книги / Линейная алгебра.-1

§ 2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

53

Д окаж ем , что п элементов указанного пространства

е 1

= (1

, 0 , 0

......... 0 ),

е 2

= (0

, 1 , 0

,

0 ),

е 3

= (0, 0, 1,

, 0),

(2.5)

е п = (0 , 0 , 0 ,

1 )

являю тся линейно независим ы м и,

а совокупность п элементов

(2.5)

и еще одного п р о и з в о л ь н о г о

элемента

х = (яд, ад, ... , ад)

про­

Рассм отрим линейную комбинацию элем ентов

(2.5) с какими-либо

числам и ад, ад, ад, ... , ад . В

силу аксиом эта линейная

ком бинация

представляет собой элемент

адех + « 2 е 2 + . ..

+ а д е п = (ад,

ад,

... , ад ),

которы й явл яется нулевы м лиш ь при условии

ад

= ад =

. .. = а д =

одного п р о и з в о л ь н о г о э л е м е н т а х

= (ад,

ад, • • •, ад ) простран ­

ства А п , уж е явл яется

линейно зависим ой. В

силу

теорем ы 2.3 до ­

статочно доказать, что

элем ент х =

(ад, ад,

• •., х

п) представляет

X = (ад, ад, ...,

х п) = адех

+ аде2

+

... + адеп.

2. Б ази с и координаты . Рассм отрим произвольное вещ ественное

линейное пространство R .

О п р едел ен и е.

С овокупность

линейно

независим ы х элементов

ех, в2,

..., е п п ространства R назы вается базисом этого пространства,

если д л я каж дого элемента х п ространства R найдутся вещ ественны е

числа ад, ад,

. .. , ад такие, что справедливо равенство

х

= адех + ад е 2 +

. .. +

а д е п .

(2 .6 )

П ри этом равенство (2.6) назы вается разлож ением элемент а х

по ба­

зису ех, в2, . .. , е п, а числа ад, ад,

... ,

ад назы ваю тся координатами

элемента х (относительно базиса ех, в2, ... , еп).

Д окаж ем , что каж дый элемент х

линейного пространства R

м о­

ж ет

быть

разлож ен по

базису

ех,

в2, ...,

е п

единственным

спо­

собом,

т. е.

координаты

каж дого

элемента

х

относительно

базиса

ех, в2,

..., е п определяю тся о д н о з н а ч н о .

54

ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Д опустим,

что д л я некоторого элем ента х н аряду с разлож ением

х = x [ e i + х 2е 2 + . .. + х'п е п .

(2.7)

шению 7)

(xi - x[)ei

+ (х2 ~ х2)е2 + ... + (хп -

х'п)еп = 0.

(2.8)

В силу линейной независимости базисны х элем ентов e i, е 2, . .. ,

е п ,

соотнош ение (2 .8 ) приводит

к

равенствам х \

— х[

=

0 , х 2

— х 2

=

= 0,

... , х п — х*п

= 0 или х \

—

х [, х 2 =

х 2, ... ,

х п

=

х'п . Е динствен ­

ность

разлож ен и я

по базису доказана.

Значение

базиса заклю чается

Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть ei,

е 2, ..., е п — произвольны й базис

п ространства R , х = х\е\ + х 2е 2 + . .. + х пе п и у =

у \е \

+ У2 &2 + . ..

. . . + Упе п ~ лю бы е д в а элемента этого пространства.

Тогда в силу аксиом 1°)-8°)

X + у = (жх + y i)e\ + (х 2 +

J/2)е2 + ... +

(х п +

у„)е„,

В силу единственности

разлож ен и я по

базису теорем а

доказана.

П риведем прим еры

базисов

конкретны х линейны х пространств.

И з аналитической геом етрии

известно,

что лю бы е три

неком пла­

§ 2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

55

В самом деле, в конце преды дущ его пункта доказано, что элементы

(2.5) линейно

независим ы и что

лю бой элем ент

х = (ад, Ж2 , . . ., х п)

п ространства

А п представляет

собой некоторую

линейную ком бина­

цию элементов (2.5).

ного в примере 2 п. 1 § 1

, состоит из одного элемента, в качестве которо­

го мож но взять лю бой

н е н у л е в о й элемент этого п ространства (т. е.

если

в нем сущ ествует п линейно независим ы х

элементов,

а лю бые

(п +

1) элементов уж е являю тся линейно зависим ы м и. П ри этом число

п назы вается размерност ью п ространства R .

Р азм ерность п ространства R обы чно обозначаю т символом dim R .

О п р едел ен и е 2. Л инейное пространство R

назы вается

бесконеч­

Если х — л ю б о й

элемент R , то, согласно определению 1, система

(п

+

1 ) элементов х,

e i, в

2

, . .. , е п линейно

зависим а, т. е. найдутся

не

все

равны е нулю

числа

ао, ад, а 2 , • • а д

такие, что справедливо

56

ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

равен ство

<Щ)Х + ОДв1 + (Т2е 2 + . . . +

Ck,n Gn =

0.

(2-9)

Зам етим , что

число

а о заведом о

отлично

от нуля

(ибо

в

противном

случае из равенства

(2.9) вы текала бы линейная зависим ость элемен­

тов e i,

в 2 , . .

е п). Но тогда, поделив равенство (2.9) на <ло и полож ив

Х\ — -------, Х2

= --------,

... , х п

=

-------- , мы получим из

(2.9)

(То

(То

(То

х

=

X ie i +

Ж2е 2 + . . .

+ Хпе п.

(2.10)

Т ак как х — произвольны й элемент R , то равенство (2.10) доказы вает,

что система элементов

e i, в 2 , . .. ,

е п явл яется базисом

пространства

R . Т еорема доказана.

Т еорем а

2.6. Е сли

лин ейное

прост ранст во R

им еет

базис, сос­

т оящ ий из п

элем ен т о в , то разм ерност ь R равна п.

, . .. , е п я в ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

система п элементов

e i , в 2

ляется

базисом п ространства

R .

Д остаточно доказать,

что л ю б ы е

(п + 1

) элементов этого п ространства x i, Х2 , ... , x n + i линейно зави ­

XI

=

И цв! + « 1 2 ^ 2

+

. . . + « 1 пе п>

Х2

=

« 2 1 ^ 1 + « 2 2 ^ 2

+

. . . + « 2 пе п>

x n + 1

— «(п + 1)1е 1 + «(п + 1)2е 2 + . . . + fl(n + i)ne n ,

где a n , a i 2 , ... ,

«(n+i)n — некоторы е вещ ественны е числа.

а ц

« 1 2

« 1 п

А

« 2 1

« 2 2

« 2 п

=

« ( п + 1 ) 1

« ( п + 1 ) 2

« ( п + 1 )п

Но строки указанной м атрицы заведом о линейно зависим ы , ибо поря­

док базисного м инора этой

м атрицы (содерж ащ ей

(п

+ 1 ) строк и п

столбцов) не превосходит п, и хотя бы

одна из (п

+

1 ) ее строк не

явл яется базисной и по теорем е о базисном миноре п ) представляет

собой линейную комбинацию базисны х

(а стало бы ть, и всех осталь­

ных) строк. Т еорема доказана.

10)

Ибо базисные элементы e i , е г , . .

е п образуют систему п линейно незави­

симых элементов пространства R.

п ) См. теорему

1.6 из п. 2 § 3 гл. 1.

§ 2. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

57

О бращ аясь

к

прим ерам , рассм отренны м

в

конце преды дущ его

пункта, мы теперь

можем

сказать, что разм ерность

п ространства В з

всех свободных векторов

р авн а

трем,

разм ерность

п ространства А п

равн а п, а разм ерность п ространства { х } равн а единице.

П римером бесконечномерного п ространства м ож ет служ ить линей­

ное

пространство

С [а, Ь]

всех

ф ункций х

=

ж(£),

определенны х

и

непреры вны х на сегменте а ^ t

^

b (см. пример 4 из п. 1 § 1).

В самом деле, д л я лю бого ном ера п

система (п + 1) элементов этого

п ространства 1

, £, £2, ... ,

t n явл яется линейно независимой (ибо в про­

тивном

случае

некоторы й

м ногочлен

Со +

С i t

+

С Д 2 + . .. + C nt n ,

не все коэф ф и ц и ен ты

С о, C i, ... , С п которого

равны

нулю,

оказался

бы тож дественно равны м нулю на сегменте а ^

t

^

Ь).

4 .

П онятие и зо м о р ф и зм а линейны х

пространств. В

этом

пункте мы покаж ем , что различны е линейны е п ространства одной и

той ж е разм ерности п

в смысле свойств, связанны х со введенны м и в

этих п ространствах операциям и, по сущ еству не отличаю тся друг от

друга.

Т ак

как

в линейны х

п ространствах введены лиш ь операции сло­

ж ен и я

элементов

и ум нож ения

элем ентов

на

числа,

то естественно

сф орм улировать следую щ ее определение.

О п р едел ен и е. Д в а произвольны х вещ ественны х

линейны х про­

стран ства

R

и

R!

назы ваю тся

изом орф ны м и , если

м еж ду

элемента­

ми этих пространств мож но установить взаим но однозначное соответ­

ствие 12) так, что если

элементам х н у

п ространства R

отвечаю т

соответственно элем енты

х ' и у '

п ространства R ' , то элементу х +

у

отвечает элемент х ' +

у ;, а элементу

Ах при лю бом

вещ ественном

А

отвечает элемент Ах'.

Зам етим , что если лин ейны е прост ранст ва R

и R ' изоморф ны , то

н улево м у элем ен т у R

от вечает

нулевой элем ен т R ' и наоборот. (В

самом деле, пусть элементу х п ространства R отвечает некоторы й эле­

мент х ' п ространства R ' . Тогда элементу 0 -х п ространства R отвечает

элемент 0 • х '

п ространства R ' .)

О тсю да

следует,

что

если

в

случае

изом орф и зм а

элемен­

там

х, у,

...,

z

п ространства R

отвечаю т

соответственно

элем енты

х ',

у',

... ,

J!

п ространства R !, то линейная комбинация <лх +

Р у + . ..

. . . +

yz явл яется нулевы м элементом п ространства R тогда и только

тогда,

когда

линейная

комбинация а х ' +

Р у '

+

. ..

+ y z '

является

12)

Напомним, что соответствие меж ду элементами двух множеств й и

й ' на­

58

ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

нулевы м элементом п ространства R !.

Но это

означает,

что

если

прост ранст ва R и

R '

изом орф ны ,

то

м аксим альное число

ли н ей н о

н езависим ы х элем ент ов

в каж дом

из

эт и х прост ранст в одно и то ж е.

И ны ми

словами,

два

изом орф ны х прост ранст ва

обязаны

им ет ь

одинаковую разм ерност ь.

С тало

бы ть, прост ранст ва разной

разм ерност и

не

м о гут

быть

изоморфны .

Д окаж ем теперь следую щ ее утверж дение.

Т еорем а

2 .7 . Любые два п -м ер н ы х вещ ест венны х ли н е й н ы х про­

ст ранст ва R

и R ' изоморфны .

Д о к а з а т е л ь с т в о . В ы берем в R какой-либо базис e i , в2, . .. ,

е п,

а в R ' — какой-либо

базис

е^, е^, ... ,

е^. П оставим

в

соответствие

каж дом у элементу

х

=

х 2^2

+

• • • + х пе п

п ространства

R

элемент х '

=

x ie [

-\- х 2^2 +

• • • + х пе'п

п ространства R ' (т. е. мы

бе­

рем в качестве х ' тот элемент R ' , которы й имеет относительно базиса

e'l5 ef), ... ,

е^

т е ж е самые координат ы , что и элемент х относительно

базиса ei,

в2,

..., е п).

У бедимся

в том,

что

установленное соответствие явл яется

взаим ­

но однозначны м . В самом деле, каж дом у элементу х

п ространства R

однозначно соответствую т координаты ал, ал, . .. ,

жп , которы е, в свою

очередь, определяю т единственны й элем ент х ' п ространства R '. В силу

равноправности пространств

R

и R ', каж дом у элементу х ' простран ­

ства R ', в свою очередь,

соответствует единственны й

элем ент

х

про­

стран ства R .

О стается зам етить,

что если элементам х н у

п ространства

R

от­

вечаю т

соответственно

элем енты х ' и

у '

п ространства

R ', то

в

силу

теорем ы

2.4 элементу х

+ у

отвечает элем ент х '

+ у ',

а элементу

Ах

удовлетворяет следую щ им

д в у м т р е б о в а н и я м .

1°)

Е сли

элем ент ы х

и у принадлеж ат подм нож ест ву L, то и

сум м а

х +

у принадлеж ит эт ом у подм нож ест ву.

2°)

Е сли

элем ен т х принадлеж ит подм нож ест ву L, а А — л ю ­

3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

59

бое вещ ест венное

чи сло , то

и элем ен т Ах

принадлеж ит

подм но­

ж ест ву L .

У бедимся в

том,

что

подм нож ест во

L, удовлет воряю щ ее

т ребованиям 1°) и 2 °),

само я в ля е т с я ли н ей н ы м прост ранст вом . Д о ­

аксиомы , кроме аксиом 3°) и 4°), заведом о справедливы д л я

элемен­

тов подм нож ества L, поскольку они справедливы д л я в с е х

элемен­

тов п ространства R . О стается проверить выполнение аксиом 3°) и 4°).

П усть х — лю бой элемент подм нож ества L, а Л — лю бое вещ ественное

число. Тогда

в силу требования 2 °) элемент

Лх такж е при н адлеж и т

L . О стается

зам етить, что (в силу теорем ы 2

.2 ) этот элемент

Лх при

влетворяю щ ее требованиям

1 °)

и 2 °), назы вается

ли н ей н ы м подпро­

ст ранст вом (или просто подпрост ранст вом ) п ространства R .

П ростейш ими

прим ерам и

подпространств

м огут

служ ить:

1 ) так назы ваем ое

нулевое

подпрост ранст во, т. е. подм нож ество ли ­

нейного п ространства

R ,

состоящ ее из

одного

нулевого

элемента;

2 ) все пространство R

(которое,

конечно,

мож но

рассм атри вать как

пространстве С [а, Ь] всех

ф ункций х

= ж(£), определенны х и непре­

ры вны х на сегменте а ^

t ^ Ъ 14)

(справедливость д л я элементов

60

ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

нейного п ространства R , очевидно, вы полняю тся требования

1 °) и

2°), сф орм улированны е в начале настоящ его пункта. П оэтому

всякая

х,

у,

..., z,

на которы х построена линейная оболочка L (х,

у, ..., z).

С

другой

стороны ,

всякое подпространство, содерж ащ ее

элементы

х,

у,

..., z,

обязано

содерж ать и все линейны е комбинации

этих эле­

ментов. П оэтому

ли н ей н а я оболочка элем ент ов х, у, ..., z

я в ля е т с я

на и м ен ьш и м подпрост ранст вом ,

содерж ащ им элем ент ы х, у, ... , z.

К онкретны м примером линейной оболочки м ож ет служ ить линей ­

н ая оболочка элементов 1

, £, £2 , • •

t n линейного п ространства С [а, Ь]

всех

ф ункций х

=

ж (£),

определенны х и непреры вны х на

сегменте

а

^ t

^

Ъ. Э та линейная оболочка, очевидно, представляет собой мно­

ж ество

{Р п (£)} всех алгебраических м ногочленов степени,

не превы ­

ш аю щ ей п.

Д ругие прим еры подпространств будут рассм отрены в п. 3 настоя­

щ его п ар агр аф а .

Рассм отрим вопрос о разм ерности подпространства (и, в частности,

линейной оболочки).

М ож но

утверж д ать,

что разм ерност ь любого подпрост ранст ва

п-м ерного линейного прост ранст ва R не превосходит разм ерност и п

прост ранст ва R

(ибо всякая линейно независим ая систем а элементов

мой элементов всего п ространства R ).

Более точно мож но

утверж д ать,

что

если подпрост ранст во L не

совпадает со

всем

п -м ер н ы м

ли н ей н ы м

прост ранст вом

R ,

то раз­

м ерност ь L строго м еньш е п.

Это вы текает из того, что если разм ерности L и R

обе равны п, то

всякий базис подпространства L, поскольку он состоит из п элементов,

явл яется (в силу теорем ы 2.5) базисом и всего п ространства R .

Зам етим ,

что

если

во

всем

пространстве R

вы бран

базис

ei, в2, ..., еп,

то

базисны е

элем енты

подпространства

L,

вообщ е