книги / Линейная алгебра.-1

102

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

в кот ором м ат рица ||а ^ ||

(г =

1 , 2 , .

.

n; k = 1 , 2 , .

. п) им еет эле ­

м ент ы Oik =

(fi, ffc).

П оследнее утверж дение

приводит

к

следую щ ему

результату: для

того чтобы

в данном базисе fi,

f2 , .

.

fn евклидова прост ранст ва Е

изведений соот вет ст вую щ их координат

эт и х элем ен т о в , необходи­

м о и дост ат очно, чтобы базис fi, f2

, . .

fn был ортонор м ир ованны м .

В самом деле, вы раж ение

(4.14)

переходит в

(4.13) тогда и толь­

ко тогда, когда м атри ц а ||а ^ ||

с элементами ац~

= (fi, fk) является

1

при

г

=

/с,

0

при

i

ф

к,

О бозначим

координаты

элем ента х

относительно

базиса

e i, в2, ... , еп через ад,

ад, • • •, жп , т. е. предполож им , что

х =

xiei

+ ж2е2 + . . . +

хпе:

(4.15)

О бозначим

далее через к

лю бой из номеров 1 , 2 , . . . , п и ум нож им

П оскольку скалярное произведение

произвольного элем ента х на

элемент е,

имею щ ий

норму, равную

единице, естественно н азвать

проекцией

элем ент а х

на элем ен т е,

то мож но

сказать, что коор­

динат ы произвольного

элем ент а от носит ельно

орт онорм ированно­

го базиса равны проекциям эт ого элем ент а на

соот вет ст вую щ ие

2. БАЗИС ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

103

3. Р азл ож ен и е

n -м ер ного евк ли дова пространства на пря­

м ую

сум м у

подпр остранства и его ортогонального

доп ол н е­

ния. П усть

G — произвольное подпространство n -мерного

евклидова

п ространства Е .

всех элем ент ов у прост ранст ва Е , орт огональ­

С овокупност ь F

ны х каж дом у элем ен т у х подпрост ранст ва

G,

назы вает ся орт ого­

н альны м дополнением подпрост ранст ва G.

Зам етим , что ортогональное дополнение F

само явл яется подпро­

странством

Е

(ибо из ортогональности каж дого из элементов у±

и у 2

элементу

х,

очевидно,

вы текает,

что

и лю бая

линейная ком бинация

элементов y i

и у 2 ортогональна элементу х).

Д окаж ем ,

что

всякое

п -м ерное евклидово

прост ранст во Е

пред­

ст авляет собой

прям ую

сум м у

своего произвольного

подпрост ран­

ст ва G и его орт огонального

дополнения F .

В ы берем

в

G

произвольны й

ортонорм ированны й

базис

e i,

в 2

, . .. , е к .

В

силу доказанного в

п. 1

§3 гл. 2,

этот

базис м ож но

дополнить

элементами

+

fn

п ространства

Е

до

базиса

во

всем

Е .

П роизведя

процесс

орт огонализации элементов

e i , . . . ,

e k ,

ffc_l_i, ... ,

fn ,

мы

получим

ортонорм ированны й

базис

e i, ... ,

е&,

... ,

е п

всего

п ространства

Е .

Р азл о ж и в

произвольны й

эле­

мент х п ространства Е

по этому

базису, т. е. представив его в

виде

х

=

x i e i

+

. ..

+

x ke k

+

x k + i e k + i + . ..

+

жпе п ,

мы

получим,

что

этот

элемент

х

однозначно представим в виде

х =

х '

+ х ",

где

х'

=

x i e i

+

. ..

+

x ke k — соверш енно определенны й

элемент

G, а

х "

=

x k + \ e k + i

+

. ..

+

х пе п — соверш енно

определенны й элемент

ортогонального дополнения

F (каж ды й

элемент

e^ + i , . . . ,

е п

орто­

гонален

к

лю бому

из

элементов

e i,

. .. ,

е^,

а

потому ортогонален

лю бому элементу G; поэтому и линейная комбинация х к + \ е к + 1

+ . ..

. . . +

х пе п ортогональна лю бому элементу G, т. е. явл яется соверш ен­

но определенны м элементом F ).

4. И зо м о р ф и зм

n -м ер ны х евклидовы х пространств. В этом

104

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

и у

п ространства Е отвечаю т

соответственно элем енты

х '

и у ' про­

стран ства Е ' , то элементу х +

у отвечает элем ент х ' +

у ',

элементу

Т е о р е м а

4 .4 . Все евклидовы прост ранст ва одной и т ой ж е раз­

м ерност и п

изоморф ны м еж ду собой.

ту х '

=

x ie [

+

х 2е'2 +

. .. + х пе пг

п ространства Е ' поставим в соответ­

ствие п

вещ ественны х чисел ад, ад,

. .. , жп , т. е. вполне определенны й

элемент х =

(ад, ад, ... , х п ) п ространства Е п .

Установленное соответствие будет взаим но однозначны м . К ром е

того, из теорем ы 2.4 вы текает, что если элементам х ' =

(ад , ад, ... , х п )

и у '

=

(щ,

Уп)

п ространства Е '

п ) отвечаю т

соответственно

элем енты х

=

(ад, ад,

... , х п ) н у

=

(щ,

У2 , • • • , Уп) п ространства Е п ,

то элем енту х '

+ у ' отвечает элем ент х

+ у, а элем енту Ах' отвечает

элемент Ах.

В

силу

ортонорм

ированности

базиса е[, е^, ... ,

и ф орм улы

(4.13),

(х ',

у ') = ад ух

+ х 2у 2 + • • •

+ х пу п . С другой

стороны , в силу

3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

105

ное евклидово пространство,

играю щ ее ф ундам ентальную роль в

теории несам осопряж енны х линейны х преобразований .

Д л я введения комплексного

евклидова п ространства следует вве­

символом (х,

у).

II. У казанное

правило

подчинено следую щ им четы рем аксиомам:

1°)

(X,

У )

=

( Е Д

12) ;

2°)

(xi

+

х 2, у) =

(хь

у) + (х2, у);

3°)

(Ах, у) =

А(х, у);

4°) (х,

х)

представляет собой вещ ественное неотрицательное число,

(х, у)

=

(у, х) и (Ах, у)

=

А(х, у), мы получили бы,

что (х, Ау) = (Ау, х) =

А(у, х) =

А(х, у). Но тогда оказалось бы, что (Ах, Ах) =

А2(х, х), и, стало быть,

при А

—

i мы получили бы, что (гх, гх) = —(х, х), а это противоречило бы аксиоме

4°) о неотрицательности (у,

у)

для любого элемента у.

106

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

В самом деле, из аксиом

1°) и 3°) заклю чаем , что

(х, Ау)

= (Ау, х )

=

А(у, х ) = А(х, у),

а из аксиом 1

°) и 2 °) получим, что

( х ,

У1 +

у 2)

= (yi + У2 , х )

= (уЬ х ) +

(у2, х )

=

( х , yi) + ( х ,

у 2).

П риведем

прим еры

конкретны х ком плексны х

евклидовы х

про­

странств.

П ри м ер

1 . Рассм отрим

совокупность

(7* [а, Ь]

всех ф ункций

z =

=

z (t), определенны х

д л я

значений t

из

сегмента

а ^ t ^ b и

при ­

нимаю щ их комплексны е значения

z ( t)

=

х (t) + iy (t) такие,

что ве­

щ ественны е

ф ункции

х (t)

и у (t)

являю тся непреры вны ми

на

этом

сегменте.

О перации

слож ения

этих ф ункций

и

ум нож ения их на

комплексны е числа заимствуем

из

анализа. С калярное произведение

С калярное

произведение двух

лю бы х элементов х =

( x i , X 2 , . . .

. . . , хп) и у =

(2/1, 2/2, • •

Уп) определим соотнош ением

(х, у) =

Ж1 У1 +

Х2 У2 + • ■• + Хпуп.

(4.16)

( х , х ) = Х1 Х1 + Х2Х2 + ■■■+ Хпх п = \xi |2 +

\х2\2 + ■■■ + \хп\2.

С тало бы ть, пространство А™ со скалярны м

произведением (4.16)

явл яется комплексны м евклидовы м пространством .

П ри м ер 3. В том ж е самом комплексном

линейном простран ­

3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

107

а более общ им соотнош ением 14)

п

п

(х, у) = X]

сЧкХьУк,

(4.17)

i = l k = l

в котором

\\dik|| — произвольная м атрица,

состоящ ая из ком плексны х

чисел ап*, удовлетворяю щ их условию aik

— a ki, такая, что квадрати ч -

н ая ф о р м а

}^ i = i 1^к = i a ikx i x k д л я

всех

комплексны х а д , дд ,

. . . , х п

приним ает вещ ественны е неотрицательны е

значения

и обращ ается в

нуль лиш ь при условии

|дц|2 +

|^ 2 1 2 + ---

+

\х п \2

=

0 .

П редоставляем читателю проверку того, что так определенное ска­

лярное произведение удовлетворяет аксиом ам 1°)-4°).

2 .

Н еравенство

К ош и —Б уняковского. П онятие норм ы . Д о ­

каж ем , что для лю бы х двух элем ент ов х

и у

произвольного ком плекс­

ного евклидова прост ранст ва справедливо неравенст во К о ш и -Б ун як о -

вского

15)

|( х ,у ) |2

Щ х , х)(у,

у).

(4.18)

Н а основании аксиом ы 4°) д л я лю бого комплексного числа Л спра­

ведливо неравенство

(Лх -

у, Лх - у) ^

0 .

(4.19)

Т ак как в силу аксиом 1°)-3°)

и их логических следствий

(Лх -

у, Лх -

у) = ЛЛ(х, х)

-

Л(х, у)

-

Л(у, х)

+

(у, у)

=

=

|А|2(х, х )

-

А(х, у)

-

У х , У)

+ (У, У),

то неравенство

(4.19) приним ает вид

|А|2 (х,

х ) -

А(х, у) - У х >у)

+ (у, у) ^ 0.

(4.20)

О бозначим через р

аргум ент комплексного числа (х,

у) и представим

это число в т ригоном ет рической ф орм е 16)

(х, у)

= |(х,

y )|(co sif

+

ishup).

(4.21)

3. КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

109

н аты x i , ж2, • •

х п

и у \ , у 2 , ... ,

у п

относительно ортонорм ированного

базиса e i, е 2, ..., еп.

Т ак как

х =

x ie i +

ж2е 2

+

... +

жпеп,

у

=

щ еi

+

у2е 2

+ ... +

упе п,

то в силу аксиом 1°)-4°) и соотнош ений

(4.25) получим

п

п

(х, у)

^ ^

^

^ Ук^к

i = 1

к = 1

г = 1 к = 1

— Х\У 1

+ Х2 У2 + . ..

+ Хпу п .

В ы разим далее

координаты

ад, ж2, ... , х п

произвольного

элемен­

та х относительно ортонорм ированного базиса e i, е 2, ...,

еп.

У м нож ая

разлож ение

этого

элемента

по

базису

х =

х±е± +

+ ж2е 2

+ ... +

х п е п

скалярно

на

щ

и

пользуясь

соотнош ениями

(4.25), получим

(для лю бого

к , равного 1, 2, ... ,

п )

П

п

(х,

е к)

^ ^ жге г,

^

^ ^г(е П

е &)

= ЗД •

И так,

как и в случае

вещ ественного

евклидова пространства,

ко­

ординат ы

произвольного

элем ент а х

от носит ельно

орт онорм иро­

ванного базиса равны скалярны м произведениям эт ого

элем ент а

на

соот вет ст вую щ ие базисные элем ент ы .

п о

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

уравнений с п неизвестны м и вида

(3.1). Э ту систему к ратк о запиш ем

в м атричной ф орм е 17)

А Х

=

В .

(4.26)

Н апомним, что

в этой записи

символ А обозначает м атрицу а — ||а^-||

(г = 1 , 2 , . . . ,

ш;

j = 1,

2, . .. ,

n),

а символы X и В

обозначаю т столб­

цы (или векторы ) вида

X I

Ь \

X

Х 2

,

ъ 2

=

в

=

Х п

Ь т

первы й из

которы х

п одлеж ит

определению ,

а второй — задан .

смысл

19) .

В

этом п ар агр аф е

мы излож им принадлеж ащ ий А .Н .

Тихоно­

ву алгоритм ,

позволяю щ ий находить так

назы ваем ое

норм альное

(т. е.

наиболее

близкое

к началу

координат) реш ение

X

с точно­

стью ,

соответствую щ ей

точности

задан и я

элем ентов м атрицы А и