Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>


§ 2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ								261
С оотнош ение (8.36)	назы вается		условием сим м ет р и и тензора					А по
ниж ним индексам с ном ерам и т и п .
Тензор А назы вается кососим м ет ричны м по ниж ним индексам i m
и гп , если при перестановке этих				индексов справедливо соотнош ение
дкг ...к			=	ki...kq				(8.37)
Л	Н . . л п			- А ,Ъ\ •.•Ъ'п •^772 • • •Ър
С оотнош ение (8.37)	назы вается		условием кососим м ет рии			тензора А
по ниж ним индексам с ном ерам и т и п .
А налогично вводится понятие симметрии и кососимм етрии тензора
по двум верхним индексам .
З а м е ч а н и е . Если		условие симметрии (кососимметрии)					по	н и ж
ним индексам i m и	i n	вы полняется д л я тензора			А в данной		системе
координат, то оно вы полняется и в лю бой другой					системе	координат.
П ерейдем теперь к описанию			операции сим м ет рирования.
П усть А — тензор	типа (р, q)		с координатам и		(8.35). П ереставим у
каж дой координаты	ниж ние индексы с ном ерам и ш и п и					затем по
строим тензор А(ш? п) с координатам и
\ ( 4		;:7:...;....,,		+ 4 v : . t	) •			(8-38)
О перация построения тензора				А(ш?п) назы вается операцией				си м

м ет рирования тензора А по ниж ним индексам с ном ерам и т и п .

О тметим, что координаты (8.38) тензора А(ш?п) обы чно обознача

ю тся символами

дк\...кд

(8.39)

i\ — {im — in)—ip

О чевидно, д л я тензора А(ш?п) вы полняется условие сим метрии (8.36) по ниж ним индексам с ном ерам и т и п .

О перация сим м етрирования тензора по верхним индексам с номе рам и т и п определяется аналогично. П остроенны й тензор обозначает

ся символом А.(т ’п) . Д л я			координат тензора А.(т ’п) используется обо
значение, аналогичное обозначению (8.39)					координат	тензора A(m?ny
О перация альт ернирования тензора А					по ниж ним	индексам с но
м ерам и т и п	производится следую щ им образом .
У каж дой координаты тензора А переставляю тся ниж ние индексы
с ном ерам и ш и п и		затем строится тензор А[ш? п] с координатам и
	1	(А * 1	■kq	■kq		(8.40)
	2		im in	in •• •im
О перация	построения		тензора A[m?n]		назы вается	операцией а ль
т ернирования	тензора А по ниж ним индексам с ном ерам и т и п .

262			ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ
К оординаты	(8.40)	тензора	Л[т?п ]	обы чно обозначаю тся			символами
								(8.41)
О чевидно,	д л я	тензора	А[ш?п]	вы полняется		условие	кососиммет-
рии (8.37) по ниж ним индексам гш				и i n .
О перация альтернирования тензора					по вер хн и м индексам			i m и i n
определяется	аналогично. П остроенны й				тензор	обозначается		симво

лом Т га> 4 Д л я координат тензора А К " ] используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат тензора Аут ^пу

В заклю чение отметим очевидное равенство

A^(га, п ) “1 ^ [т ,п ]-

§3. М етри ческ и й тен зор . О сновны е операции векторной

алгебры в тен зорн ы х обозн ач ен и ях

1. П онятие м етрического тен зор а в евклидовом п ростран стве.

В § 2 гл. 7 говорилось о том, что скалярное произведение в ко нечномерном линейном пространстве м ож ет бы ть задано с помощ ью билинейной ф орм ы , полярной некоторой полож ительно определенной квадрати чн ой ф орм е. В этом п ар агр аф е мы будем считать, что в рас см атриваем ом конечномерном евклидовом пространстве Е п скалярное произведение задано такого типа билинейной ф орм ой А (х, у).

В п. 2 преды дущ его

п ар а гр аф а

(пример

3) мы

убедились, что

коэф ф и ц и ен ты

м атрицы

билинейной

ф орм ы могут

рассм атри ваться

как координаты

тензора. Эти коэф ф и ц и ен ты

д л я

билинейной ф о р

мы А (х,

у ), с помощ ью которой задается скалярное ум нож ение в Е п ,

мы обозначим через gij.

