книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

271

Р‘ (т) = р,Рг +р2( р ' - \ Р г)+ р ,(Р '+ Р ')+ р ,Р >+ptP‘ ,

N

й = ( Е ( * |- * .) 0 + ^ )Й г-^-,) • “i = * , (5-12.7)

к1= 1

Л = U f (и, -M„)[(l+21?+21? № -S i, )+*>’ f t +Tt X ^ - a J ,)]j ,

A = ( i ( ', - 0 ( i +i ;X ^ - ^ ,) ) . р > = ( ^ 1 ж < № - ё ? А

i 1=1

P« = ( £ [ » , -n . +2(1,- l M ] ( s l - a l,fj,

где постоянные Yj определяются из решения задачи для оди­ ночного цилиндрического слоистого включения, алгоритм по­ строения этих постоянных описан в § 2.11.

Тензор С* (5.12.2) в том же базисе Р’(т) определяется выражениями

С* = КР2 + 2т.(р' - i p 2) + /,(p 3 + P 4) + 4/U>5 +п.Р6,

В случае однородных волокон (JV = 1) эффективные коэф­ фициенты упругости композита принимают вид

272

висимости^параметра Я,+2т, от объемной концентрации волокон (светлые точки о _ экспериментальные значения),

2-m .(* ),3 -//.(x ),4 -w .(.).

§5.13. Термоупругая деформация композитов со сферическими и цилиндрическими слоистыми включениями

Рассмотрим термическую деформацию композитного ма­ териала в постоянном температурном поле. Деформацию сре-

273

ды будем считать нестесненной на бесконечности. Начнем с задачи определения средних деформаций композитного мате­ риала, армированного статистически однородным и изотроп­ ным множеством сферических слоистых включений. При этом воспользуемся методом эффективного поля и будем считать, что каждое включение ведет себя как изолированное в одно­

родной среде с тензорами модулей упругости С° и коэффици­ ентов линейного расширения а° при действии постоянного температурного поля Т и поля эффективных внешних напря­

жений а , которое наводится окружающими неоднородностя­ ми. В рамках основной гипотезы метода, температурные на­

пряжения в области Vi, занятой / -м включением, определя­ ются из решения уравнения (2.1.17):

где В], at - возмущение тензора упругой податливости и коэф­

фициентов линейного расширения в области Vi. Решение уравнения (5.13.1) можно представить в виде

где функции 0х(х) и с /(х ) удовлетворяют уравнению (5.13.1) с правой частью IS {x - х')а](х')с1х' и <т, соответственно.

Задача о температурных напряжениях а7 (х) в среде с изоли­ рованным сферически слоистым включением решена в §2.9. Выражение для тензора с/(х) в сферической системе коор­ динат (г, и), начало которой находится в центре включения, имеет вид

(5.13.8)

где V - о&ьем типичного включения, п - объемная концент­ рация включений.

Подставив (5.13.8) в (5.13.7) и вычислив интеграл с учетом регуляризации (5.2.11), найдем

а =-£>°(А г + A V ) , D° = j S{x\l-4f{x)]fix. (5.13.9)

Здесь и далее предполагается, что функция 'Р(х) сфериче­

ски симметрична ('Р(х) = хР(|дс|)), при этом тензор D° опре­ деляется выражением (5.9.17). Разрешив уравнение (5.13.9)

относительно <т*, найдем

Осредняя теперь выражение для тензора деформаций (5.13.6), получим

Поскольку это выражение представляет собой среднюю деформацию композита при изменении его температуры на один градус, то < а > совпадает с тензором коэффициентов

Л'=(Л,)Е2+(Л2)(Е '4 Е г),

ЭКо =1

276

скалярный коэффициент линейного расширения имеет вид

С помощью формул (5.13.2), (5.13.4) и (5.13.10) можно вы­

числить напряжения сг^(г,«) в окрестности произвольного

включения

(5.13.14)

где слагаемыми, пропорциональными £ , учитывается взаимо­ действие между включениями

(5.13.15)

Заметим, что полученное выражение для cr^(r,w) следует

домножить на истинное значение температуры композита Т. В случае однородных включений выражение (5.13.13) для

а, принимает вид (N = 1, а, = а,кх=к)

Результаты расчетов напряжений в соответствии с соотноше­ нием (5.13.14) в некоторых случаях приведены в [57].

В заключение этого пункта приведем выражение для тен­ зора коэффициентов линейного расширения композита, ар­ мированного однонаправленными цилиндрическими слоисты­ ми волокнами. Материал среды и включений будем считать трансверсально-изотропным с осью изотропии т, направлен-

278

В случае однородных волокон (N=1) и изотропных матри­ це и включениях тензор а в базисе ортогональных осей, од­ на из которых (ось х3) направлена вдоль волокон, имеет от­

личными от нуля только диагональные компоненты а*, = а12

и «зз. Выражения для этих компонент имеют вид

«п = а» +р{а~ а .)4 , «зз = «о + /> (« - «о)А3 , (5.13.20)

4 = ^ r [ EAf4(1-/>Xl+ У.Хv~ К,)], ^2=^-{[/>E+(l+ v)(l-p)E0]x

где Е,Е„; v, vo - модули Юнга и коэффициенты Пуассона

включений и матрицы, коэффициенты к.,1. и п, определены в (5.12.9).

Характер погрешности полученных формул для а обсуж­ дался в [76, 86]. Отмечалось, что для материалов типа стекло­

пластиков относительная ошибка в вычислении а по форму­ лам (5.13.12), (5.13.19) не превышает 10-15% вплоть до кон­ центрации волокон, близкой к плотной упаковке.

279

§ 5.14. Приближение точечных дефектов в механике матричных композитных материалов

В данном пункте рассмотрим приближение, основанное на замене включений конечных размеров в матричных компо­ зитах точечными изолированными неоднородностями. При аппроксимации включения точечной неоднородностью будем исходить из условия, что асимптотика возмущенного поля от включения конечных размеров и точечного дефекта, которым он моделируется, должны совпадать на бесконечности.

Рассмотрим изолированную неоднородность с модулями упругости С(х) в однородной среде С° и пусть V- конечная область, занятая неоднородностью. Поля напряжений и де­ формаций в среде с неоднородностью можно представить в виде

о(х) = ст(х) + ^8{х-х')т{х')с1х\ /я(х) = Bx(x)o{x)V(x),

s(x) = е°(х) + ^ ¥ { х - х 9)С0гп(х9)сЬс\ Вх(х) = В{х)-В \

(5.14.1)

где т(х) - плотность дислокационных моментов, индуциро­

ванная приложенным внешним полем о и эквивалентная рассматриваемой неоднородности. Переход к точечному де­

фекту соответствует замене плотности т(х) первым членом ее разложения в ряд по мультиполям (§1.4)

т(х) = MS{х - £)+..., М - ^m{x)dx, (5.14.2)

где £ - точка приведения, которую удобно выбрать в центре тяжести включения.

В случае постоянного в области V внешнего поля плот­ ность т(х) и тензор М определяются выражениями

т{х) = М{х)а\ М = М°а°, М° = J M(x)dx, (5.14.3)

280

где функция М ( Х ) определяется из решения задачи об изоли­

рованной неоднородности в постоянном внешнем поле сг. В частности, в случае эллипсоидальной неоднородности тензор

М ° имеет следующий вид

где v - объем включения, тензор А(а) зависит от формы эл­ липсоида и определяется соотношением (2.4.2). Если неодно­ родность представляет собой эллиптическую трещину, кото­

рая раскрывается в поле сг°, то

М °аРХ„ = J (Г )'т П„) > Р -14-5>

где п - нормаль к плоскости трещины, а},а2 ее полуоси, тен­

зор Т° определен в (2.7.11).

Пусть теперь однородная среда содержит множество точе­

чных дефектов. Обозначим через о\ локальное поле, в кото­ ром находится 1-й дефект. Тогда поля напряжений и деформа­ ций в среде с точечными дефектами на основании (5.14.1),

где ^к{к-1,2,...) - точки, в которых имеются точечные дефекты. Рассмотрим простейший пример. Пусть на плоскости име­ ются две прямолинейные трещины, длина каждой из которых