книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

Г Л А В А III

ТОНКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

ВОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Впоследние годы в качестве наполнителя в композитных материалах все чаще используются включения, один из харак­ терных размеров которых много меньше двух других [112,214]. Оказалось, что армирование композита жесткими чешуйкаминаиболее эффективный путь увеличения его жесткости: при одинаковой объемной концентрации наполнителя жесткие че­ шуйки увеличивают модуль упругости материала в 1,5-2 раза больше, чем квазисферические включения или волокна. С другой стороны, среда, содержащая тонкие, но податливые включения, является хорошей моделью для описания процес­ сов накопления повреждений (трещин и других дефектов) в реальных материалах. Таким образом, наибольший интерес для механики композитов представляют тонкие включения, модули упругости которых существенно отличаются от моду­ лей основной среды. Данная глава посвящена рассмотрению именно таких включений. Их свойства можно охарактеризо­

вать двумя безразмерными параметрами: "геометрическим" 8Х- отношением характерных линейных размеров включения и

"физическим" 82- отношением характерных значений модулей

упругости среды и включения, причем 8Хвсегда мало, а пара­

метр 82 является либо малым (податливое включение), либо большим (жесткое включение). Наибольший интерес для при­ ложений представляют главные члены асимптотических раз­ ложений упругих полей в окрестности тонких включений по указанным параметрам. Задача построения этих членов реша­ ется на основе интшральных уравнений для произвольной не­ однородности, полученных в предыдущей главе.

(3.1.6) Слагаемые в правых частях (3.1.4), (3.1.5) - главные члены

асимптотики при |х|»А упругих полей вне тонкого включе­ ния. Как правило, эти члены представляют наибольший ин­ терес для приложений. Наличие в задаче малого параметра позволяет применить для построения этих членов методы асимптотического анализа. Прежде чем перейти к построению

главных членов асимптотики функций <7+(х,Л) и ~ё+ (х,И) по указанному малому параметру, рассмотрим свойство потен­ циалов в правых частях (3.1.4), (3.1.5).

§ 3.2. Свойства потенциалов (3.1.4) и (3.1.5)

где <т+ (х,И) и ~е+ (х,И) имеют вид (3.1.6). Тогда соотношения (3.1.4), (3.1.5) представляются в форме

£(х) = е°(х) + £•'( х ) , а(х) = а (х) + ах( х ) , (3.2.2)

ех(х) = J К (х - х')С°т{х’)сЮ.', ст’ (х) = J S(x - х’)т(х')сЮ.'.

125

где е(х) - внешняя нормаль к контуру Г, лежащая в каса­ тельной к П плоскости в точке х е Г . Здесь учтено выражение (1.1.31) для К (х), а также равенство

которое следует из (3.1.3) и определения (3.2.4) проектора ® , штрих над оператором д означает дифференцирование по х '.

Интеграл по Г в правой части (3.1.17)- непрерывная функ­ ция при р^ех х ^ 2 (дг’ёГ ), а интеграл по Q - симметрирован­ ный градиент потенциала простого слоя статической теории упругости с плотностью dxqX/J(x). Известно [119], что гради­

ент потенциала простого слоя - регулярная функция во всем пространстве, разрывная на поверхности Q . Обозначим через

£|+и £1 предельные значения потенциала е1 при стремлении точки X к Q со стороны нормали и с противоположной сто­

роны соответственно. Разность [£•’] предельных значений рас­ сматриваемого потенциала определяется соотношением, кото­ рое следует из (1.3.25)

[ * ! * ( * ) ] = * & ( * ) - « ! * ( * ) = (3-2-13) где функция G\k) имеет вид (1.1.35).

Отсюда следует, что касательная составляющая ®(w)f' (х) потенциала е1(х) непрерывна при переходе через Q . Однако

интеграл, представляющий значение функции ©(«)£■' (х) на поверхности Q

(* .*')«*, (*'> **' , (3.2.14)

Q

Ua0XM(x,x') = 0 ^ ( х ) К ,м (х - x')®zSXM(x’) , (3.2.15)

формально расходится, так как К (х -х ') ~|х-х'|”3при х —»х\ Регулярное представление этого интеграла получено в Прило­ жении ПЗ.З и имеет вид

126

®ц«Д *)«**,(*) = ! Ua{)X»(X’ Х')[Ч*{Х') ~ Я» (*> X')}d& - Q

-®аехц ( * ) f v *GMV(x ~ x’)q°vp(x, х^е^х'УЛГ'. (3.2.16)

Г

Здесь символ / по-прежнему означает интеграл в смысле главного значения по Коши, q°(x,x') - постоянное тензорное поле на Q . Функция q°(x,xr) удовлетворяет уравнению

3'<7°(х, х')=0 и совпадает с q(x) при х' = х. В случае, когда

поверхность П плоская, формула регуляризации (3.2.16) пере­ ходит в следующую:

определения (1.2.9) функции 5(х) следует равенство

сг1(х) = J S(x - x’)B°q(x')dQ.’ = С°е](х) - q(x)Q(x),

о

(3.2.18)

где £[(х) - потенциал (3.2.11), Q (x) - дельта-функция, сосре­ доточенная на поверхности Q . Отсюда видно, что предельные значения на О потенциала о*(х) с точностью до множителя С° совпадают с предельными значениями f'(x). Из (3.2.13) и определения функции (?(к) (1.1.35) следует, что разрыв нор­

мальной составляющей и(х)<У(х) потенциала d(x) на Q определяется соотношением

127

М * )о * » (* )] = пр{ х ) ^ { х ) - п р{ х ) ^ { х ) = dflpa{x).

(3.2.19)

Перейдем к рассмотрению потенциала 8х(х) вида (3.2.3), плотность которого определяется вторым слагаемым в правой части (3.2.8):

(*)= JК а/иД * - x 'Y :i^ p(x')bT{x')dD.'. (3.2.20) Q

Из выражения (1.1.31) для К(х) следует, что d(x) пред­ ставляет собой симметрированный градиент от потенциала двойного слоя статической теории упругости.

Если Ь(Х) в (3.2.20) есть гладкое векторное поле на О , то

потенциал е' (х) можно представить в виде

где £1г(х) - регулярная функция, разрывная на Q . Предель­

ные значения потенциала 8х(х) определяются соотношения­ ми (см. Приложение П3.2)

= feapX»(X- X’)C\,rM X')\bp(.X') - bp<<Xy\d& +

о

+Крл (Ф х (*) + \ Ш х К (*), (3.2.22)

Rapx(х) = КргР\ r°t Vz vvl(x - x’)d r;, АаМм(п) = B°afivpS'vpXM{n),

г

где Z(X) - тензор Грина для внутренних напряжений, связан­ ный с тензором S(x) соотношением (1.2.4), 1S'(x)=RotZ(x),

dTr - векторный элемент длины на контуре Г, функция У (п)

имеет вид (1.2.11).

Для потенциала <У(х) вида (3.1.9) с плотностью т(х) = = п(х)Ь(х) справедливо представление, аналогичное (3.2.18)

^ар{х) = С1р^ { х ) - С 1 рХрпх{х)Ь^х)П(х). (3.2.23)

128

Отсюда и из (3.2.20) следует, что функция о1(х) не имеет сингулярной составляющей, а ее разрыв на Q определяется соотношением

<3-2-24> Используя определение (1.2.11) тензора <S*(n), можно пока­

зать, что вектор пр{х)оар(х)х непрерывен при переходе через

Q., а значения функции н Д х)а^(х) на О определяются сле­ дующей формулой регуляризации (Приложение П3.2):

Q

= / Тар(х, х,)[Ър{х')-Ьр{х)\Ю.,+пр(х)§ rot v^ apvX(x-x')dT'ftbx(х ),

Тар (X, х') = -щ (x)SAaPM(х - Х')пм( х ' ) . (3.2.26)

Если Q - часть плоскости, то следствием (3.2.23) является следующая формула регуляризации:

Jта/}(х ~ х')Ьр(хуП ' = jTap(x - х’)[Ьр{х’) - bp(x)]dQ!.

(3.2.27)

Здесь Q - вся бесконечная плоскость, включающая Q , функ­ ция Ь(х) продолжается нулем вне Q.

§ 3.3. Внешние предельные задачи для тонких включений

Рассмотрим решение задачи о тонком включении при

стремлении к нулю его поперечного размера h (параметра 8Х

в (3.1.1)). Если внутри области V, занятой включением, моду­ ли упругости имеют конечное отличное от нуля значение, то

С другой стороны, в пределе при А ,С —>0, в силу ограни­

ченности модулей упругости включения, вектор напряжений п(х)сг(х) должен оставаться непрерывным при переходе че­

рез поверхность Q . Однако непрерывность вектора переме­ щений в точках Q может быть нарушена из-за обращения в

нуль тензора С . Таким образом, предельные значения векто­ ров перемещений и(х) и напряжений П(Х)<Т(Х) на поверх­

ности П должны удовлетворять соотношениям

[«(* )] = £ (х ), [«(х)ог(дс)] = О, х е П , (3.3.7)

где b (х ) - неизвестный пока вектор скачка перемещений на поверхности Q .

Отсюда следует, что предельное поле деформаций в среде с включением содержит сингулярную составляющую £и(х),

<*afi(*) = а°сф(Х) + J $архЛХ~ X')nx(x ')bM(x')dQ'. (3.3.11)

Здесь потенциалы в правых частях совпадают с потенциа­ лами (3.2.3) при т(х) —п{х)Ь(х). Из указанных в §3.2 свойств таких потенциалов следует, что условие (3.3.7) непрерывности вектора п(х)Ь(х) на Q для поля о(х ) ввда (3.3.11) выполня­ ется автоматически. Но тогда с точностью до членов порядка

8\ имеет место равенство (А (х ),С *0 )

н(х)<т(х) = h~x(х)п (х )ст+ (х ,А ), X G Q , (3.3.12)