Таким образом,

— координаты некоторого

тензора G в базисе e i, е 2, ... , е п . Э тот тензор

типа

, 0 ) н азы вается

м ет р и ческ и м

т ензором

п ространства Е п . Н апомним, что координа

ты gij тензора G определяю тся соотнош ениями

9ij =

A (e i> e j)

(8.42)

(см. ф орм улу

(8.23)).

А (х,

у)

Зам етим

такж е,

что

так

как

ф о р м а

сим м етрична

(А (х, у)

= А (у, х)),

то,

согласно (8.42),

gij =

gji, т. е. м ет рический

т ензор G

сим м ет р и чен по н и ж н и м

индексам i и j .

П усть х н у

— произвольны е векторы

в Е п , х г и у 3 — координаты

этих векторов

в базисе e i,

е 2, ... ,

е п .

§ 3. ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

263

С калярное произведение (х, у) векторов х н у равно А (х, у). О бра щ аясь к вы раж ению (8.24) д л я билинейной ф орм ы в данном базисе и

используя равенство (х, у) =	А (х,		у), получим следую щ ую ф орм улу
д л я скалярного произведения (х,		у)	векторов х н у :
(х,	у)	=	д ц х гу 3.	(8.43)

В частности, скалярны е произведения (щ , e j) базисны х векторов щ и ej равны gij\

(е гг e j)	=	9ij	(8-44)
(это следует из равенства (щ , e j)	=	Л ( щ , e j) и из ф орм улы	(8.42);

впрочем, ф орм улу (8.44) легко получить и непосредственно из (8.43)).

Рассм отрим теперь, н аряду с базисом	e i, в 2 , ... , е п , взаим ны й ба
зис е 1, е 2, . .. , е п . П усть х = адег и у =	y je 3 — разлож ен и я векторов

х и у по векторам взаимного базиса. Тогда д л я скалярного произведе

ния (х,	у) получим следую щ ую ф орм улу:
	(х,	у)	= Т ( х , у) =	A	{ x i e	l ,	y j e 3 )	= А ( е г , e 3 )	x i y	j .
О бозначая
			9ij	=	А ( е \		е 3),			(8.45)
получим следую щ ее вы раж ение д л я						(х, у):
			(х,	у ) =		g^Xiyj.				(8.46)
К а к	и в	и. 2	преды дущ его	п ар а гр аф а				(см. прим ер	3),	легко	убе
диться,	что	д гз	представляю т	собой координаты тензора						типа (0	, 2 ),
сим м етричного по индексам i				и j . Э тот тензор типа (0, 2					) такж е н азы

вается м ет р и ческ и м т ензором п ространства Е п .

М ы будем обозначать его тем ж е символом G, что и введенны й вы

ше м етрический тензор типа (2 , 0 ): в следую щ ем пункте мы вы ясним ,

что координаты и д гз м ож но рассм атри вать как ковариантны е и

кон травариантны е координаты одного и того ж е тензора. В дальн ей

ш ем эти координаты g i j и д гз мы так и будем н азы вать ковариантны м и и контравариантны м и координатам и тензора G.

В конце п. 2 § 1 этой главы , исследуя вопрос о построении взаим ны х

базисов, мы ввели величины и д гз по ф орм улам (8.10). С равнивая

эти	ф орм улы с ф орм улам и (8.42) и (8.45), мы приходим к выводу, что
эти	величины представляю т собой ковариантны е и контравариантны е

264	ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ
координаты	метрического тензора G. В этом ж е и. 2 § 1 мы доказа
ли, что м атрицы , элементами которы х являю тся координаты gij		и д гз,
взаим но обратны е. Это означает, что справедливо соотнош ение
	9 ij9jk = Si-	(8.47)

Таким образом, координаты дгз тензора G м огут бы ть построены по координатам и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной м атрицы ).

2. О перация п однятия				и	опускания индексов				с пом ощ ью
м етрического	тен зор а . М етрический тензор G используется									дл я
операции поднят ия и опускания						индексов у координат			данного	тен
зора А .
Э та операция заклю чается в следую щ ем.
П усть А — тензор		типа (р, q)			с координатам и A k^			"	' kq. Д л я при
м ера покаж ем , каким		образом проводится операция поднятия индек
са i\. С вернем тензоры G			и А	по верхнему индексу j у первого тензора
и по ниж нем у индексу			i\ у	второго тензора, т. е. построим тензор
с координатам и	g liXA ai2			и у координат полученного тензора ин-
деке i обозначим через i\. Затем					эти координаты обозначим сим вола
ми A ^ ^ x\^ " 'kq. Таким образом,
		*i\k\k,2---kq			_	Цск	*k\k2---kq		/о	/\|о\
	A i2...ip				~	9	A ai2...ip '		(8 *4 8 )
З а м е ч а н и е	1 . Т ак		как	порядок			располож ения	индексов у		ко
ординат тензора определяет				«нумерацию » его координат, то, вообщ е
говоря, при поднятии		индекса нуж но					отм ечать место	среди верхних

индексов, на которое будет поднят данны й ниж ний индекс. И ногда в ряду ниж них индексов нуж но отм етить место подним аемого ниж него

индекса. Это делается	с помощ ью точки, которая	ставится на	место
поднятого индекса. П оэтому координаты тензора в левой части			(8.48)
следовало бы записать	следую щ им образом:	- ^

К примеру, если первы й ниж ний индекс подним ается на второе ме сто среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор с ко-

л к1г1к2...кд
ординатами A i2	л	q.
З а м е ч а н и е	2	. О перация опускания индекса с помощ ью м етри
ческого тензора	G определяется аналогично. Н априм ер, координаты

тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса k q на по следнее место в ряду ниж них индексов, имею т следую щ ий вид:

Л к 1 — k q — 1 — k q — \ OL

^ii.-.ipkq ~ 9kqOt^i1...ip

§ 3. ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

265

З а м е ч а н и е 3. О перацию поднятия или опускания индекса м ож

но прим енять несколько раз, причем каж ды й раз по отнош ению к р аз личны м индексам данного тензора.

Рассм отрим прим еры поднятия и опускания индексов у тензоров.

П усть х — вектор, ад и х г — соответственно его ковариантны е и контравари ан тн ы е координаты (напомним, что вектор представляет собой

тензор ранга 1 ).
П однимем у координат ад индекс i				с помощ ью метрического тен
зора G. В результате получим тензор				с координатам и д гах а . Т ак как
Ха =	(х, e j , то	giax a	= g ia (x, е а )	=	(х,	giae a ). Согласно (8.11)
д гае а	= е г, а (х,	е г) =	х г. П оэтому д гах а		=	х г.

Таким образом, кон травариантны е координаты х г вектора х м ож но получить как результат операции поднятия индекса у ковариантны х координат ад этого вектора.

К овариантны е координаты ад м огут бы ть получены как результат операции опускания индекса у кон травари ан тн ы х координат х г.

В ы ясним результат двукратн ого прим енения операции поднятия индекса у ковариантны х координат gij метрического тензора G с по

мощ ью кон травари ан тн ы х координат дгз этого ж е тензора. И ны ми сло вами, вы ясним , что представляет собой тензор с координатам и

		g iagJl3 gap-		(8.49)
И спользуя	сим метрию	тензора G по ниж ним индексам		и соотно
ш ение (8.47),	найдем д3^ д а (3 —		д ^ д р а = 53а . П одставляя	найденное
вы раж ение д л я д3^ да (3 в		(8.49)	и используя свойства сим вола К роне-

кера S3a , получим

= д ц ■

Соверш енно аналогично мож но убедиться в справедливости равенства

giagjpg ^ — gij-

П оследние две ф орм улы еще раз подчеркиваю т, что gij и дгз есте ственно рассм атри вать как ковариантны е и кон травариантны е коор

ди н аты метрического тензора G.
3. О ртонорм ированны е базисы в Е п . М ы		уж е вы яснили, что
скалярное произведение (х, у) в Е п м ож ет бы ть		задано с помощ ью
м етрического тензора G, координаты gij	которого представляю т собой
элем енты сим м етричной полож ительно	определенной м атрицы (gij).
И менно, согласно (8.43),

(х, у) = gijX ly 3.

266	ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ

И звестно, что с помощ ью преобразования базиса м атрицу билиней ной ф орм ы д ц х 1уЭ мож но привести к диагональном у виду. П ри этом, в силу полож ительной определенности м атрицы , после приведения м ат рицы (gij) к диагональном у виду координаты метрического тензора будут равны нулю при i ф j и единице при i — j . О бозначая эти координаты преж ним символом д ц , получим :

	0	при i ф j ,
	9 i j —	(8.50)
	1	при i — j .
Б ази с щ , в котором координаты дц метрического тензора удовле
творяю т условию	(8.50), явл яется ортонорм ированны м . Д ей стви тель
но, так как (щ , еД	= дц (см. (8.44)), то, согласно (8.50),
	0	при i ф j ,
	1	при i = j ,
а это и означает, что щ — ортонорм ированны й базис.
В гл. 4 мы вы яснили, что в ортонорм ированием базисе скалярное

произведение (х, у) векторов х и у с координатам и х г и у 3 м ож ет бы ть вы числено по ф орм уле

(x,y) =	5 > V ,	(8-51)
	2 = 1
а к вад р ат длины (х, х) вектора х — по ф орм уле
	п
(х, х) =		(8.52)
О братим ся к так назы ваем ы м	орт огональны м ли н ей н ы м	преобра

зо ван иям ., т. е. к таким линейны м преобразованиям , при которы х орто норм ированны й базис переходит в ортонорм ированны й . И ны ми слова ми, если L — ортогональное преобразование и щ — ортонорм ированны й

базис, то L e i	такж е образует ортонорм ированны й базис.
И сследуем	действие преобразования L на произвольны й век

тор х = x le i . О бозначим через X результат действия L на х :

X= L x .

Используя свойство линейности L, найдем

X = Ьх*ег = x iL ei.

	§ 3. ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ		267
Т ак	как Le^ — базис, то из последнего соотнош ения вы текает,		что
вектор	X имеет в базисе Le^ такие ж е координаты ,	как и вектор х
в базисе щ , т. е. при ортогональном преобразовании		сохраняю т	свое
значение координаты вектора.

П оскольку L e i — ортонорм ированны й базис, то скалярное произве

дение	(X, Y ) векторов X			= L x	и Y	= L y м ож ет	бы ть найдено по
ф орм уле (8.51),		а к вад р ат		длины	(X , X ) вектора X		=	L x — по ф о р
муле (8.52). М ы		вы яснили,		что при ортогональны х преобразованиях
сохраняю т свое значение координаты						векторов. О тсю да и из соотно
ш ений	(8.51) и (8.52) получаем
		(X,	Y ) =	(х, у),	(X, X ) = (х, х).
Таким	образом,	при	орт огональны х			преобразованиях		не м ен яю т ся
длины	вект оров и и х скалярны е произведения.

К а к известно, ортогональны е преобразования L м огут бы ть задан ы

с помощ ью ортогональной м атрицы . О пределитель det L такой м атри

цы удовлетворяет условию det L = =Ь 1.
В ы берем один из		ортонорм ированны х базисов	и	договорим ся
н азы вать	этот базис	правым. В этом случае будем	говорить, что
евклидово	пространство Е п ориент ировано. Все базисы			в Е п , полу

чаю щ иеся из данного ортогональны м и преобразованиям и с определи

телем, равны м + 1 , назовем правы м и , а все базисы , которы е получа

ю тся из данного ортогональны м и преобразованиям и с определителем , равны м — 1 , — левы м и . Л егко убедиться, что преобразование правого

базиса в правы й характеризуется равенством + 1				определителя преоб
разования, а левого в левы й — равенством			—1 этого определителя.
О бозначим	через	О (п ) — м нож ество	всех	ортогональны х пре
образований	в Е п ,	а через 0 + (п) — м нож ество ортогональны х

преобразований п равы х базисов.

Эти м нож ества будут рассм отрены в следую щ ей главе.

З а м е ч а н и е . В дальнейш ем мы будем н азы вать произвольны й ба зис e i, в 2 , ... , е п правы м (левы м ), если определитель м атрицы пере

хода от вы бранного ортонорм ированного базиса к базису e i, в 2 , ... , е п

полож ителен (отри ц ателен ).
4.	Д и скрим инантны й	тен зор . Рассм отрим	так назы ваем ы й
вполне	кососим м ет рический	т ензор е ^ 2..лр типа	(р, 0 ), т. е. такой

тензор, которы й кососим м етричен по лю бы м двум ниж ним индексам . Д л я того чтобы этот тензор не бы л нулевы м, необходимо, чтобы число р не превы ш ало п, т. е. удовлетворяло условию р ^ п, ибо, если

р > п, то лю бая координата будет иметь по м еньш ей мере д в а одинако вы х индекса, при перестановке которы х эта координата одновременно д о л ж н а и изм енить знак, и остаться неизменной. Это м ож ет бы ть лиш ь

268 ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ

в том случае, когда у казан н ая координата р авн а нулю . С ледовательно, при р > п лю бая координата тензора равн а нулю, т. е. тензор является нулевым .

О собый интерес представляет вполне кососим м етрический тензор,

ранг р которого равен разм ерности п пространства.

Л ю бая координата £ ^ ^ ..л п такого тензора м ож ет бы ть найдена по

ф орм уле
	О,		если среди индексов Л ,		«2 , . . гп
= <			хотя бы д в а совпадаю т,
	( _ l ) slgnаS \2 ...nч		если все индексы различны .
					(8.53)
В ф орм уле	(8.53) signer	равно	0 или + 1 в зависим ости от четно
сти или нечетности перестановки а				— (Л , «2 , . .. , i n ) (signer назы ваю т
такж е знаком этой перестановки).
Рассм отрим	какую -либо	правую		ортонорм ированную	систему ко
ординат и полож им в ней
		£1 2 . ..п		— 1-	(8.54)

С помощ ью соотнош ения (8.53) в данной системе координат определя

ю тся все координаты £%хг^..лп

вполне кососим м етрического тензора, а

следовательно и сам тензор, которы й в дальнейш ем

мы

будем

н азы

вать д искрим инант ны м

т ензором . К оординаты этого тензора в про

извольном

базисе e i, в 2 , ... ,

е п обозначим через

О бозначим символом

м атрицу

перехода от вы бранного

право

го ортонорм ированного базиса к некотором у базису е ^ ,

е у , ... ,

е п/, а

через Ь\, — элем енты этой м атрицы .

Согласно (8.53) д л я вы числения координат

г> ^

дискрим инант

ного тензора в базисе е ^ , в 2 ',

... ,

е п/ достаточно зн ать значение коор

ди н аты Ci/2 '...n'-

И спользуя

ф орм улу

(8.19)

преобразования

координат тензора и

соотнош ение

(8.54), получим,

переходя от вы бранного

ортонорм иро

ванного базиса к базису

е ^ ,

е у ,

... ,

е п/,

Cl'2 '...n' =

b\)b^,

. . .b ^,£ h h ...in

ei2...n

( - l ) signCT« .

. . ^

(T = (n Л2, ..,in)

det(b^/)

det B .

(8.55)

П усть

g#j> — координаты

метрического

тензора

базисе ei/,

е 2 ', . .. , е п/. Т ак

как м атри ц а

(Щ 'д) есть

м атри ц а

билинейной

§ 3. ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

269

ф орм ы g i'j'X 1 y i

, представляю щ ей собой скалярное произведение век

торов

х и

координатам и

х г

и y i ,

то при переходе от

данно

го ортонорм ированного

базиса (в котором

м атри ц а Е

рассм атри вае

мой билинейной ф орм ы явл яется единичной)

к базису е й , в 2 ',

... ,

е п/

справедлива

ф орм ула G

В 1Е В .

О тсю да

следует,

что det G

= det

В 1 det

i^ d e t В

(det В ) 2.

О бозначая det G

через

д ,

получим

из

последнего

соотнош ения

det В

=Ь у/д.

О бращ аясь

соотнош ениям (8.55), мы

получим ,

что

Су2'...п' —

=Ь у/д. Таким

образом, в произвольном базисе e i, в 2

, ... ,

е п

вы раж ение

д л я

координаты

Ci2 ...n

дискрим инантного

тензора

имеет

вид

С1 2 ...П

±л/#>

(8.56)

где g — определитель

м атрицы

(gij)

метрического тензора

бази

се e i ,

в 2 ,

.•• 1 .

О тметим,

что в ф орм уле

(8.56)

зн ак

плю с

соответствует правом у

базису, а зн ак минус — левому.

О р и е н т и р о в а н н ы й

о б ъ е м . Введем в ориентированном евкли

довом

пространстве Е п так назы ваем ую

аф ф инную сист ем у

коорди

нат ., определив ее как совокупность

ф иксированной точки

ко

ординатами

(0, 0, ... ,

базиса

e i,

в 2 , ... ,

е п . К оординаты

любой

точки

в Е п определяю тся

в этом

случае как координаты

в бази

се e i,

е 2, ... ,

е п вектора

О М .

Рассм отрим в Е п занум ерованную систему из п векторов

... ,

х, х,

(8.57)

и рассм отрим

всевозм ож ны е

векторы

О М ,

определяем ы е

соотно

ш ениями

____

О М

ац х

<л2х

+ . ..

а пх,

(8.58)

при всевозм ож ны х сц, удовлетворяю щ их неравенствам 0

^ сц ^

1 , г —

= 1 , 2

, ... , п.

М нож ество всех точек

п ространства Е п , определяемое соотно

ш ениями

(8.58),

образует

так

назы ваем ы й

п -м ерны й параллелепипед

в Е п , н атянуты й на векторы (8.57).

1 2

этого п араллелепипеда

О риент ированны м объемом V (х, х, ... ,

х)

назы вается число

У (х, х, ... , х)

(8.59)

Ci1 i2 '"inx l l x 12 .. . x ln .

П ри этом

сцг2 ...гп — координаты

дискрим инантного тензора

бази-

се e i, в 2 , ... , е п , а х п , х 12, ... , х 1п — кон травариантны е координаты

270		ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ
12	п	.
векторов х, х, . .	х	в этом ж е оазисе.

Термин «ориентированны й объем» объясняется тем, что в случае,

если векторы (8.57) образую т правы й базис, ориентированны й объем

полож ителен (V		> 0 ), а в случае левого базиса — отрицателен (V < 0 ).
О тметим,	что	при п	= 3 ориентированны й объем, вы числяем ы й
д л я п = 3	по ф орм уле		(8.59), представляет	собой обы чны й объем
			12	3
параллелепипеда, натянутого на векторы х, х,				х, взяты й со знаком + ,
	12	3
если тройка х, х,		х п равая, и со знаком —, если эта тройка левая.

6. В ек тор н ое п р ои зв еден и е. С помощ ью дискрим инантного тен зора мож но записать в трехмерном пространстве Е 3 в тензорном виде

векторное произведение. Т акая запись ш ироко используется при р аз личны х вы числениях в так назы ваем ы х криволинейны х координатах.

П усть Cijk — координаты дискрим инантного	тензора в данном ба
зисе e i, в 2 , ез п ространства Е 3. П однимем у	этого тензора первы й

индекс г с помощ ью метрического тензора д1 т , т. е. рассм отрим тен

зор Cjk . Тогда координаты	z l вектора z = [ху] (т. е. векторного про
изведения векторов х и у)	в базисе e i, в 2 , ез	имею т вид
	= С)кх > у к .	(8.60)

Т ак как сг^кх ^ у к представляет собой тензор типа (0, 1), то z l м ож но рассм атри вать как кон травариантны е координаты вектора. Поэтому, чтобы убедиться, что z l действительно представляю т собой коорди

н аты векторного произведения, достаточно обратиться к какой-либо определенной системе координат и непосредственно провести провер ку. Э та проверка элем ентарна д л я ортонорм ированного базиса и предо ставляется читателю .

С оотнош ение

(8.60) м ож ет служ ить основой д л я

введения вектор

ного произведения п

— 1 вектора в Е п .

тт

п —1

п — 1 вектор

в Е п . О пределим

П усть

X, X,

X — какие-либо

координаты z l векторного произведения z

п- 1

с помощ ью

соотнош ений

п —1

пг

Г.М гуЛ2

(8.61)

in — 1

4 i i 2...in -

I х

. . X

В соотнош ениях

(8.61)

ciii2z

in — координаты

дискрим инантно-

п- 1

го тензора

с подняты м

первы м

индексом,

х 11, х 12, ... ,

х 1п ~ 1 —

...,

п- 1

кон травариантны е координаты векторов х, х,

х .

7. Д в ой н ое

векторное

п р ои зв еден и е.

И з

векторной

алгебры

известна

следую щ ая

ф орм ула д л я

двойного

векторного произведе

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб2Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб35Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf