеем: (х, у)				= д ^ х гу ^ .					(х,	у)
И звестно,			что м атрицу		{gij) билинейной ф орм ы А						м ож но
привести к диагональном у					виду. П ри этом в силу невы рож денности
ф орм ы		А (х,	у) координаты д ^ м етрического тензора после приведе
ния	к	диагональном у		виду	будут	равны	нулю	при i /	j	и единице
или	минус единице при i				= j .	Ч исло р	полож ительны х			и	число q

отрицательны х диагональны х элем ентов не зависит от способа приве

дения к диагональном у		виду, причем, в силу невы рож денности	ф о р
мы А (х, у), р +	q = п.
П риведенны е	рассуж ден и я поясняю т обозначение Е™р ^		дл я

n -мерного псевдоевклидова пространства.

Естественно поставить вопрос об изм ерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.

4. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР	273
В евклидовом пространстве с м етрическим	тензором д ц к вад р ат
длины вектора х с координатам и х г считается	равны м д ц х 1хК Если

определить к вад р ат длины s 2 (х) вектора х с помощ ью соотнош ения

S2 (x)	= QijX'x1 ,		(8.68)
то, очевидно (поскольку ф о р м а	А (х, х) знакоперем енная), что м ож
но указать ненулевы е векторы	с полож ительны м	квад ратом	длины ,
с отрицательны м квадратом длины и с нулевы м		квад ратом	длины .

Поэтому, чтобы получить в качестве м еры длины векторов лиш ь дей ствительны е числа, обы чно за длину вектора приним аю т

(8.69)

В дальнейш ем мы будем использовать следую щ ую терминоло

гию, заим ствованную из специальной теории относительности: мы бу

дем н азы вать ненулевой вектор

врем ени п о д о б ны м , если

д л я

это

го вектора

а (х) >

0 , прост ранст венн оподобн ы м , если

а (х)

0 , и

и зо т р о п н ы м , если

а (х)

= 0 .

С праведливо следую щ ее утверж дение.

М нож ест во концов

всех врем ениподобны х (прост ранст веннопо

добных,

изо т р о п н ы х ) вект оров,

начала кот оры х совпадают

про

и звольной

ф иксированной т очкой М

псевдоевклидова прост ранст ва,

образует

конус.

Д л я

определенности

докаж ем

утверж дение, р ассм атри вая

време-

ниподобные векторы . О чевидно,

достаточно

доказать,

что

если

х —

времениподобны й вектор, то при

лю бом вещ ественном

век

тор Лх такж е времениподобен.

Т ак

как

координаты

вектора

Лх

равны

Ажг, то, согласно

(8 .6 8 ),

s 2 (Ах)

X2 s 2 (х),

т. е.

s g n s 2 (Ax)

s g n s 2

(x). О тсю да и

из

(8.69)

следует, что вектор Лх будет времениподобным .

Д л я случая времениподобны х векторов утверж дение доказано. Р ас су ж д ая аналогично, убедимся в справедливости утверж д ен и я д л я слу ч а я пространственноподобны х и изотропны х векторов.

К онус времениподобны х векторов обозначается часто символом Т (от англ, tim e — врем я), а конус пространственноподобны х векторов — символом S (от англ, space — пространство).

2. Галилеевы координаты . П р еобр азов ан и я Л ор ен ц а 8) . В теории псевдоевклидовы х пространств важ ную роль играю т те систе мы координат, в которы х квадрат инт ервала (так обы чно назы ваю т

8) Гендрик-Антон Лоренц (1853-1928)—нидерландский математик.

