Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

§ 1.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	181
или, что то ж	е самое, \|\|Х \|\| 2 ^ ( 1 / 8 ) ( С Х , X ) . П оследнее	неравенство

позволяет заклю чи ть, что из равен ства нулю указанного вы ш е преде

л а (6.19) следует, что
lim \\Zk + 1 - Z k \|\| = 0.	(6.20)
к—

Д л я заверш ения доказательства достаточности следует воспользо

ваться соотнош ением
В — ------— + A Z k		= 0,
Т
из которого, в силу сущ ествования д л я	полож ительно определенной
м атрицы А ограниченной обратной м атрицы А ~ 1, вы текает, что
Zk — — А 1 • — {Z k +	1	— Z k).
т

П оследнее равенство и соотнош ение (6.20) даю т право заклю чи ть, что

Нгщ—^оо \\Zk\\ = 0 . Д остаточность доказана.

Д л я	доказательства необходимости условий (6.14) при дополни
тельном	предполож ении о том, что м атри ц а В сим м етрична, привле
чем следую щ ую лемму.

Л е м м а . П уст ь С — некот орая си м м ет р и чн а я м а т р и ц а , а В —

сим м ет р и чн а я полож ит ельно определенная м ат рица . Тогда м а т р и

ца С я в ля е т с я полож ит ельно определенной в т ом и т олько в т ом

случае, когда я вля ю т с я п о ло ж и т ельн ы м и все собст венные зн а чен и я задачи С Х = Х В Х .

Д л я доказательства лем м ы зам етим , что так как м атри ц а В			я в л я
ется	сим м етричной и полож ительно определенной, то	(в силу	теоре
мы	5.24 из п. 6 § 5 гл. 5) сущ ествует сам осопряж енны й	полож ительно
определенны й оператор В 1 / 2 такой, что д л я соответствую щ ей ему м ат

рицы В 1!2 справедливо равенство В 1!2 х	В 1! 2. Т ак как м атри	ц а В 1!2
явл яется полож ительно определенной и сим метричной, то д л я		нее су
щ ествует ограниченная и сим м етричная	обратн ая м атрица, которую
мы обозначим через В ~ 1//2.

Зам етим далее, что	с помощ ью зам ены X = В 1!2 • Y и ум нож е
ния слева на м атрицу	В ~ х!2 зад ач а на собственны е значения С Х —

— Х В Х	переходит в эк ви ва лен т ную задачу на собственны е значения
В - 1!2 • С • В ~ 1 / 2 У , так что		д л я доказательства лем м ы остается убе
ди ться	в том, что заведом о	сим м етричная м атри ц а В ~ х!2 • С • В ~ х!2

явл яется полож ительно определенной тогда и только тогда, когда я в ляется полож ительно определенной м атри ц а С. Это последнее сразу

182	ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
вы текает из того, что д л я лю бы х ненулевы х векторов X				и Y ,	связан
ны х соотнош ением Y =		В ~ 1 / / 2	• X , справедливо равенство
( В ~	1 / 2 • С • В ~ 1/2X ,	X ) =	( С - В ~ 1 / 2 X , В ~ 1 / 2 - X ) =	(C Y ,	Y ) .

Л ем м а доказана.

Теперь мы можем перейти к доказательству необходимости усло вий (6.14) теорем ы 6.2 при дополнительном предполож ении о том, что

м атри ц а В явл яется симметричной.

