книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdfО |
0.1 |
0.2 |
0.J |
0.4 |
d« |
Ри с . 5.12
решетки трещин принимает вид
251
На рис.5.12 приве дены графики коэф
фициентов Yv /2 в за_ висимости от парамет
ра ао для правильной кубической решетки трещин, все плоскости которой параллельны одной из граней куба.
Выражение (5.9.35)
для тензора В* в слу чае рассматриваемой
8 a V ( l - v J |
|
■Е5(т)+ |
2Р |
|
Е6(т) |
||
В*=В° 4 |
2 - к |
1- а - р |
2- |
||||
3//0( l - a ) |
|
v0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(5.9.38) |
||
|
|
|
В |
рамках |
метода |
||
|
|
|
эффективного |
поля |
|||
|
|
|
можно |
оценить вели |
|||
|
|
|
чину |
|
коэффициента |
||
|
|
|
интенсивности напря |
||||
|
|
|
жений |
на |
|
контуре |
|
|
|
|
трещин |
в |
решетке. |
||
|
|
|
Поскольку по предпо |
||||
|
|
|
ложению каждая тре |
||||
|
|
|
щина ведет |
себя как |
|||
|
|
|
изолированная в поле |
||||
Р и с . |
5.13 |
|
эффективных |
внеш |
|||
них напряжений а вида (5.9.36), то в случае чистого растяжения в направлении
нормали к плоскости трещин сг^ = сг manip коэффициент ин
тенсивности напряжений определяется выражением
К / = 2yja/na^jnp = 2yja/по / { l - a - f i ) . (5.9.39)
Рассмотрим решетку трещин, расположенных в одной плоскости. К этому случаю можно перейти от пространствен-
252
ной решетки, устремляя к бесконечности один из ее парамет ров (ф. Задача о квадратной решетке круговых трещин на плоскости была решена иным методом в [3, 4].
На рис.5.13 значение коэффициента подсчитанного по предложенной схеме (штриховая кривая),
сравнивается с максимальным значением кг на краю трещи ны, которое приводится в [4] (сплошная кривая),
dx=d2=d, q = la Id.
§ 5.10. Плоская задача для среды с множеством тонких включений
В этом пункте рассматривается плоская задача для среды с множеством тонких податливых эллиптических включений или прямолинейных трещин. На плоский случай формализм метода эффективного поля переносится без каких-либо прин ципиальных изменений. Плоская задача интересна тем, что здесь существует ряд точных решений (для регулярных струк тур) и экспериментальных данных, которые позволяют выяс нить пределы применимости метода эффективного поля для решения задачи осреднения.
Для плоскости, содержащей однородное множество тон ких эллиптических включений, тензор эффективных модулей упругости определяется соотношением (5.9.13), в котором
тензоры М(т) и D(m) имеют вид
М(т) = М, Р5 (т) + М2Р6(т) , |
(5.10.1) |
-1
D(m) = с/,Р 1(т) +d3(Pi(т) + Р4(т)) + d5P5(т)+ d6P6(т),
(5.10.2)
dx= -4 //oaec(l - 2/ 0 + 3 /,), d2= 4//0ае0( / 0 - 3 /,), ds = 4d2,
253
< = - 12^ . / , , / . = ^ - , / , = |
2 + r |
- ^ > 1 . |
1 + y |
6( l + r ) ‘ |
> r = a- |
Здесь /И - нормаль к срединной линии включения, / и h - его полуоси, Яо,//о - коэффициенты Ламе среды, Х,/л - те же ве
личины для включения, |
у - аспект корреляционной ямы для |
|
типичного включения. Из (5.10.2) следуют соотношения |
||
D(m) => -4 JJ0X 0P 1(т) |
при у —> оо, |
|
D(m) = D° = |
е 2 + 2£ ’ ) |
при у = 1.(5.10.3) |
Рассмотрим выражение (5.9.13) для В* в некоторых част ных случаях.
Г. Множество включений одной ориентации ш.
В* = В° + |
Ps(m) |
( Ч > |
P6{m). (5.10.4) |
l+d,(M,) l+df(M2)
Здесь осреднение проводится по случайным размерам и свойствам включений, величины МХ1,йЪ6 определены в (5.10.1), (5.10.2).
2°. Равномерное распределение включений по ориента циям.
В' = В‘ + , М‘ |
Е1 + M + M i (E>_ 1 Е») _ (5.10.5) |
|||
4(1+Л) |
4(1+7,)' |
2 |
' |
|
Л =l[M ,dt + 2M2(d6-d ,)], |
j 2= ± M 2(d2+dt). |
|||
Если у -¥ оо, то |
j x,j2—>0. |
При |
этом |
в случае трещин |
(// = 0) для эффективного модуля Юнга Е. и коэффициента
Пуассона у, из (5.10.5) следуют выражения
254
Е. = - ^ 4 |
v ,= -~ ~ , |
T = m ° ( l 2 ) . |
(5.10.6) |
1 + г |
1 + г |
' ' |
|
При у = 1 выражение для В* в случае трещин принимает
вид
В" = В'+ |
------- ———гг----- - |
ГвЕ1 + I(E ! - 4 Е ‘ )1 (5.10.7) |
|
|
4r t a 6 . ( 2 - r X 4 - r ) l |
Ч |
|
Отсюда следуют выражения для Е. и у, |
в форме |
||
Гг(»-3т)
(5.10.8)
Е.( 2 - т ) ( 4 - г )
К ^ Е , ________ г2
(5.10.9)
Ку,(2-т)(4-т)
Р и с . 5.14
На рис.5.14 зависимость (5.10.6) (кривая 1), (5.10.8) (кри вая 2) и (5.10.9) (кривая 3) сравниваются с экспериментальны ми данными [12]. Эксперименты проводились на тонких лис тах резины, содержащей случайное множество прямолиней ных связных разрезов. Результаты экспериментов аппрокси
мируются на рис.5.14 штриховой линией с кружками ( E . /E J
255
и штрихпункгирной линией ( v* / vo). Отметим, что множеству трещин, которое исследовалось в [12], лучше соответствует модель с ограничением на пересечение трещин (у = 1). Соот ношения (5.10.8), (5.10.9), которые получены для этой модели, описывают экспериментальные данные с достаточной для прикладных целей точностью.
3°. Регулярные решетки тонких включений на плос кости. В случае регулярной решетки прямолинейных включе
ний одинаковой ориентации функция ^ (л :) (5.9.30) прини мает вид
= Z J {x -n )L {x -n ), |
(5.10.10) |
n
где n - вектор решетки, образованной центрами включений, штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого п —0 ,
L (х-п)- дельта-функция, сосредоточенная на прямой с нор малью ш, проходящей через узел решетки с вектором П. Фун кция J(x) на прямой, проходящей через точку х=0, задается соотношением
j(x)= |
|
(l-lx\/l)yl(2-\x\/l)\x\/l+arcsin( 1-|x\/l)+ ^ , |
|x|<2 / |
|
2m°l |
0, |
|x|>2/ ’ |
||
|
||||
|
|
(5.10.11) где x - координата вдоль прямой. Эта функция представляет собой аналог функции J(x) вида (5.9.28) в плоском случае.
Выражение (5.10.2) для тензора D(m) при *Fm(x) в форме (5.10.10) представляется в виде абсолютно сходящегося ряда
D(m)=D° |
' [JS(x)dx-JS(x)J(x-n)L (х-и)^йс]+jS(x)dx, |
|
» |
v „ |
V . |
|
|
(5.10.12) |
где vn - ячейка периодичности, соответствующая вектору п,
тензор допределен в (5.10.3). Заметим, что в случае изотроп
256
ной среды формальное выражение для S(x) имеет вид (фор мула (П2.3.5) Приложение П2)
£ (х ) = ^ ^ ( е 2 + 4 Е 5(и) - 8 Е 6(и)), |
H = Y у. (5.10.13) |
я)хI |
х\ |
Рассмотрим решетку трещин одной ориентации, имею щую две ортогональные оси симметрии. В этом случае выра
жения для эффективного поля напряжений сг , в котором на ходится каждая трещина, и тензор В*принимает вид
сг = — |
Е ’ + ----- -------Е6( т ) о |
, |
(5.10.14) |
|
1 -/?| |
1 - а - р |
|
|
|
В* = В° + |
Е5{т)+ |
а - - Е 6(т) |
, (5.10.15) |
|
2//.®.(1 ~ Р ). |
\ - а - р |
|
|
|
где безразмерные коэффициенты а и /? |
представляют собой |
|||
сходящиеся двойные ряды, а их явные выражения определя ются формулами
1 |
|
1/2 |
1/2 |
1 =-сот=\ -1 |
|
- 1/2 |
- 1/2 |
4 1ST ',$ *+* |
<4* I I |
|
|
k=-oo m= 1 |
|
||
1/2 |
1/2 |
|
"1 |
- J <%i JFp{6 + (k,m ),^2+ ™)dZ\d$2 ■, (5.10.16) |
|||
-1/2 |
-1/2 |
|
J |
A $ = ^ [2(! - 2 М Щ Н З ) +arcsin(1 - 2\4) +1 ,
257
р 1 Ф 4 - р Р |
? А р л У А р л , Ф |
[ й + ( л й ) ’ ]’ |
[ « М а А ) 1 ]1 |
Здесь предполагается, что ось направлена вдоль |
нормали |
|
к линиям трещин, а ось |
- параллельна трещинам, |
Л^2//Ц, |
po=d2/dx, где dx,d2 - расстояние между центрами трещин
вдоль осей £,,£2 соответственно. Величина (к,т) зависит от типа рассматриваемой решетки. В частности, для квадратной
решетки (к,т)=к, р0=1, а для треугольной решетки р = 4 3/2,
( * ,« ) = * + ^ [1 -(-1 )* ].
Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин при одноосном растяжении в направлении нормали
(Aj) и при чистом сдвиге (ки ) определяются соотношениями
|
кх = л/Зл/^сг0 , |
ки = у/27г1к2т°, |
(5.10.17) |
где а |
и г - величины внешних растягивающих напряжений и |
||
напряжений сдвига соответственно, |
|
||
|
кх= {\ - а - р )~ Х, |
к2 = {\ - р У '. |
(5.10.18) |
Рассмотрим некоторые частные случаи. |
|
||
а) |
Правильная треугольнаярешетка трещин. На рис.5.15 |
||
258
приведены зависимости Е ,/Е о (кривая 1) и //»///„(кривая 2) от
параметра решетки Л=2l/d, где d- расстояние между центра ми трещин. Аналогичные зависимости для коэффициентов
кх,к2 (5.10.17) приводятся на рис. 5.16. Точному решению за дачи, полученному в [140], соответствуют на этих рисунках сплошные кривые.
б) |
Коллинеарная система трещин на одной прямой. |
Значения коэффициентов а и /? в (5.10.17), соответствующие этому случаю, можно получить из решения задачи для прямо угольной решетки, устремляя к бесконечности один из ее па
раметров (//2—»оо). При этом а = 0, а р имеет вид одинар ного ряда
22 ю |
» |
/(£) |
|
= — Z |
f ; |
------- Д = 2 / / 4 > |
(5.10.19) |
где функция у(£) определена в (5.10.16).
В таблице значения коэффициента кх сравниваются с его точным значением, которое имеет вид [118]
2sin(/rA/2)
|
к \ = - ■ = = = = - , |
|
|
(5.10.20) |
||
|
V лЛsin лЛ |
|
Таблица |
|||
|
|
|
|
|||
Л |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0,99 |
|
кх |
1,02 |
1,07 |
1,20 |
1,50 |
5,10 |
|
1,02 |
1,07 |
1,20 |
1,55 |
6,20 |
||
К |
||||||
|
|
|
|
|
||
в) |
Вертикальный ряд параллельных трещин. На рис.5.17 |
|||||
значения коэффициентов интенсивности кх и к2, полученные методом эффективного поля (штриховые линии с кружками), сравниваются с результатами численного решения задачи [117] (сплошные кривые).
259
Коэффициенты а и р в (5.10.18) имеют в данном случае
вид
" |
г 3(gA)4 - т4 |
2/ |
а - |
A f № , Л = |
(5.10.21) |
m=1 |
+гп2j |
|
(£Л)4 +тА- 6т2(£А)2
Add*.
[ ( # ) 2+m2]
Как видно из рассмотренных здесь примеров, в плоском случае метод эффективного поля в одночастичном приближе нии дает хорошее совпадение с результатами более точных расчетов упругих постоянных и коэффициентов интенсивнос ти, когда длина трещин не превышает расстояние между их центрами. Это утверждение оказывается справедливым и для других регулярных систем трещин на плоскости.
При сближении центров трещин в решетке (случай в) ло
кальное внешнее поле <т(х), в котором находится каждая трещина, начинает все больше отличаться от постоянного. Поэтому ошибка, которая возникает здесь при пользовании метода эффективного поля в одночастичном приближении,
связана с нарушением гипотезы о постоянстве поля су* .
260
§ 5.11. Упругие свойства матричных композитов, армированных короткими осесимметричными волокнами
Рассмотрим упругую среду, в которой пространственно однородно распределено множество осесимметричных жест ких волокон. Для решения задачи осреднения воспользуемся методом эффективного поля и будем считать, что каждое во локно, ориентация оси которого определяется единичным вектором т, находится в постоянном внешнем поле дефома-
ций е’ (т). Свойства волокон характеризуются двумя малыми параметрами: отношением характерного диаметра к длине (<5j) и отношением характерных модулей упругости среды и воло кон (S2). Используя результаты главы IV и ограничиваясь главными членами асимптотики упругих полей по указанным малым параметрам, выражение для тензоров деформаций и напряжений в среде с волокнами можно представить в виде (см. (4.4.11), (4.4.12))
fi(x) = е - j¥L(x-x')A(x',m')£*(m')L(x')dx',
о(х) = <т - ^S(x-x')B°A(x',m')e(m')L(x,)dx',
L{x) = £ / , ( * ) , т' - /я(дг'), |
(5.11.1) |
1 |
|
где Ц(х) - дельта-функция, сосредоточенная на оси Ц /-го волокна. Функция Л(Х) на оси каждого волокна определяется соотношением, которое следует из (4.4.14):
Л (х,/я) = т 2{х)В{х,т), X G L, |
(5.11.2) |
В(х,т) = В°{т)+Ь^х)(Р3{т) + Р4{т)) + Ет/{х)Р6{т),
В'(т) = ^ [ ( 3 - 4 v,)P'(m) - f P !(m )+4(l - v0)P5(m)},