книги / Линейная алгебра.-1

3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

131

З а м е ч а н и е 2 . У равнение

det (А - AI) = 0

(5.29)

ж и ть ker А и im А .

О п р едел ен и е

2. Ч исло Л назы вается

собст венны м зн а чен и ем

оператора А , если сущ ествует ненулевой вектор х такой, что

А х = Лх.

(5.30)

П ри этом вектор х

назы вается собст венны м

вект ором оператора А ,

отвечаю щ им собственному значению Л.

и х — собственны й вектор, отвечаю щ ий

этом у Л (х / 0). П ерепиш ем

соотнош ение (5.30) в следую щ ей ф орме:

(А — А1)х =

0.

dim (ker (А — AI)) ^

1.

(5.31)

П оскольку, согласно теореме 5.1,

d i m ( i m ( A — AI)) +

dim (ker (А

— AI)) =

n,

то из этого равенства и неравенства (5.31) получаем

d i m ( i m ( A

— AI)) ^ п

— 1.

(5.32)

132

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

По

определению , dim (im (А

— AI)) равн яется

рангу оператора

А — AI. П оэтому из неравенства

(5.32) следует

rang (А

— AI) < п.

(5.33)

Таким образом, если А — собственное значение, то ранг м атрицы А — X I

оператора А — AI меньш е п, т. е. det (А — AI) = 0

и, следовательно,

А — корень характеристического уравнения.

гда справедливо неравенство

(5.32), а следовательно,

и неравенство

(5.31), из которого вы текает

сущ ествование д л я числа

А такого нену­

Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть

базисны е

векторы е/,

являю тся соб­

ственны ми векторам и оператора А . Тогда

А е/,

А^е^,

(5.34)

и поэтому м атри ц а А оператора А

имеет вид

(см. соотнош ения

(5.13)

и понятие м атрицы линейного оператора)

(

Ai

0 . ..

0

\

0

2

..

0

А =

А

\

0

0 .

Ап

/

т. е. явл яется диагональной .

П усть м атри ц а А линейного

оператора А

в данном базисе

{ е Д

диагональна, т. е. имеет вид

(5.35). Тогда соотнош ения

(5.13) прим ут

3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

133

тора А

различны. Тогда от вечающие им собственные векторы е ь

в2, . .

е р линейно независимы.

У

a ke k

= 0.

(5.36)

k = 1

Тогда, используя свойства линейного оператора, получим

т +

1

У "

а кА е к

= 0.

(5.37)

к =

1

Т ак как

— собственны е векторы , то Ае&

= А ^щ , и поэтому р а ­

венство (5.37) мож но переписать следую щ им образом:

т +

1

о^кХк^к

=

0.

(5.38)

к = 1

Согласно

(5.36)

Am +

=

0 . В ы читая это равенство из

равенства (5.38), найдем

т

^

^ (Хк

Хш -\-1)(Хк^к — 0.

(5.39)

к =

1

По условию все Ак различны , т. е. Ак — Am +

1 7 ^ 0. П оэтому из (5.39)

и предполож ения

о линейной

независим ости

векторов

e i, в 2

, ... , е ш

следует, что

ад =

012 — . . . = <тш =

0.

О тсю да и из

(6.36),

а такж е

а щ 1

=

0- Таким образом, из равен ства (5.36) мы получаем , что ад =

= 0 ( 2

=

. .. = a m + i = 0. Это означает, что векторы e i, в 2 , . .. , e m + i

1.

С пециальное п редставление линейной ф ор м ы в евкли ­

довом пространстве. П усть У — евклидово пространство, а С — ком ­

плексная плоскость (одномерное комплексное линейное простран ство).

В

п. 1

§ 1

этой

главы

мы

ввели

понятие

ли н ей н о й

формы —

линейного оператора, действую щ его из У в С . В этом пункте мы полу­

чим

специальное представление произвольной линейной ф орм ы / из

н у

,

С).

Л ем м а . П уст ь /

— ли н ей н а я форма из L (У,

С ). Тогда сущ ест ву­

ет единст венны й элем ен т h

из V

т акой ,

чт о

/ ( х ) =

(х,

h).

(5.40)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я

доказательства сущ ествования

элемен­

та h

выберем в У ортонорм ированны й базис e i,

в 2 , ... , е п.

Рассм отрим

элемент

h,

координаты

h k

которого в вы бранном ба­

зисе определяю тся соотнош ениями 8)

h k

= f ( e k ).

(5.41)

Таким образом , h =

Y lk = i h k e k-

П усть

х

=

Y lk = i %к е к — произвольны й элемент

п ространства У.

И спользуя

свойства

линейной ф орм ы

/ и

равенство

(5.41), получим

п

п

/ ( х )

=

5

> * / ( e fe)

=

(5.42)

к = 1

к = 1

Т ак

как

в

ортонорм ированном

базисе

{еп }

скалярное

произве­

дение

(х, h)

векторов

х

=

Y lk = i x k e k

и h

=

Y lk = i ^ k e k равно

Y lk = i x k h k 5

т0 из (5.42)

получаем /

(х,

h).

С ущ ествование вектора h доказано.

4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

135

и z из L и

лю бого комплексного числа Л вы полняю тся соотнош ения

в (х

+

у,

z)

=

В (х, z ) +

В (у,

z),

В (х,

у

+

z)

=

В (х, у ) +

В (х,

z),

(5.43)

В ( Х х ,

у)

= АВ ( х ,

у),

В ( х , Ay)

= Х В (х,

у).

И ны ми

словами, полуторалинейная ф о р м а В (х, у)

представляет

собой числовую ф ункцию двух

векторны х аргум ентов

х, у, опреде­

ленную на всевозм ож ны х векторах х н у

линейного п ространства L,

ный оператор А из L (V,

V ) такой, что

В { х , у)

= (х, А у).

(5.44)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

у — лю бой ф иксированны й

элемент

136

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Б(х, у) = (х, h)-

(5-45)

И так, каж дом у у из У по правилу (5.45)

ставится в соответствие

ров ф о р м а В (х, у)

м ож ет бы ть представлена в виде (5.44). О чевидно,

д л я лю бы х

х н у справедливо соотнош ение

(х, A iy ) =

(х, А 2 У),

из

которого следует равенство (х, А 2у

— A iy )

= 0 . П олагая в этом

р а ­

венстве

х

=

А 2 У — A iy и используя определение норм ы элемента,

найдем

||А 2у

-

A iy ||

=

0.

Таким образом, д л я лю бого у из У имеет место равенство А 2 У =

= A iy ,

т. е. А 2

=

A i. Т еорема доказана.

С л е д с т в и е .

П уст ь

В (х, у) — полут оралинейная форма в е вк ли ­

довом прост ранст ве

У.

Тогда

сущ ест вует

единст венны й ли н ей н ы й

оператор А

из L (У,

У)

т акой , чт о

В {х .,

у) =

(А х , у ).

(5.46)

С праведливость

следствия

вы текает

из следую щ их

рассуж дений .

В о-первы х,

ф о р м а

В \

(х, у) =

В (х, у)

явл яется полуторалинейной

(это следует

из

того,

что В (х, у) — полуторалинейная

ф орм а,

и

из

определения

такой

ф орм ы ). Д алее,

по теореме 5.11

получаем

дл я

В i(x, у)

представление в виде

B i (у,

х) =

(у,

А х ).

(5.47)

Т ак как сопряж енное значение от В \

(х, у) равно В \ (х, у ), то, беря

ство В \ (х, у) =

В (х, у ), получим

£ ( х , у) =

(у, А х).

(5.48)

Но (у,

А х ) =

(А х , у) (см. гл. 4, § 3, п. 1 ). П оэтом у из (5.48) получаем

равенство

(5.46).

С ледствие доказано.

З а м е ч а н и е

2 . Т еорема 5.11 и

следствие из этой

теорем ы спра­

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

137

н ая ф орм а» надо зам енить термином

«билинейная ф орм а». См. такж е

зам ечание

1 .

Введем

понятие м атрицы

полуторалинейной ф орм ы

в данном ба­

зисе {е/Д.

П усть X, у

п ри н адлеж ат

V и х

=

Y!k = i x J e B У =

E * = i2/fee* ~

разлож ение х

и у по базису

{е/Д. И з определения полуторалинейной

ф орм ы следую т соотнош ения

(п

п

\

п

п

Х л М ’ Х

у*е*

= X

X x3ykBieh еД (5-49)

3 = 1

к = 1

/

j = 1 к = 1

П олагая

bjk

= В

(e j, е к),

(5.50)

В(х, у) =

X

bikx3yk-

j,k = l

М ат рица

В

=

(bjk) назы вает ся

м а т рицей

полут оралинейной

формы В (х, у) в базисе {е/Д.

С праведливо следую щ ее утверж дение.

П уст ь

полут оралинейная

форма

В (х,

у)

предст авлена

в

в и ­

де (5.46)

Б ( х , у) =

(А х , у ).

(5.46)

П уст ь далее элем ент ы м ат рицы А оператора А

в данном ортонор-

м ированном

базисе равны а к-. Тогда в эт ом

базисе

bjk

=

ак . Д л я

до ­

к азательства обратим ся к вы раж ению

(5.50)

д л я

коэф ф ициентов

bjk

полуторалинейной

ф орм ы . П реобразуем правую

часть

(5.50)

с помо­

щ ью (5.46). П олучим, согласно

(5.13),

(п

^

\

=

п

Oj(Gq, еД .

^

е/,

j

^

^

q =

1

/

q =

1

Т ак как базис {е/Д ортонорм ированны й, то (ед, е Д

=

0 , если q ф к

и (щ , ek)

= 1. П оэтому из всех слагаем ы х последней суммы отличны м

от нуля будет лиш ь то, которое получается при q

=

к. Таким образом,

bjk = akj .

У тверж дение доказано.

З а м е ч а н и е

3. Если полуторалинейная ф о р м а представлена в ви­

де В (х, у) =

(х, А у ) и элем енты

м атрицы

А оператора А

в данном

ортонорм ированном базисе равны ак , то в этом базисе bjk =

ак .

138

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 5. Л и н е й н ы е с а м о с о п р я ж е н н ы е о п е р а т о р ы в е в к л и д о в о м

п р о с т р а н с т в е

1. П о н я т и е

с о п р я ж е н н о г о о п е р а т о р а . М ы будем рассм атри ­

стве V .

О п р е д е л е н и е 1 . О ператор А*

из L (V, V ) назы вается со п р яж ен ­

ны м к линейному оператору А , если д л я лю бы х х и у из V

вы полня­

ется соотнош ение

(А х , у) =

(х, А *у)

(5.51)

(А х , а у ! + /Зу2) =

й (А х , у г) +

/?(А х ,

у 2) =

=

й (х ,

А * у х)

+ /?(х,

А * у 2)

= (х, A * (a y i + /?у2)),

справедливого д л я лю бы х элементов х, y i, У2

и лю бы х комплексны х

чисел а и /3.

Д окаж ем следую щ ую теорему.

Т е о р е м а

5 .1 2 . К аж ды й ли н ей н ы й оператор А им еет единст вен ­

ны й сопряж енны й.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

О чевидно, скалярное

произведение (А х , у)

представляет

собой

полуторалинейную

ф орм у

(см. гл. 4, § 3, п. 1 и

определение

полуторалинейной

ф орм ы ). По теорем е 5.11 сущ еству­

1

°)

I*

=

I.

4°) (А*)* = А .

2

°)

(А

+

В )* _ = А*

+

В*.

5°) (А В )* = В *А *.

3°) (АА*) = АА*.

Д о казател ьств а

свойств

1°)-4°)

элем ентарны , и мы предостав­

ляем их читателю .

П риведем

доказательство свойства

5°). С оглас­

но определению произведения

операторов справедливо

соотнош ение

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

139

(А В )х = А (В х). С помощ ью этого равен ства и определения

сопря­

((А В )х, у) = (А (В х), у)

=

(В х, А*)

=

=

(х, В*(А *у)) = (х, (В*А *)у).

Таким образом, ((А В )х,

у)

= (х,

(В*А *)у). И ны ми словами, опера­

тор В* А* явл яется сопряж енны м

к оператору А В . С праведливость

свойства 5°) установлена.

О п р едел ен и е 2. Л инейны й оператор А

из

L (У, V ) н азы вается

сам осопряж енны м , если справедливо равенство

А* = А.

С ам осопряж енны й оператор

в вещ ественном

пространстве определя­

ется аналогично.

П ростейш им примером

самосопряж енного

оператора является

Т еорем а

5.13. П уст ь А

— ли н ей н ы й

операт ор, дейст вую щ ий в

ком плексном

евклидовом

прост ранст ве

V . Тогда справедливо

пред­

ст авление A R = A R +

гА /,

где A R и А / — сам осопряж енны е

опе-

A R =

(А + А *)/ 2

и А/

=

(А — А *)/2г — самосопряж енны е.

О чевидно, А =

A R

+

гА /. Т еорема доказана.

В

следую щ ей

теореме

вы ясняю тся условия сам осопряж енности

Т еорем а 5 .14. Д л я

того чтобы произведение А В сам осопряж ен­

ны х операторов А и В

было сам осопряж енны м операт ором , необхо­

140

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак

как

А и В — сам осопряж енны е операто­

ры , то, согласно свойству 5°)

сопряж енны х операторов

(см. п.

1 этого

п ар агр аф а), справедливы соотнош ения

(АВ)*

=

В*А*

=

В А .

(5.52)

С ледовательно,

если А В

=

В А ,

то

(А В )* = А В ,

т. е.

опера­

тор А В — самосопряж енны й .

Если

ж е

А В — сам осопряж енны й

опе­

ратор, то А В =

(А В)*, и

тогда,

на

основании

(5.52),

А В

=

В А.

Т еорема доказана.

В дальнейш их теорем ах устанавливается р яд

важ н ы х

свойств са­

м осопряж енны х операторов.

Т еорем а 5 .15. Е сли оператор А сам осопряж енны й,

то для любого

х G V скалярное произведение (А х, х) — вещ ест венное число.

евклидовом пространстве (А х, х) = (х, А х)

и определения сам осопря­

ж енного оператора (А х,

х) = (х,

А х) 9) .

Т еорем а 5.16. С обст венные зн а чен и я

сам осопряж енного опера­

тора вещ ест венны .

Л — собственное значение сам осопря­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

ж енного

оператора А . По

определению собственного значения опе­

р ато р а А

(см. определение

2 §

3 этой главы ) сущ ествует ненулевой

(А х, х)

=

А(х, х) = А||х||

10) .

Т ак как

||х||

и (А х,

х)

вещ ественны ,

то,

очевидно,

и

А —

вещ ественное число. Т еорема доказана.

В следую щ ей теореме вы ясняется свойство ортогональности

соб­

ственны х векторов самосопряж енного оператора.

Т еорем а

5.17.

Е сли А

— сам осопряж енны й

операт ор,

то

соб­