книги / Линейная алгебра.-1

4. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

115

Т ак как столбец Х а доставляет минимум

ф ункционалу, стоящ ем у

в правой части (4.35), то

F a { X a , А ,

В А ) <; F a (X ° , А , В А )

=

||Н 1 ° -

В А

||2 +

а ||Х ° ||2.

(4.37)

П ользуясь соотнош ением А Х °

= В и неравенством треугольника,

получим

||А Х -0

-

В А||

<; ||i X °

-

А Х °\\

+ ||В

-

В ||

+ ||В -

В А \\. В

правой части последнего неравенства воспользуемся

соотнош ениями

(4.28)

и

(4.29),

а

такж е неравенством (4.34),

взяты м

при X

=

Х ° .

П олучим

\\А Х ° -

В А || <С 6\\Х°\\ +

5

+ \\В

-

А Х °\\.

(4.38)

Ещ е раз учи ты вая, что А Х °

=

В , и снова пользуясь неравенством

треугольника и соотнош ениям и

(4.28) и (4.29), получим, что

\\В

-

А Х °\\

^

\\В

-

В\\ + \\А Х ° -

А Х °\\

^

S

+ 5 • ||Х °||.

(4.39)

И з

(4.38)

и

(4.39)

следует, что

\\А Х °

- В А|| <

; 25(1

+

||Х °||)

=

CS,

(4.40)

где С

=

2 ( 1

+

\\Х °\\).

Д л я заверш ения доказательства оценки (4.36) остается подставить

(4.40) в (4.37) и воспользоваться неравенством (4.31).

П оскольку

из

определения

ф ун кц и он ала

F a

сразу вы текает, что

а • ||Х а ||2 ^

F a ( X a , А , В А ), то из доказанного нами неравенства (4.36)

вы текает такж е следую щ ее неравенство:

| Д “ | Д | | Х 0| | +

£ 1 ( Д

(4.41)

в котором £i (5) —> 0

при S —> 0

+

0 . И з

(4.41) вы текает, что

при всех

достаточно

м алы х 8 м нож ест во

{ Х а }

т очек Х а прост ранст ва Е п

я в ля е т с я ограниченны м .

Теперь уж е нетрудно доказать

теорем у от противного. П редполо­

ж им , что д л я некоторого го > 0

сущ ествует последовательность 8п —>■

—>0 +

0

и отвечаю щ ая ей последовательность {ад} чисел а д , удовле­

творяю щ их условию

1

^

^

(5п)?

(4.31*)

^

Щ п )

такая, что д л я всех номеров п

\\Хап

-

Х ° | Д

е0.

(4.42)

116

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Т ак как множ ество { Х а } ограничено, то в силу теорем ы Б о л ь ц ан о -

В ейерш трасса из последовательности

{Х ап } мож но вы делить сходя­

щ ую ся подпоследовательность. Ч тобы

не м енять обозначений, будем

считать, что

вся

последовательность

{ Х Лтг}

сходится к

некоторому

столбцу Х °

, т. е. \\Х ап — Х °\\ -А 0 при п —Уоо.

У бедимся в том, что

\\А Х а” -

Л Х °|| ->■ 0 при п

-» оо.

(4.43)

В

самом

деле,

пользуясь неравенством

треугольника, оценками

(4.28),

(4.29),

(4.36)

и (4.40)

и соотнош ением (4.31*), получим

\\А Х ап - А Х °|| «С

||А Х ап -

А Х ап || +

||А Х ап

- В А || + |\В А - А Х °|| «С

^ ||Х“"I +

y/F°-(X°-,A, В А )

+ С 5п <: 5п (\\Х ап ||

+ С) +

+ y^O,n£(Sn )C + <лп ||Х ° | | 2

—У0

при п —У0 0 .

И з неравенства (4.43) вы текает, что А Х °

= А Х ° ,

т. е. предельны й

силу соотнош ения (4.41), неравенству

||Х °|| ^ ||Х °||. Т ак как

по опре­

делению д л я норм ального реш ения Х °

справедливо обратное

неравен ­

и т . М ы будем н азы вать операт ором А , дейст вую щ им

из V в УУ,

отображ ение вида А : У —> УУ, сопоставляю щ ее каж дом у

элем енту х

п ространства У некоторы й элемент у п ространства УУ. П ри этом бу­

дем использовать обозначение у = А (х) или у

=

А х .

О п р е д е л е н и е . О ператор А , действую щ ий

из

У в УУ, н азы вается

1 °) A (x i

+

Х2 ) = A x i + А х 2 (свойст во аддит ивност и опера­

тора) ;

2 °) А (Лх)

=

ЛА х

(свойст во однородности оператора).

З а м е ч а н и е

1.

Если пространство УУ представляет собой ком ­

назы вается ли н ей н о й ф ормой или ли н ей н ы м

ф ункционалом .

З а м е ч а н и е 2 . Если пространство УУ

совпадает с пространст­

ляем ы й равенством

(А + В )х = А х + В х.

(5.1)

ный оператор ЛА, определяем ы й равенством

(AA) х = А(Ах).

(5.2)

Н азовем п улевы м оператор, обозначаем ы й символом

О и отобра­

Д л я каж дого оператора А

определим

прот ивополож ны й опера­

тор —А посредством соотнош ения

- А

= (—1)А.

Л егко проверить справедливость следую щ его утверж дения.

М нож ест во L (У, W )

всех

ли н е й н ы х

операт оров, дейст вую щ их

из V в W , с указанны м и

выш е операциям и сум м ы и ум н о ж ен и я на

скаляр и

вы бранны м и нулевы м операт ором и прот ивополож ны м опе­

рат ором

образует лин ейное прост ранст во.

оператор

I,

действую щ ий по правилу 1х

=

х (здесь

х — лю бой

эле­

мент У ).

Введем понятие

произведения линейны х

операторов из м нож ест­

ва L (У, У ).

А и

В из

П роизведением операторов

L (У, У) назы вается опера­

тор А В , действую щ ий по правилу

(A B )

х =

А (В х).

(5.3)

О тметим, что, вообщ е говоря, А В ф В А .

С праведливы

следую щ ие

свойства

линейны х

операторов

из

L (V , V):

1°)

А(АВ)

=

(АА)В;

2°) (А

+

В )С

= А С + ВС;

3°) А (В

+ С)

=

А В + АС;

4°)

(А В )С

=

А (В С ).

1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

119

П ервое из свойств 1°)-4°) следует из определения

произведения

П ерейдем

к обоснованию свойства 2°). И меем, согласно (5.1),

(5.2)

и (5.3),

((А + В )С )х

= (А + В )(С х) = А (С х) + В (С х) =

= (А С )х + (В С )х = (АС + В С )х .

(5.4)

З а м е ч а н и е

1 . Свойство 4°) позволяет определить произведение

А В ... С лю бого конечного числа операторов из L (У, У)

и, в частно ­

сти, п -ю степень оператора А с помощ ью ф орм улы

A n =

А А ... А.

4------ v------ '

п с о м н о ж и т е л е й

О чевидно, справедливо соотнош ение A n + m = A nA m.

Н ам

понадобится понятие

обратного оператора д л я данного опе­

р ато р а

А из L (У,

У ).

О п р едел ен и е

1 . Л инейны й оператор В из L (У, У)

н азы вается

обрат ным д л я

оператора А из L (У, У ), если вы полняется соотнош е­

ние А В

= B A

=

I.

И з определения обратного оператора А - 1

следует, что д л я лю бого

х G У справедливо соотнош ение А - 1 А х = х.

Таким образом, если А - 1А х =

0 , то х =

0, т. е. если оператор А

имеет обратны й, то из условия А х

= 0 следует, что х = 0.

120

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

линейно независим ы х

элементов x i,

Х2 , ... ,

х п п ространства V отоб­

раж аю тся

посредством

оператора

А

в

п

линейно

независимы х

A x i,

А х 2,

... , А х п элементов этого ж е пространства.

И так, пусть x i,

Х2 , ... ,

х п — линейно независимы е элем енты V . Е с­

ли линейная комбинация ад A x i + а 2 А х 2

+ . .. +

a nA x n представляет

собой нулевой элемент п ространства V :

а 1 A x i + (Т2 А х 2 + . . . + а пА х п = О,

то из определения линейного оператора (см. п. 1

этого п ар агр аф а) сле­

дует, что А (а ц х 1 + <л2 х 2 +

. .. + а пх п)

=

0.

Т ак как

оператор А действует из V

в V

взаим но

однозначно, то

из последнего соотнош ения вы текает, что ац х! + « 2 X2

+ . .. + а пх п

=

=

0. Но элем енты

x i,

Х2 , ... , х п линейно независимы . П оэтом у ад

=

=

«

2

= . ..

= OLn

=

0.

С ледовательно,

элем енты A x i,

А Х 2 , . .. ,

А х п

такж е линейно независимы .

О тм етим

следую щ ее у т в е р ж д е н и е .

Д л я того

чтобы

ли н ей н ы й оператор А

из

L (У, V )

и м ел обрат­

ны й ,

необходимо

и

дост ат очно, чтобы

эт от

оператор

дейст вовал

взаим но однозначно из V

в V .

У бедимся, что сф орм улированное условие необходимо. П усть опе­

ратор

А имеет обратны й, но не действует

взаим но однозначно из

V

в V . Это означает, что некоторы м различны м элементам x i

и Х2 , Х2

-

— x i

ф 0 из V отвечает один и тот ж е элем ент у = А х :

= А х 2

. Но

тогда А ( х 2

— x i )

=

0

, и поскольку А

имеет обратны й, x i

— Х2

=

0.

Но вы ш е бы ло отмечено, что x i — Х2

Ф 0. П олученное противоречие

доказы вает необходимость условия утверж дения.

Д окаж ем

дост ат очност ь этого условия.

Д опустим, что оператор А действует взаим но однозначно из V

в V .

Тогда

каж дом у элементу

у Е V отвечает элемент х

Е

V

такой,

что

у

=

А х . П оэтом у имеется оператор А - 1, обладаю щ ий тем свойством,

что

А - 1 у

=

А - 1

(А х)

=

х . Л егко убедиться, что оператор А - 1

ли ­