18 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

274	ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ

к вад р ат длины вектора s 2 (х)) имеет вид

рп

s 2 (x) = е й 2 -	Е	и 2-	(8.70)
г = 1	г = р+11

По терминологии, заим ствованной из ф изики, такие системы коор

ди н ат н азы ваю тся га ли леевы м и .
П реобразования координат, которы е сохраняю т д л я s 2 (х)			вы р аж е
ние (8.70), н азы ваю тся преобразованиям и Лоренца.
В следую щ ем пункте	мы	рассм отрим вопрос о преобразованиях
Л оренца п ространства	3^,	назы ваем ого прост ранст вом	М инков

ского 9) . Это пространство представляет особый интерес д л я ф изики, ибо явл яется пространством событий специальной теории относитель ности.

О тметим, что обы чно в пространстве М инковского нум ерация ко

ординат вектора начинается с нуля. Таким	образом , согласно (8.70),
к вад р ат s 2 (х) и н тервала в пространстве	записы вается следую
щ им образом:
s2 (x) = (ж0 ) 2 - (ж1 ) 2 - (ж2	) 2 - (ж3)2.	(8.71)

Д л я удобства в ф изике координата ж° отож дествляется с вы р аж е нием с£, где с — скорость света, a t — врем енная переменная; ж1, ж2, ж3

назы ваю тся пространственны м и переменными.

В пространстве М инковского конус Т времениподобны х векторов расп адается на две различны е связны е откры ты е компоненты Т + (ко нус будущ его) и Т ~ (конус прош лого); конус S пространственно по добны х векторов образует связное множ ество.

П оясним структуру связны х компонент Т + и Т ~ . Д л я этого обра тим ся к ф изической интерпретации вектора х с координатам и жг, i =

=0 , 1 , 2 , 3, в пространстве Зу. этот вектор характеризуется ве

личиной A t =	ж °/с и вектором	Д г =	{ж1, ж2, ж3}. Таким образом,
р ассм атри вая х как перемещ ение в			3^, мож но считать, что это пе
ремещ ение характеризуется временны м			A t и пространственны м					Д г
перемещ ениями.
Времениподобны е векторы х		определяю тся условием				s (х)	>	0 . В
этом случае, очевидно, \ A r \ / \ A t \		< с. Если при этом		A	t	> 0	, то дл я
перемещ ения х	получим неравенство 0 < \ A r \ / \ A t \			<	с.	Такое пере

мещ ение х п ри н адлеж и т по определению Т + и м ож ет р ассм атри вать ся как перемещ ение м атериальной частицы «в будущее». Если A t <

9) Герман Минковский (1864-1909) —немецкий м атематик и физик.

4. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

275

< 0, то перемещ ение х п ри н адлеж и т Т ~ и м ож ет рассм атри ваться как перемещ ение частицы «в прош лое» (в ф изике так интерпретируется движ ение античастиц).

О чевидно, Т + и Г " представляю т собой две связны е откры ты е ком поненты конуса Т . П роведенны е рассуж ден и я поясняю т их наим ено


в а н и я - к о н у с будущ его и конус прош лого.
3.	П р еобр азов ан и я Л ор ен ц а пространства		Зу Рассм отрим
в псевдоевклидовом пространстве Е у		галилееву систему координат
с базисом щ . В такой системе координат к вад р ат ин тервала s 2 (х) име
ет вид	(8.71), а м атри ц а (gij) метрического тензора имеет вид

/ 1	0	0	0
0	- 1	0	0	(8.72)
0	0	- 1	0	(8.72)
^ 0	0	0	- 1 )
П ерейдем к новой галилеевой	системе координат			с базисом щ/ и

вы ясним условия, которы м долж н ы удовлетворять коэф ф и ц и ен ты Ь\,

м атрицы В преобразования базисны х векторов. Т ак как

е* b le i (8.73)

и так как м атри ц а (Щ 'д) метрического тензора в базисе щ/ такж е име

ет вид (8.72), то, используя ф орм улы д#у — Ъ\,Ъ3-,дij преобразования координат метрического тензора, получим следую щ ую систему у р ав нений д л я определения коэф ф ициентов Ь\, м атрицы В преобразования базисны х векторов (см. (8.73); при этом индексы г и г ' пробегаю т зн а чения 0, 1, 2 , 3 (см. (8.71)):

№ ) 2 - Е Ьо'Ьо' = г

а = 1 3

° 0 ' °(3'	Е ьо'Щ' = о,			(8.74)
ha ha				(8.74)
	OL— 1
ha ha	при У	=	У , , в ,	1, 2, 3.
ha ha	при i	ф	/?',	1, 2, 3.
	при i	ф	/?',

С оотнош ения (8.74) мож но записать в м атричной ф орм е. Д л я этой цели рассм отрим н аряду с м атрицей В м атрицу В *, которая получает ся из В путем изм енения зн ака у элементов последних трех столбцов и последую щ его транспонирования. О чевидно, что соотнош ения (8.74)

мож но записать в следую щ ей ф орм е:
В * В = J,	(8.75)

18:

276 ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ

где м атри ц а J определяется соотнош ением (8.72) (для сравнения напо мним, что м атри ц а С ортогональны х преобразований евклидова про

стран ства	удовлетворяет соотнош ению					С С	=	/ ,	где	/ — единичная
м атр и ц а).
Т ак как det В* =		— det В , a det		J	=	—1, то из соотнош ения (8.75)
следует, что det В * В		=	det В* det	В	— — (det			В ) 2	= —1, т. е.
			det В	=	± 1 .						(8.76)
О бозначим через L			совокупност ь		всех общ их преобразований Л о
ренца прост ранст ва		М инковского.			И з	этих	общ их преобразований
вы делим	те преобразования, которы е					переводят			каж ды й		вектор из
Т + в вектор, такж е принадлеж ащ ий					Т + . С овокупность таких преоб
разований обы чно назы вается преобразованиям и									Л оренца		прост ран
ст ва	з) и обозначается символом 1 д .
Общ ие преобразования Л оренца, д л я которы х det В										=	+ 1 , обра

зую т класс L + так назы ваем ы х собст венны х преобразований Лоренца.

К ласс L _ несобст венны х преобразований Л оренца характеризуется соотнош ением det В — — 1. П римером такого преобразования м ож ет служ ить отраж ение относительно трех пространственны х осей: ж1 ' —

— _ Щ гЛ — _ ™2			гЛ — _ ~3
----	dj ^ dj	dj	у dj	dj .

П усть В — м атри ц а произвольного несобственного преобразования Л оренца, а Р — м атри ц а только что рассм отренного отраж ения. О че видно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассм отренного отраж ен и я будет собственны м преобразованием с м ат рицей В 1 = Р В .

Т ак как Р 2 = Р • Р = / , где / — единичная м атрица, то

в= Р 2В = Р ( Р В ) = Р В '.

Таким образом , всякое несобст венное преобразование Л оренца я в

ля е т с я произведением некот орого собст венного преобразования с

м а т рицей В ' и от раж ения с м а т рицей Р .

П ересечение множ еств L ^ и L + обозначаю т символом L+.

Н екоторы е групповы е свойства м нож еств L, 1д, L + и L+ будут рас

см отрены в следую щ ей главе.
В заклю чение найдем те	преобразования			L+, которы е не меняю т
координат х 2 и х 3. Ясно, что это будут преобразования L+ двумерного
псевдоевклидова подпространства с координатам и х°					и х 1 , в котором
к вад р ат ин тервала вы числяется по ф орм уле				(ж0 ) 2 — (ж1)2.
Запиш ем д л я рассм атриваем ого случая ф орм улы					(8.74). П олучим
(Щ,)2 -		ш 2 =	1 ,
b0,b°v	-	ъ1,ъ\,	=о,		(8.77)

(Ь?,)2 - (ъ \,)2 = - 1 .

	4.	МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР						277
П олагая	Ь\,/Ь^, =	/?,	найдем	из (8.77)	следую щ ие			вы раж ен и я
д л я коэф ф и ц и ен тов^,		м атрицы преобразования				В базисны х векто
ров ео, e i, в 2	, ез в базисны е векторы ео', е ^ ,				в 2 ',	е ^ :
ь8 ' = =ь —	6 Q/ = ±		^	, Д = ±	ч / Г Щ		Т ’
					ч / Г Щ		Т ’
						*4	=	±
								ч / Г Щ Т '

В этих ф орм улах зн ак вы бирается из условия принадлеж ности пре образования Л оренца классу L+. Не вникая в детали вы числений, за пиш ем окончательны е ф орм улы преобразования координат:

ж0 — /Зх1

1 1

(Зх

о/

/у.1

-----

гу .^

*AJ

(8.78)

,--------- ,

*AJ

*AJ ,

гу*AJ .

ч / Г Щ

Т ’

П олож им в соотнош ениях

(8.78)

х°

с£, ж1

ж, ж2 =

у,

ж3

= 2 , ж0

с£',

ж1

ж',

ж2

у',

ж3

z ' . Тогда

ф орм улы

(8.78)

перепиш утся следую щ им образом:

ё-х

- f3ct + ж

у'

У,

(8.79)

В ы ясним

теперь

ф изический

смысл

константы

/3. Д опустим, что

точка Р

неподвиж на

в сист ем е координат (£', ж',

у',

Д ). Это

озна

чает, что врем я t'

м еняется, а пространственны е координаты ж',

у',

этой точки постоянны . И сследуем

вопрос о поведении точки Р

отно

сительно системы (£, ж, у ,

z). Д и ф ф ер ен ц и р у я

последние

три

у р ав

нения (8.79)

учи ты вая,

что

d x 1

— d y 1

d z 1

—

получим 0

—вс dt

„

^ Т 2

dy, 0 =

dz. П оэтому

—

/Зс,

—

= 0 .

С ледовательно,

всякая

т очка

Р ,

неподвиж ная

в сист ем е коорди

нат (£',

ж',

у',

z 1) (а следоват ельно , и вся эт а сист ем а координат ),

движ ет ся

от носит ельно

сист ем ы

(£,

ж,

у,

г)

с пост оянной

скоро

ст ью v

(Зс в направлении оси О х.

И так, (3

= г?/с, где ж — скорость

дви ж ен и я

системы

(£',

ж',

у',

г')

относительно системы

(ж,

у,

, £). О тм етим , что так как 0 < v < с, то

0 < (3 <

1 .

П ерепиш ем теперь следую щ им образом ф орм улы

(8.79):

—

, ж

- v t - \ -

(8.80)

у,

с2

278			ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ
Ф орм улы		(8.80)	представляю т	собой ф орм улы перехода от	инер
циальной	системы		(£, ж, у ,	z) к другой инерциальной	систе
ме (£', ж',	у',	z 1 . Эти ф орм улы н азы ваю тся ф орм улам и Лоренца.

§ 5. Т ензор м ом ента инерции

Рассм отрим твердое

тело,

закрепленное в

точке

О.

П усть г =

О М — радиус-вектор

точки М

этого

тела, v — скорость точки М .

К а к

известно,

момент

им пульса

определяется

соотнош ени

ем

= J y [rv](im ,

где

У — объем тела, dm

p d V

{р — плотность

те л а ).

вектора N и

О бозначая через

N 1

кон травариантны е координаты

используя ф орм улу (8.60) д л я векторного произведения, получим

f dklr kv l d m

(8.81)

(напомним, что сгы

glscski, где cski — координаты дискрим инантного

тензора в данном базисе п ространства Е 3 , см. п. 6

§ 3 этой главы ).

По

теореме Э йлера

сущ ествует м гновенная

ось

вращ ения тела.

О бозначая через

вектор

мгновенной

угловой

скорости, получим

= [ил*]. С нова обращ аясь

ф орм уле

(8.60)

д л я

векторного произ

ведения, найдем

v l

Clpnujpr n .

(8.82)

П одставляя найденное вы раж ение v l

в правую

часть

(8.81) и учи-

ты вая независимость и р от переменны х интегрирования, получим сле дую щ ее вы раж ение д л я N l \

N* = [ с{с1рпг кг пи р d m	=	сор [ ск1 с1рпг кг п d m = сорГр .	(8.83)
J v		J V
Тензор
Jp	=	[ cl[Clpnr kr n dm ,	(8.84)

фигурирую щ ий в правой части соотнош ений (8.83), назы вается т ен зором м ом ент а инерции.

Преобразуем вы раж ение (8.84) д л я тензора момента инерции. Д л я

этой	цели обратим ся к	ф орм уле	(8.65), По этой	ф орм уле имеем
4 А п	= 9кп$1 - 9кр$п- П оэтом у
	4 =	[ (ffknfip -	9 kp4 )r nr k dm .	(8.85)
		J v

§ 5. ТЕНЗОР МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

279

Если в вы раж ении (8.85) опустить индекс i с помощ ью м етрическо го тензора, то в результате получим часто используем ую ф орм улу д л я

координат д в аж д ы ковариантного тензора момента инерции:
Jip — / ( г ‘ dip	Г.Г, ,) dm .	( 8.86)
J V

Тензор момента инерции ш ироко используется в механике твердого тела. Д л я прим ера запиш ем с помощ ью этого тензора вы раж ение д л я кинетической энергии Т . Имеем

		т = ^ [ V2 d m = ^			[ g i j v 'v 3 dm .
		* J v		* J v
Но поскольку v l		— српи рг п , вы раж ение д л я Т				прим ет вид
Т	= \ f v	9 ii cipnc>kiujPrn d m	=	^	Pujk J v	9 ij 4 n c3klr nr l dm .
О тсю да,	согласно (8.84), найдем Т		=		^ujpujk Jpp.

Г Л А В А 9

Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И Г Р У П П

В этой главе будут излож ены основные понятия теории групп и

указаны некоторы е прилож ения этой теории.

В аж ность теории групп определяется м ногочисленны ми ее прило

ж ениям и в ф изике.

§ 1. П онятие группы . О сновны е свойства групп

1. Законы		ком позиции .	Б удем говорить,		что	в множ естве		А
определен	закон ко м п о зи ц и и ,		если задано	от ображ ение			Т упоря
доченны х	пар	элементов из Л	в м нож ество	А .	П ри	этом	элемент	с

из Л, поставленны й с помощ ью отображ ения Т в соответствие элемен там а, b из Л, назы вается ком позицией этих элементов.

К ом позиция с элементов а и b обозначается символом а Т Ь :

с = аТЬ.

Д л я композиции элементов а, b м нож ества	Л использую тся и д р у
гие ф орм ы записи. Н аиболее употребительны м	и являю тся аддит ивная

ф о р м а записи с = а + b и м ультипликативная ф о р	м а записи с =	аЪ.
В случае аддитивной ф орм ы записи композиции	соответствую	щ ий

закон композиции обы чно назы вается сло ж ени ем , а при м ультиплика тивной ф орм е — ум нож ением . Закон композиции назы вается ассоциа т и вн ы м , если д л я лю бы х элементов а, 6 , с м нож ества Л вы полняется

соотнош ение	= (аТЪ )Тс.
аТ (Ъ Т с)	= (аТЪ )Тс.
Закон композиции назы вается	к о м м у т а т и вн ы м , если д л я лю бой

пары a, b G Л вы полняется соотнош ение аТЬ = ЪТа.

Э лемент е м нож ества Л назы вается нейт ральны м относительно за кона Т, если д л я лю бого элемента а м нож ества Л вы полняется соот нош ение а Т е = а.

П рим ерам и законов композиции могут служ ить обы чны е слож ение и умнож ение в множ естве вещ ественны х чисел. О ба эти закон а ком м утативны . Н ейтральны м элементом д л я слож ения явл яется нуль, дл я

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3228 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб2Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб35Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf