книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

Отсюда и из (4.3.35) видно, что главный член невязки при удалении от середины стержня затухает с асимптотикой

|£/<5,Г'. Если постоянную С выбрать из условия равенства нулю коэффициента при этой асимптотике, то

Из (4.3.38), (4.3.32), (4.3.33) следует, что в окрестности концов стержня невязка R в (4.2.28) имеет как минимум лога­

пенсации этой части невязки к а ^ (£ ) следует добавить функ­ ции типа пограничного слоя, которые определяют главный член решения в окрестности концов стержня. Уравнение для этих функций можно получить аналогично (4.3.11).

Сравним (4.3.39) с численным решением интегрального уравнения (4.3.30). Проведем такое сравнение на примере мо­ дельного уравнения, аналогичного (4.2.30).

192

при £, (£) = £,(1-|<£|). Применяя изложенную выше схему, по­ лучим, что выражение для главного члена </о)(£) разложения решения этого уравнения в ряд по £, имеет вид (4.3.39) при

Ете = \ П .

Численные решения уравнения (4.3.40) представлены на рис.4.4 (£,=0.1) и 4.5 (£,=0.01) сплошными линиями, штри­ ховые линии - функции (/о)(<^) вида (4.3.39). Кривым 1-4 со­ ответствуют значения параметра <7=0.4, 1.2, 2, 10. Расхожде­ ние между сплошными и штриховыми кривыми можно

уменьшить, добавляя к а*о)(£) функции типа пограничного слоя, локализованные в окрестности середины стержня и его концов.

В заключение этого параграфа рассмотрим "поперечную"

компоненту главного члена асимптотики поля напряже­

ний внутри жесткого стержня с прямолинейной осью. Учиты­ вая оценки (4.2.25)

193

подействуем на соотношение (4.2.18) оператором 0 '. В ре­ зультате получим равенство

- A v ) c - W ? ( $ - ( S i in г,) x

Из уравнения (4.2.27) для П'-компоненты функции ст*о)(£) имеем

Подставляя это соотношение в (4.3.42) и разрешая его от­

носительно c^g, найдем

(4.3.44)

где обращение тензора А° производится в ©-подпространст­ ве.

В случае постоянного внешнего поля продольная компо­

нента поля напряжений а ^ (£ ) имеет вид

где вид функции / ( £ ) зависит от формы стержня. Для стерж­ ней, рассмотренных выше, эта функция определяется соотно­ шениями

194

остроконечное веретено:

(•-I <0*

fi =i ( y/ i + V -з)-

Подставляя (4.3.45) в (4.3.44), получим выражение для тен­

зора </во)(£). Суммируя (4.3.44), (4.3.45) найдем

(4.3.47)

= [(л ° Г + Л & Р 1(т) + Р\т)) + E J(Z )P ‘ (т)\е. ,

Соотношением (4.3.47) определяется главный член асимп­ тотики поля напряжений внутри стержня всюду, за исключе­ нием, быть может, концов стержня или точек излома на его внешней поверхности.

§ 4.4. Включение в виде криволинейного стержня

Пусть теперь срединная линия стержня Г - гладкая кри­ вая, а радиус поперечного сечения a ( z )- непрерывная, кусоч­ но-гладкая функция, удовлетворяющая условиям (4.1.1), (4.1.2). Формальная схема построения главных членов асимп­ тотики поля напряжений внутри жесткого стержня по малым

параметрам 8Х, 8г аналогична случаю осесимметричного стер­ жня. Считая поле напряжений постоянным в каждом сечении

стержня Q (z ) ,z e r , проинтегрируем в (4.2.1) по сечениям и

197

<Kz) = s(z)c/c\z), s(z )= m 2(z), е£о)(г) = </?(z) + <$(z),

Заметим, что функции типа пограничного слоя, входящие

в выражение для c/o)(z), дают малый вклад в величину о(х) и е(х) по сравнению с медленно изменяющейся вдоль Г сос­

тавляющей </°\z), если точка X удалена от концов стержня на расстояния, превышающие величину характерного радиуса

а. Поэтому для вычисления o(z) в (4.4.11), (4.4.12) можно

воспользоваться выражениями для главного члена </o)(z) асимптотики поля напряжений внутри стержня, полученными

⧧ 4.3, 4.4.

Вслучае прямолинейного стержня и постоянного внешне­ го поля деформации и напряжения вне стержня определяются теми же соотношениями (4.4.11), (4.4.12), в которых функция

o(z) имеет вид

B(z,m) = { A - y '+ r(^P \'") + P4('n))+Ej(4)P‘(m),

где тензор (A°)~', а также функции /(£ ),/(< £ ) определены в (4.3.47), (4.3.46).

Г Л А В А V

МНОЖЕСТВО ИЗОЛИРОВАННЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

В данной главе рассматривается равновесие бесконечной однородной упругой среды, содержащей равномерно распре­ деленное множество изолированных включений (матричный композит). Основной целью при этом является решение зада­ чи осреднения (гомогенизации) и вычисление эффективных модулей упругости матричных композитов с включениями различного типа. Для решения этой задачи используются са­ мосогласованные схемы - методы эффективной среды и метод эффективного поля. Путем сравнения теоретических предска­ заний с точными решениями (для регулярных композитов) и экспериментальными данными исследуется погрешность раз­ личных методов самосогласования.

§ 5.1. Постановка задачи осреднения

Матричными композитами называют неоднородные мате­ риалы, состоящие из однородного связующего (матрицы), в котором распределено множество изолированных включений другого компонента (наполнителя).

Размеры и свойства включений, а также их распределение в объеме матрицы, как правило, являются случайными.

Задача описания упругих, термоупругих и других физи­ ческих полей в стохастических материалах имеет ряд специ­ фических особенностей и отличается от постановки класси­ ческих задач математической физики и механики твердого тела [120].

Прежде всего отметим, что во многих прикладных задачах механики композитов характерный масштаб флуктуаций фи­

199

зических свойств среды существенно меньше размеров тела, а случайные функции, описывающие эти свойства, являются однородными в широком смысле [125]. Поэтому если отбро­ сить специфические краевые эффекты, то основную инфор­ мацию о структуре физических полей в стохастически неод­ нородном твердом теле можно получить из решения задачи для бесконечной (занимающей все пространство) среды, фи­ зические свойства которой являются статистически однород­ ными случайными функциями координат.

Известно [27,125], что исчерпывающую информацию о случайной функции несут ее характеристический функционал или же счетная последовательность статистических моментов конечного порядка. Следовательно, полным решением задачи теории упругости для стохастического композита является бесконечная совокупность статистических моментов случай­ ных функций - вектора перемещений и ( Х ) 9 тензоров дефор­ маций и напряжений е (X) и <у(х )9выраженная через статис­ тические моменты тензора модулей упругости С(Х), и задан­

ные детерминированные внешние нагрузки (^ (х ),Г (х )). Найти в этом смысле полное решение задачи теории упру­ гости для стохастически неоднородной среды можно лишь в редких частных случаях. Основная трудность здесь состоит в том, что, несмотря на линейность исходной системы уравне­ ний, рассматриваемая задача является стохастически нели­ нейной. Действительно, дифференциальное уравнение имеет вид

UapUfi)(x) = qa(x), Lap = - V xCXa/3M(x)VM, (5.1.1)

и в его левую часть входит произведение статистически зави­ симых случайных функций С ( Х ) и Vw(xr). Вследствие такой нелинейности любой статистический момент конечного по­ рядка случайной функции и(х) или е(х) выражается через всю бесконечную совокупность моментов более высокого по­ рядка [96] и, чтобы сделать задачу обозримой, приходится вводить упрощающие предположения, смысл которых зависит от конкретных особенностей микроструктуры композита. Следует отметить, однако, что для приложений полная ин­ формация о случайных физических полях в неоднородной среде, как правило, не нужна и основной интерес представля­ ют лишь несколько первых моментов решения.

200

Важной характеристикой физических полей в стохастичес­ ки неоднородной среде являются их первые статистические моменты или математические ожидания. Эти величины ха­ рактеризуют осредненную реакцию микронеоднородного ма­ териала на внешнее воздействие. Если такая реакция извест­ на, то реальный статистически однородный композитный ма­ териал можно заменить детерминированной однородной сре­ дой, отклик которой на внешнее воздействие эквивалентен отклику рассматриваемого микронеоднородного материала. Построение математической модели однородной среды, экви­ валентной реальному композитному материалу, является од­ ной из центральных проблем механики сред с микрострукту­ рой (проблема гомогенизации). Решение проблемы гомогени­ зации Позволяет связать макроскопические характеристики композита со свойствами компонент и особенностями прост­ ранственного распределения наполнителя в объеме матрицы. Знание таких зависимостей необходимо для расчета деформа­ ций конструкций из композитов, а также для обоснованного синтеза композитных материалов с заранее заданными свой­ ствами.

Подчеркнем, что выше под средним от случайной функ­ ции понималось среднее по ансамблю ее реализаций. Пусть включения в композитном материале образуют случайное множество, так что функция, описывающая свойства компо­ зита, является элементом at функционального пространства с заданной на нем вероятностной мерой /л(ео)[27]. Таким обра­ зом, поле и ( Х ) в неоднородной среде будет зависеть от СО - конкретной реализации случайного множества (ансамбля) включений и(х) = и(х,со). Под ансамблевым средним поля

и(х, со) в произвольной точке X понимается среднее значение случайной функции и(х,со) по ансамблю реализаций со, т.е.

Здесь интеграл понимается как континуальный в функци­ ональном пространстве реализаций случайного множества по­ лей неоднородностей (см.[27, 125]).

Введем оператор L„ который позволяет определить сред­

нее значение поля <и(х)> непосредственно из уравнения вида