2) Н е о б х о д и м о с т ь . Б удем	опираться на следую щ ее утверж д е
ние из доказанной вы ш е леммы :	если м ат рица В я в ля е т с я си м м ет

ри чно й и полож ит ельно определенной, а м ат рица С я в ля е т с я си м

м ет ричной и не я в ля е т с я полож ит ельно определенной, то задача на

собст венные зн а чен и я С Х	=	Х В Х им еет хо т я	бы одно неполож и
т ельное собст венное зн ачение		\ s .
П редполож им , что не выполнено первое из условий					(6.14), т. е. не
выполнено требование 2 В	— г А > 0 .
П олагая в проведенны х вы ш е рассуж ден и ях			С	=	2 В — т А, мы
получим, что зад ач а на собственны е значения ( 2 В				— т А ) Х = Х В Х

имеет хотя бы одно неполож ительное собственное значение As . О бозна

чим через м * ) отвечаю щ ий As собственны й вектор и вы берем нулевое
приближ ение X Q так, чтобы бы ло выполнено условие Z Q = X ^ s\
Тогда,		переписав		уравнение д л я	погреш ности (6.15) в виде
B Z k + i	=	— B Z k	+	(2 В — r A ) Z k , мы	получим, последовательно по
лагая к	равны м 0		, 1 , ... ,

Zi	=	(- 1 + АЩД		Z 2 = (- 1 + А8)2МУ		1( -+
					z k =		А Д х Д . . .
П оскольку —1			+ А* <	— 1 , то очевидно, что \\Z^\\		не стрем ится к нулю
при	к	оо.
А налогично			рассм атривается случай		невы полнения		второго	усло
вия	(6.14), т. е.		условия тА > 0 . В этом		случае	в проведенны х		вы ш е

рассуж ден и ях следует полож ить С = тА. М ы получим при этом, что

зад ач а т А Х		=	Х В Х имеет хотя бы одно неполож ительное собствен
ное значение As с собственны м вектором					X ^ s\ В ы бирая нулевое при
ближ ение	X Q так,			чтобы бы ло справедливо равенство		Z Q	=	Х ^	и
переписы вая (6.15) в эквивалентном виде B Z ^ + i = B Z k						~	T A Z }*, мы
получим, что
Zi = ( 1 -	А	Щ	Д	z 2 = (1 - A S ) 2 X A	. . . ,
					z k = 1 -(А	Д	М	У	. . .

	§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ						183
Т ак	как А ^ 0	, то очевидно, что \\Z^\\ не стрем ится к				нулю	при
к оо. Т еорема 6		. 2	полностью доказана.
П ерейдем теперь			к оценке скорости	сходимости	общ его	неявного
м етода	простой итерации. С ледуя А .А.			С ам арском у	5) , вы ясним		во

прос о вы боре такого значения п арам етра т, которое обеспечивает наи

более бы струю сходимость.
П редполож им , что м атри ц а В		явл яется сим м етричной и полож и
тельно определенной. С помощ ью		такой м атрицы естественно ввести
так назы ваем ое энергет ическое скалярное произведение			двух произ
вольны х векторов X и Y , полож ив его равны м (В Х , Y )			=	(X , B Y ) .
Такое скалярное произведение будем обозначать символом				(X , Y ) B -
С помощ ью м атрицы	В 1!2 это скалярное произведение м ож но за
писать в виде (X , Y ) B =	( £ 1 / 2 £ 1	/ 2 Х , Y ) = ( В ^ Х , B X/ 2Y ) .		С помо

щ ью последнего равен ства легко проверяется справедливость д л я вве

денного нами	скалярного	произведения четы рех аксиом скалярного
произведения	(см. и. 1 § 1	гл .4 ).
Д алее естественно ввести энергет ическую норм у вектора X , поло
ж и в ее равной	(X , X ) в	= \ J (В Х , X ). Э ту энергетическую норму

мы обозначим символом ||Х ||# .

Д ве различны е норм ы одной и той ж е совокупности векторов ||Х ||/

и ||Х ||// назы ваю т эк ви ва ле н т н ы м и , если сущ ествую т такие полож и тельны е постоянны е 7 1 и 7 2 , что справедливы неравенства

7 i i № <

Зам етим , что энергет ическая норм а вект ора X и обычная его нор

м а я вля ю т с я	эквивален т ны м и . В самом	деле,	справедливость	нера
венства 7 i 11X11	^ \|\|Х \|\|В , т. е. неравенства	д 2 (Х ,	X ) ^ (В Х , X )	вы те

кает из полож ительной определенности м атрицы В , а справедливость неравенства ||Х ||я ^ 7 2 ЦХЦ, т. е. неравенства (£?Х, X ) ^ дЩ ХЦ 2 вы текает из неравенства К ош и -Б ун яковск ого и оценки (6.7) (достаточно

П О ЛО Ж И ТЬ 7 2 = || £ ? ||) .

У становленная эквивалентность обы чной и энергетической норм

позволяет	утверж д ать, что последоват ельност ь	ЦХ/.Ц сходит ся к н у
лю тогда	и т олько т огда, когда сходит ся к	нулю последоват ель

ност ь ||Xfc||£.

Д л я дальнейш их рассуж дений энергетическая норм а явл яется бо лее удобной, чем обы чная норма.

Д окаж ем следую щ ую ф ундам ентальную теорему.

5) Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

184

ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Т е о р е м а 6 .3

(теорема А .А. С ам арского). П уст ь м ат рицы А и В

сим м ет ричн ы

полож ит ельно определены , Z к

обозначает

погреш

ност ь

общего

неявного

мет ода

прост ой

ит ерации.

Тогда

для

того

чтобы

при

1 было

справедливо

неравенст во

| | ^

| | б «S

Рк Ш \ в ,

дост ат очно, чтобы было вы полнено условие

^—

^ В ^ А

^ ^ - ^ - В .

(6.21)

З а м е ч а н и е .

А .А. С ам арским

доказано, что

условие

1 )

не

только

достаточно, но

и необходимо д л я

справедливости

неравен

ства \\Zk \\B

р ^ ||^ о||б , но мы на этом останавливаться не будем.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

6.3. Д л я удобства разобьем дока

зательство на д в а ш ага.

1 °). С н ачала

докаж ем ,

что

если

сим м етричны е и полож ительно

определенны е

м атрицы

ж В

удовлетворяю т

условиям

С ам арско

го

(6.14),

то

( B Z k + 1 , Z k + i)

^ (B Z k, Z k).

У м нож ая равенство (6.15) скалярно на 2 r Z k + i

= r ( Z k +

+ Z k)

r ( Z k +

1 -

Z k), получим

( B ( Z k + i

— Z k), Z k + 1

Z k) +

(B ( Z k + i

— Z k), Z k + 1

— Z k) +

+ r ( A Z k + 1

, Z/, + 1

Z/,)

r ( A Z kj Z k + 1 — Z/,)

В последнем равенстве заменим A Z k на разность

~ A ( Z k + i + Z k) - - A ( Z k + i - Z k).

Тогда,

учи ты вая

вы текаю щ ее

из

симм етрии

м атрицы

равен

ство ( A ( Z k + 1

Z k),

Z k + i

+ Z k )

(Z fe + i -

Z k , A ( Z k +

Z&)),

мы получим тож дество

( ^ ( ^ / г +

—

^ / г ) >

Z k + i +

Z k )~\~

+ ((в —~AJ(Zk+1 —Z*), Z*+1 + z^

-(^ (^ /e + l

+ Z*), Z* + 1 +

Zk)

У чи ты вая,

что (в силу

условий

С ам арского

(6.14)) операторы

т А

— (г /2 ) А

являю тся полож ительно определенны ми, мы получим из

последнего тож дества следую щ ее неравенство:

(B(Zk+1 - Zk), Zk+1 + Zk) ^ 0.


