книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

281

2/. Трещины расположены на одной прямой, а расстояние между их центрами есть V. Внешнее поле представляет собой

одноосное растяжение напряжением о в направлении нор­ мали П к общей линии трещин.

Заменим трещины эквивалентными точечными дефекта­ ми. В силу симметрии задачи имеем

где X - координата вдоль прямой, на которой расположены дефекты. Умножая обе части (5.14.8) слева и справа на П и учитывая предыдущие равенства, найдем

Здесь сг*(г) представляет собой нормальную компоненту поля напряжений, в котором находится каждый из двух то­ чечных дефектов, расположенных на расстоянии Г друг от

друга. Функция сг*(г) - асимптотика при г » 21 решения за­ дачи о взаимодействии двух одинаковых трещин, расположен­

ных на одной прямой. Если же г <l/-J2, то решение (5.14.11) не имеет физического смысла. Таким образом, к модели то­ чечных дефектов следует подходить с осторожностью. Строго говоря, замена включений конечных размеров точечными де­ фектами означает введение в сплошной среде характерной длины / порядка размеров дефекта и расстояния, меньшие / , не всегда имеют смысл. В частности, взаимодействие конеч­ ных включений на расстояниях порядка I с помощью точеч­ ных дефектов нельзя описать даже качественно.

Пусть теперь множество точечных дефектов является слу­ чайным, однородно распределенным в пространстве. Обозна­

чим через X множество точек £ (/= 1,2,...), в которых распо­

282

С использованием этих обозначений выражения для нап­ ряжений и деформаций в среде с точечными дефектами (5.14.6), (5.14.7) принимают вид

о(х ) = сг°(х) + J .S fx -x’)M °{x')<j{x')x{x’)dx’, (5.14.13)

е(х) = ^(х)-)- J K (X - X ')C°M °(X ')<T (х ^Л^х ') ^ , (5.14.14)

функцией. Следуя методу эффективного поля в одночастич­

ном приближении (§ 5.3), будем считать, что поле сг*- посто­ янное и одинаковое для всех дефектов. Уравнение для тензо­

ра <у получим, осредняя обе части (5.14.15) по ансамблю реа­ лизаций случайного множества X и М° при условии х е Х

где п - числовая, a p=n°<v> - объемная концентрации вклю­

чений. Функция *Р(х) определяет вид корреляционной ямы для типичного дефекта и обладает следующими свойствами

284

которое совпадает с выражением (5.5.23) для С*, полученным при рассмотрении случайного множества включений конеч­ ных размеров.

2°. Пусть точечные дефекты моделируют ориентирован­ ные неоднородности (трещины, жесткие чешуйки или волок­

на). При этом тензор М° в (5.14.13) будет зависеть от ориен­ тации неоднородности т (5.14.15). Если в этом случае счи­

тать, что эффективное поле сг*, в котором находится типич­

ный дефект, зависит от его ориентации m(a = сг*(m)), то аналогично § 5.4 можно получить уравнение для сг*(ти). В это

уравнение будет входить функция ^ ( х - х') вида

жен дефект ориентации т. Если считать, что форма корреля­

ционной ямы, которая задается функцией ^ ( х ) , зависит от формы неоднородности, то можно получить выражения для

тензоров С\ совпадающие с найденными в §§5.5-5.10 для композитов, армированных ориентированными включениями.

Таким образом, в случае стохастических композитов мо­ дель точечных дефектов, с необходимыми оговорками, позво­ ляет получить те же выражения для эффективных модулей уп­ ругости композита, что и метод эффективного поля в одно­ частичном приближении применительно к включениям ко­ нечных размеров.

3°. Пусть теперь одинаковые точечные дефекты образуют регулярную решетку в однородной среде. Если внешнее поле

сг - постоянное, то для простых решеток локальные поля сг совпадают при всех / . Выберем начало координат в произ­

вольном узле решетки, образованной дефектами. Поле сг* для дефекта, расположенного в этом узле, на основании (5.14.15) определяется из соотношения

285

Здесь / - вектор решетки, образованной точечными де­ фектами, штрих над знаком суммы означает пропуск слагае­

мого 1=0. Отсюда приходим к выражению для ст, совпада­ ющему с (5.9.34), где интеграл D представляется в виде следу­ ющего сходящегося ряда:

где vt - элементарная ячейка, которая соответствует узлу ре­

шетки с вектором / , тензор D° имеет вид (5.9.17).

Тензор эффективных модулей упругости среды с решеткой дефектов имеет вид (5.14.22) при D в форме (5.14.29). Рассмо­ трим пример изотропной среды, в которой сферические

включения образуют кубическую решетку. Тензор С* при этом имеет вид, совпадающий с (5.6.11), однако коэффициент а в этом выражении постоянный и представляется в виде сходя­ щегося ряда, аналогичного (5.14.19). Численное суммирова­ ние этого ряда дает а = 0,080.

Перейдем к плоской за­ даче, где все построения проводятся аналогично трех­ мерной ситуации. Рассмо­ трим квадратную решетку круговых включений в изо­ тропной плоскости. В этом

случае тензор С* имеет вид (5.6.30), где коэффициент а является постоянным, а его численное значение равно 0,092.

286

На рис.5.23 представлены графики для относительного мо­

дуля сдвига JU*/ JUCв случае квадратной решетки круговых от­ верстий (кривые I) и круговых жестких включений (кривые 2). Сплошными кривыми представлено точное решение задачи [30], штриховые кривые получены с помощью модели точеч­ ных, а штриховые кривые с кружками представляют решение методом эффективного поля с учетом конечных включений (§5.4).

Анализ кривых на рис.5.23 позволяет утверждать, что при­ ближение точечных дефектов дает ошибку менее 10%, если расстояние между центрами включений в 1,5-2 раза больше, чем диаметр включений.

В случае правильной треугольной решетки круговых вклю­ чений модель точечных дефектов дает те же значения, что и метод эффективного поля для включений конечных размеров.

Г Л А В А VI

УЧЕТ МНОГОЧАСТИЧНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТ­ ВИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСШИХ СТАТИСТИ­ ЧЕСКИХ МОМЕНТОВ УПРУГИХ ПОЛЕЙ В МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ

Одночастичное приближение метода эффективного поля, которое рассматривалось в предыдущей главе, позволяет при­ ближенно решить задачу осреднения и вычислить эффектив­ ные упругие и термоупругие характеристики матричных ком­ позитов с различными наполнителями. Однако для отдельных типов наполнителей (например, жестких квазисферических частиц) при большой их концентрации погрешность метода становится существенной. Причиной большой погрешности является нарушение основных гипотез метода при увеличении концентраций включений. Поэтому возможности уточнения решений, полученных на основе самосогласованных схем, связаны с использованием менее жестких гипотез. В данной главе предложена модификация метода эффективного поля, которая позволяет улучшить результаты одночастичного при­ ближения (глава V) путем учета многочастичных взаимодейст­ вий между включениями в композите. Новая модификация метода позволяет применить самосогласованную схему для ре­ шения более сложных задач механики композитов. В частнос­ ти, вычислить высшие статистические моменты упругих полей в матричных композитах и описать нелокальность связи меж­ ду средними напряжениями и деформациями, которая прояв­ ляется в области сильно изменяющихся внешних полей.

§6.1. Эффективное поле в матричных композитных материалах

Рассмотрим понятие эффективного поля, введенное в §5.3, более подробно. Итак, пусть в бесконечной однородной упру-

288

гой среде статистически однородно распределено случайное множество изолированных включений. Зафиксируем одну из типичных реализаций этого множества и рассмотрим произ­

вольное 7-е включение, занимающее объем Vr Обозначим че­

рез е* локальное внешнее поле деформаций, действующее на это включение, и будем считать, что решение задачи теории упругости для одиночного включения в произвольном внеш­ нем поле является известным. Это значит, что известен явный

вид зависимости поля внутри включения от внешнего поля е*

Здесь Л' - известный линейный оператор.

Уравнение для полей £*(х) (/ = 1,2,...) следует из уравне­

ния для поля деформаций е(х) в композите (5.2.4) и имеет вид

el(x) = e\x)-'£\K{x-x')c:(x'){K£;)(x')V,(x')dx\

Здесь Cj (х) - возмущение модулей упругости внутри /-го

включения. Если функции е*к(х) найдены из решения этой системы, то поля напряжений и деформаций в композитном материале определяются из соотношений (5.3.1), (5.3.2)

нейный оператор Р такой, что имеет место равенство (V(х)=

=1 VAX)): I

289

(ft-)(*)F (*) = £ C ,4 х)(л'*;)(*Ж (*) (6 15)

i

Тогда систему (6.1.2) можно записать в виде одного урав­

нения относительно поля £*(х) в области V = UVj I

е*{х) = £ *°(х)-J K { х - х'){Ре*)(х')У{х\х')сЬс', (6.1.6) где функция V (* ;* ') определена соотношением (5.5.3).

Если множество включений случайное, £*(X) - случайная функция. Для построения статистических моментов функции £*(х) введем следующие предположения (гипотезы метода эффективного поля).

Нх\Поле е (JC) имеет одинаковую структуру в любой из областей, занятых включениями.

В частности, если принять, что в каждой области Vi зави­

симость £ откоординат имеет вид полинома, то степени этих полиномов одни и те же для всех включений, а коэффициен­ ты случайно меняются от включения к включению.

Н2. Значение случайной функции £ (X) в точках области

Vt статистически не зависит от свойств включения, занимающего эту область, и геометрических характе­ ристик последней.

Смысл гипотезы Н2 состоит в том, что локальное внеш­ нее поле, в котором находится произвольное включение, предполагается слабо зависящим от формы и свойств отдель­ ных включений, но определяется интегральными характерис­ тиками всего случайного множества неоднородностей.

Пусть, например, включения однородны и имеют форму

эллипсоидов. Тогда из гипотезы Нх и решения задачи для изолированной эллипсоидальной неоднородности в полино­ миальном внешнем поле (§ 2.3) следует, что поле £ ( Х ) внутри любого включения есть полином той же степени, что и ло­ кальное внешнее поле £ (X). В частности, если поле £ счи­ талось постоянным в областях Vn то оператор Р в (6.1.6) есть

290

оператор умножения на функцию Р°(х), постоянную в каж­ дой из областей

р\х) = р; = с;(1 +А(а,)с!У\ *(*)=*;, xev,.

Тензор А(а) определен соотношением (2.4.2), тензор Р°

определяется размерами и ориентацией области Vr Подставляя (6.1.7) в (6.1.6), придем к следующему уравне­

нию для поля £*(х) в области V(x eV):

е (х) = £°(х) - | к (х - х ')Р °(х'У (л г')^ (х ;x')dx'. (6.1.8)

Если предположение о постоянстве поля £*(х) в областях

Vt оправдано, то решения уравнений (6.1.8) и (6.1.6) совпада­ ют.

Будем считать теперь, что поле £*(х) является линейным

в областях Vk, занятых включениями,

Здесь £к - центр области Vk. Поскольку линейное внешнее поле индуцирует внутри эллипсоидальной неоднородности линейное поле, то оператор Р в (6.1.5) действует на £ (х) по формуле (х е Vk):

{ Р £ ) a/?( ^ ) = Р(к)ар1И £ {к)Хи + P(k)a/ttMvST(k)Xpi’ ( X ~ ^ k ) S ’ (6-1-10)

где тензор Рк определен в (6.1.7), а тензор Рк может быть найден из решения задачи для изолированной эллипсоидаль­ ной неоднородности в линейном внешнем поле (§ 2.3).

Учитывая, что постоянные тензоры £к и тк в (6.1.9) выра­

жаются через линейное в области Vk поле £*(х) следующим

образом (х е Vk):