	§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ								185
Это	неравенство		эквивалентно			доказы ваем ом у			неравен
ству	( B Z k + 1 , Zk + 1 ) ^		(B Z k , Zk) (в силу вы текаю щ его из симм етрии
оператора В		тож дества (B Z ^ + i , Zk)				= {Zk +i ,	BZk ) ) -
2	°) П усть теперь при р < 1				вы полнены условия С ам арского (6 .2 1 ).
Д окаж ем справедливость неравенства \| \| ^ \| \| б ^							^	\| \| ^ о\|\|б -
П олож им		Zk = pkVk- Тогда, очевидно,
z k + l -		=z pkk+ 1vk + 1		-	p k v k pk+= l{Vk+1		-	Vk) -	(1 -p)pkvk.
П одставляя		эти значения		Zk	и Zk + i	— Zk в равенство			(6.15) и про

изводя сокращ ение на рк, получим д л я величин Vk следую щ ее соотно

шение:				,Vk + 1 — ук
				,Vk + 1 — ук		AVk — О,	( 6.22)
				В -	+	AVk — О,	( 6.22)
в котором	В	=	р В , Л	=	А — -------- В .
					т
В силу	условий (6			.2 1 )	операторы	В ж А удовлетворяю т	услови
ям тА > 0,	2	В	> тА. И з этих условий и из того, что уравнение (6 .2 2 )

д л я Vk соверш енно идентично уравнению (6.15) д л я Z k, в силу первого ш ага д л я Vk вы текает следую щ ая оценка: (BVk + 1 , Vk + i) ^ (B V k , Vk). И з этой оценки в свою очередь, учи ты вая, что В = р В , получим нера

венство (BVk + i, Vfc + i) ^ (£Vfc, Vfc).

П оследовательное применение указанного неравенства д л я номе

ров к = 0 , 1 , . .. приводит нас к соотнош ению (BVk, Vk) ^ ( BV Ь, Vo), а умнож ение последнего соотнош ения на р о Ь. приводит к окончательной

оценке 6)	( B Z k , Zk) ^ p2k( B Z 0, Z 0). Тем самы м неравенство \| \| ^ \| \| б ^
^ Р ^ \|\|^ о\|\|б	доказано. Д оказательство теорем ы 6.3 заверш ено.

В заклю чение применим теорему С ам арского 6.3 д л я вы яснения вопроса о вы боре такого значения п арам етра т, при котором скорость сходимости явл яется м аксим альной . И з доказанной в теореме 6.3 оцен

ки \\Zk\\B ^	Рк \\2 о\\в	вы текает, что эта зад ач а сводится к нахож дению
такого значения т,		при	котором	достигается	м иним альное значение
ф ункции р	= р (т ) .
Т ак как	обе м атрицы		А и В	сим м етричны	и полож ительно опре

делены , то сущ ествую т полож ительны е постоянны е j i и 7 2 такие, что

справедливы неравенства 7 1 В ^ А ^ 7 2 В . Б удем	считать, что посто
янны е 7 i и 7 2 в этих неравенствах нам задан ы 7) .	С опоставляя только

6) Мы учитываем, что Zk = pkVk, Z Q = Vo-

7) Постоянные 71 и 72 естественно назвать константами эквивалентности матриц А и В. Д ля коммутирующих матриц А и В постоянные 71 и 72 соответ ственно равны наименьшему и наибольшему собственным значениям задачи А Х =

= хвх.


186	ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
что написанны е неравенства с условиями			(6 .2 1 ), мы получим, что ми
ним альное значение р достигается при условии ( 1 — р)/т					=	7	1 , ( 1	+
+ р)/т =	7 2 , откуда получаем оптим альное значение т			=	2 / (	7	1 +	7 2 )
и м инимальное значение р, равное ( 7		2 — 7	1 ) / ( 7 2 + 7 1 ).
Ч астны м случаем проведенного		нам и	рассм отрения	явл яется				я в

ный метод простой итерации, изученны й в п. 1. Д л я этого м етода спра ведливы все полученны е нами результаты .

В следую щ их трех пунктах с помощ ью общ его неявного м етода про

стой итерации и теорем ы С ам арского					6 . 2	мы рассм отрим		несколько
наиболее употребительны х итерационны х						методов и установим усло
вия их сходимости.
3.	М оди ф и ц ированн ы й			м етод		простой итерации . Э тот ме
тод получается из общ его неявного м етода простой итерации в									том
случае, когда стационарны й п арам етр					т равен единице, а м атри ц а В
представляет		собой диагональную м атрицу D , состоящ ую						из элемен
тов м атрицы		А, леж ащ их на главной диагонали, т. е. В					=	D , где
			а ц	0	. ..	0
		D	0	^ 2 2	..	0
			=
			0	о	. • •	^пп
П ри	этом, конечно, предполагается, что м атри ц а А						явл яется сим
м етричной и что все ее диагональны е элем енты а ц , <2 2 2 , • •								аПп я в л я
ю тся полож ительны м и			(последнее требование необходимо и достаточ
но д л я	полож ительной		определенности диагональной				м атрицы В		=

=D).

Из теорем ы 6 . 2 сразу ж е вы текает, что д л я сходимости м одиф и

цированного м етода простой итерации при лю бом вы боре нулевого приближ ения достаточно, чтобы бы ли вы полнены д в а условия: 2D >

> А, А > 0 .
Т еорема	6.1 позволяет вы рази ть			достаточное	условие сходимости
м одиф ицированного м етода простой итерации и в другой ф орме:
	\\Е	-	D ~ 1A\\ < 1 8)		(6.24)
(под нормой	м атрицы , как	и	выш е, поним ается		операторная норм а).
Т ак как \\Е —D ~ 1 А\\ =		\ \ D ~ 1( D - A ) \ \ = \\D~ г (А - D)\\, то доста
точное условие сходимости		(6.24) мож но переписать в эквивалентном
виде	\\D~1(A -			D )\|\| < 1.	(6.25)

8) Мы учитываем, что в рассматриваемом случае вместо матрицы А следует взять матрицу А, определяемую формулой А = В ~ 1А и положить В = D, т = 1.

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

187

Н еравенство

(6.25)

позволяет

получить

различны е достаточны е

условия сходимости м одиф ицированного м етода

простой

итерации.

П реж де

всего

зам етим ,

что

если

н аряду

операторной

нор

мой м атрицы

.2 ) (которую мы,

как

выш е,

будем

обозначать

символом

||П ||)

ввести

так

назы ваем ую

сф ерическую

норму

это

м атрицы ,

обозначаем ую

символом

| | П | | сф

определяемую равен-

ством

||А ||сф

[E?=iE"=i

1 1 /2

то,

как

доказано

§ 4

гл. 4

(см. ф орм улу

(4.28)), д л я

лю бого

вектора X п ространства

Е п будет

справедливо неравенство 9)

1 1Ш

^ |Л ||сф|Ц ||.

(6.26)

И з (6.26) и (6.5) сразу ж е вы текает, что операторная и сф ерическая

норм ы м атрицы

связаны соотнош ением

||П|| ^ ||П ||сф.

Таким

образом,

в силу

(6.25)

достаточное условие

сходимости

м одиф ицированного м етода

простой

итерации

вы раж ается

неравен

ством

||D ~ 1( A

— £ ))||сф <

1, которое в развернутой записи имеет вид

E : = I E ; = I 4 / 4 < I -

Зам етим далее, что при определении операторной норм ы (6.5) м ат рицы А мы исходили из обы чной (так назы ваем ой сф ерической) нормы

в е к т о р а Х

. ..

, равной ||Х ||

Ч асто

вводят еще две норм ы

вектора

X : так

назы ваем ую

куби

ческую

н о р м у ,

определяемую равенством

| | Х

| | к у б

m a x i ^ ^ n |а ц |,

и так

назы ваем ую

окт аэдрическую

норм у,

определяемую

равен

ством ||Х ||окт

\xi\. Если в определении (6.5) операторной нор

мы м атрицы

поним ать под нормой вектора соответственно его ку

бическую

или октаэдрическую норму, то соотнош ение (6.5) приведет

нас к определению

соответственно

кубической

и окт аэдрической опе

рат орны х норм м атрицы А .

М ож но

доказать, что кубическая

и октаэдрическая

операторны е

норм ы м атрицы (6 .2

) следую щ им образом вы раж аю тся через элем енты

9) В этом неравенстве под нормой вектора X

понимается

так на-

Х п

зы ваемая сферическая норма \\Х\\ = [J27=i х 1]‘

188		ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
этой м атрицы 10) :
		п				п
11^-Цкуб =	1	ШИХ	11^-Цокт —	1	^ а х	Z	1а ^ 1 ‘
	1	Z '		1	< 1<п	Z	'
		J = 1				г= 1

Д ословное повторение проведенны х вы ш е рассуж дений с заменой

сф ерических	норм соответственно кубическим и и		октаэдрическим и
приведет нас	к достаточном у	условию сходимости	м одиф ицирован
ного м етода простой итерации,		вы раж енном у соотнош ением (6.25), в

котором под нормой м атрицы следует поним ать соответственно ее ку бическую или октаэдрическую операторны е нормы .

Это приводит нас к следую щ им двум условиям, каж дое из которы х

явл яется

достаточны м

д л я

сходимости

м одиф ицированного

метода

простой итерации

( д л я

г =

1 , 2 , . . . ,

тг);

j =

i, j ^ i

(для j

1 , 2

п).

* = 1 ,гфз

М е т о д

З е й д е л я . П редставим

симм етричную м атрицу

(6.2) в

виде

суммы

трех

м атриц А

+ £/,

где

D — ди агон альн ая

м атри ц а

(6.23), a L и U соответственно строго левая и строго п равая

м атрицы , имею щ ие вид

. ..

« 1 2

• . .

QJ\ п

а 2 1

. ..

&2п

&nl

&п2

• ..

. ..

иудовлетворяю щ ие условию В — U .

Метод Зей деля получается из общ его неявного м етода простой ите рации в том частном случае, когда стационарны й п арам етр т равен единице, а м атри ц а В р авн а сумме D + L . Таким образом, последова

тельны е итерации в методе Зей деля определяю тся соотнош ением

(D + L ) ( X k + 1 - Х к) + А Х к = F.

10) См., например: К рылов В.И ., Бобков В.В. и М онастырный П .И. Вычис лительные методы высшей математики. — Минск: Вышэйшая школа, 1972. Т. 1. С. 111-112.

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

189

Д окаж ем , что м ет од Зейделя сходит ся для лю бой си м м ет ричн ой

и полож ит ельно определенной м ат рицы А .

В силу теорем ы 6.2 достаточно доказать, что д л я лю бой такой м ат

рицы А выполнено условие
2 (D	+	L)	> А .		(6.27)
Д л я доказательства (6.27) зам етим , что д л я лю бого вектора X
(2 (D + L )X , X ) = ( D X , X ) + ( D X , X ) + (L X , X ) + (L X , X ) =
= (D X , X ) + ( D X ,	X )	+	(L X , X ) +	(X , E/X)	=
			=	(£>X, X )	+ (A X , X ).

Таким образом , д л я доказательства неравенства (6.27) достаточно

убедиться в полож ительной определенности м атрицы D , но она сразу вы текает из того, что у полож ительно определенной и сим метричной

м атрицы А все элементы , леж ащ ие на главной диагонали, являю тся полож ительны м и п ) . Сходимость м етода Зей деля доказана.

5. М е т о д в е р х н е й р е л а к с а ц и и . Э тот метод получается из об

щ его неявного м етода простой итерации в том частном случае, когда

г = CJ, В	=	D + UJL , а п арам етр UJ вы бран так, чтобы являлось наи
меньш им	наибольш ее по модулю собственное значение м атрицы		Е —
u ( D + u L ) ~ 1		А, осущ ествляю щ ей переход от к -й итерации к (к +	1)-й.
Д окаж ем ,		что если м ат рица А я в ля е т с я си м м ет ричн ой и	поло

ж и т ельн о определенной, то для сходим ост и мет ода верхней р ела к

сации дост ат очно,		чтобы было вы полнено условие 0 < и < 2 .
В	силу теорем ы	6.2 д л я сходимости достаточно	выполнение усло
вий и	> 0 , 2 (D + uoL) > соА .
В торое из этих условий д л я лю бого вектора X приводит к неравен
ству
		(2 (D + u L ) X , X ) > Д ;А Х , X ).	(6.28)

П оследнее неравенство эквивалентно каж дом у из неравенств в следу ющей цепочке:

( 2 D X , X ) + (<x L X , X ) + (UJL X , X ) > (CJA X , X ),

( 2 - CJ)(£>X, X ) + (UJD X , X )	+	(CJL X , X )	+ (X , w [/X ) > (CJA X , X ),
			( 2 - CJ)(£>X, X ) > 0.
n ) Достаточно заметить, что если у вектора X			к-я координата равна единице,
а все остальные нулю, то (AX, X )	= а	> 0.

190	ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
И з последнего неравенства и из полож ительной определенности D за
клю чаем , что	(6.28) справедливо при 2 — и > 0, т. е. при и < 2 . И так,
доказано, что	условия 0 < UJ < 2 обеспечиваю т сходимость метода
верхней релаксации .

6 . С лучай н есим м етричной матрицы А . В случае несиммет

ричной м атрицы			А	мы	можем		ум нож ить м атричное уравнение (6				.1 )
слева	на	м атрицу	А 1 и		зам енить			уравнение		(6.1) уравнением А Х	=
= F ,	в	котором	F	=	A 'F ,	А	=	А 'А ,	так	что м атри ц а А является
сим м етричной и			(как легко			убедиться)			полож ительно определенной.

7. И терационны й м етод П .Л . Ч ебы ш ев а 12) . Всю ду вы ш е при рассм отрении общ его неявного м етода простой итерации мы предпо лагали, что итерационны й п арам етр т приним ает одно и то ж е посто янное значение. Естественно возникает идея рассм отреть более общ ий

случай, когда в указанном методе значения итерационного п арам ет

р а зависят от ном ера к итерации. В таком случае последовательность итераций будет определяться не соотнош ением

BXk+i - хк + Ах^ =	(бЛЗ)
Т

аболее общ им соотнош ением

вХ к +1 - хк + Ах^ = р

		Tk + 1
П ри этом, как и выш е,		В — некоторая легко			обратим ая к вад р атн ая
м атри ц а порядка п.	П ри	таком		вы боре итерационной последователь
ности д л я погреш ности Zj* =			Х к	— X итерационной схемы получится
соотнош ение
p	Zk + 1	-	Z k	+ A z ^ =	(6.15*)
	Тк + 1

П редполож им , что обе м атрицы Аж В сим м етричны и п олож итель но определенны . Тогда, как уж е отм ечалось выш е, найдутся полож и

тельны е постоянны е 7 1 и 7 2	такие,	что 7 1 I? ^ Л ^ 7 2 В . Будем счи
тать, что эти постоянны е 7 1	и 7 2 нам задан ы и еще раз напомним, что
эти постоянны е равны соответственно			наим еньш ем у и наибольш ему
собственны м значениям задачи А Х		=	Х В Х . О ценим энергетическую
норму погреш ности \|\|Z ^ \|\|^ .

Н апомним еще раз, что д л я сим м етричной и полож ительно опреде ленной м атрицы В сущ ествует сим м етричная и полож ительно опреде

12) П афнутий Львович Чебышев (1821-1894)—великий русский м атематик и механик.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб31Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf