книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

92

Здесь S'(s)- преобразование Меллина скалярных коэффи­

циентов St(r) в разложении (2.8.16).

Из соотношений (2.8.13) следует, что тензоры KSE‘ и

K JC I* представляют собой линейные комбинации трех тензо­

ров Т1, определенных в (2.8.14). Но тогда и тензор A'(s,n) естественно искать в виде такой же линейной комбинации:

(J =1,2,3).

Поскольку умножению на (—S) в пространстве преобра­ зований Меллина соответствует операция D [135]

в исходном Г- пространстве, то из выражений (2.8.14) и (2.8.18) следует, что тензор А(г,п) имеет вид

A(r,n) = [E '+ E S(n)D](5+ D)ax(г)+ [Е2 + Е4 (n)D]a2 (г) +

+{е 2+ 2Е' + [ £ 3(и) + Е\п) +4 Es{n)]D + E6{n)D{D - 2)} х

Перейдем теперь к определению функций а-(г). Подста­

вим выражение для тензора A'(s,r) (2.8.18) в уравнение (2.8.17). С учетом соотношений (2.8.14) и (2.8.16) придем к равенству, правая и левая части которого являются комбина­

циями тензоров Т\Т2,Тг. Приравнивая коэффициенты при

тензорах Г1 и Г3 в обеих частях этого равенства, после неко-

93

торых преобразований придем к соотношениям, связываю­ щим функции a*(s) и or*(л):

juos(s + 2)( J - 3)(J - 5) 0 ) + о ; ( S ) = -2 s(s + 2)ц\(5 ) ,

JUJ(S+ 2)(s - 3)(s - 5)[a* (5) - (1 - ae0)a*(s)] + (1 - эео )Ф*30 ) = 0,

(2.8.21)

0;(5) = 5(5 + 2)tS1*(5) + j(5 + 2)(5 -l)<S5*(5) + 2(5 -2)^(5),

® 3(*) = (j- 3 )[2 (j + 2)5,3*(s) + (s + 2 )^ (s )+ 2 (j-2 )5 j(s )].

(2.8.22)

Здесь S*(s) - по-прежнему преобразования Меллина ска­

лярных коэффициентов S,(r) в разложении (2.8.16). Эти ко­ эффициенты находятся в результате подстановки (2.8.20) в (2.8.16)

S2= А,[(3 +D)a2+ (5+ £))а3] + 2//1(а 2+ аг- а ,),

8Ъ= A](5+D)Dai+2{ixD(a3- a ,), S4- 2 ^ D (a 2 + аъ- а 4),

S5=2MlD[(\+D)a] + 4a}l S6= 2MiD (D -2)(a3--а ,).

Равенство коэффициентов при Т2 дает соотношение, ана­

Уравнение для этой функции может быть получено следу­ ющим образом. Если умножить обе стороны (2.8.17) на тензор

Е2 справа и учесть равенства

АЕ2 =(Е 2 +E AD)0, С]АЕ2 =S7E2 +SSE\

то получается соотношение, в которое входит только функция m

MX S - 3)Д (s) - (1 - as.)ф ; (S) = (1 —з£о)л[ЗА* (5) + 2rf(s)],

94

Переходя в выражениях (2.8.21) и (2.8.26) к Г - представ­ лениям, то есть заменяя преобразования Меллина функций

ах,а г,(3 и St их оригиналами, а параметр (—S) - дифферен­

циальным оператором D (2.8.19), получим три дифференци­ альных уравнения, которым удовлетворяют искомые функции

<*&)>(*&)*№)•

Пусть Хх(г),цх(г) - финитные функции с кусочно непре­

рывными вторыми производными и dXx/ dr = dfxx/ dr = 0 при

г —0. Тогда из (2.8.21) получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относи­

тельно функций ах(г) и аг(г), а из (2.8.26) - уравнение вто­

рого порядка для Р(г), правые части и коэффициенты кото­ рых - кусочно непрерывные функции г . Решение этих урав­ нений должно быть ограниченным всюду и удовлетворять условиям

Первая группа этих условий выполняется в силу непре­ рывности функции Л(г,п) при г = О, а вторая - вследствие

стремления Л(г,п) к нулю на бесконечности.

Перейдем теперь к построению решения термоупругой за­ дачи для среды со сферически симметричной неоднород­ ностью. Будем считать, что поле температуры Т однородно, причем при Т - 0 среда свободна от внутренних напряжений. Если Т * 0, то в среде возникают температурные напряжения

о(х), распределение которых описывается уравнением (2.1.17) при а (х) - 0:

а(х) - J S(x - х’)Вх(x ')o(x ')i& ' =J S{x - x')a{x')dx’ Т.

(2.8.28)

Здесь а(х) - коэффициент линейного расширения среды,

который, как и тензор модулей упругости С(х), является функцией расстояния г до центра сферического включения.

95

Введем тензоры упругой деформации £е(х), полной де­

формации £(х) и тензор возмущения деформации £1Г(х), связанного с наличием неоднородности

ее(х) = С 1(х)ст(х), £(х) = е*(х) + а(х)Ту

е'т(х )= е (х ) - а 0Т.

Здесь а - коэффициент линейного температурного рас­

ширения среды. Очевидно, что £1Г(х) стремится к нулю при

X —» 00.

Из (2.8.28) с помощью алгебраических преобразований можно получить уравнение, которому удовлетворяют функции

£irO)+J K (x -x ,)Cl(x,)t?T(x')dx,=f К (x - x ^ C W c tix 'W T ,

(2.8.30)

где а] (х)= а(х)-а° - финитная функция |х|. При выводе

этого уравнения предполагалось, что деформация среды не стеснена на бесконечности, поэтому с учетом (1.2.17) имеет место равенство

(2.8.31)

В дальнейшем будем считать, что Т = 1. Поэтому получен­ ные ниже выражения для тензоров напряжений и деформа­ ций в среде следует домножить на значение температуры Г.

Для изотропных среды и включения тензоры С(х) и ос(х) имеют ввд

С(х) = Л(г)Е2+2р(г)Е\ a^(r) = a(r)Safi. (2.8.32)

Осуществим преобразование Меллина обеих сторон урав­ нения (2.8.30). В силу (2.8.5), (2.8.6) получим

£*1Г(s,«) + К, (С 1i г )*(s, п) = Ks (Са1)*(5,«>.(2.8.33) Правая часть этого равенства вследствие формул (2.8.13)

представляется следующим образом

96

y{r) = 2k(r)ax(r), к(г) = Л(г)+^ц(г), ax{r) = a(r)- a°,

(2.8.35)

где X*(J) _ преобразование Меллина функции ^(/*).

Из (2.8.13) следует, что действие оператора Ki на диаду

п®п имеет вид

(А.+2//>(3-5)

Соотношения (2.8.35) и (2.8.36) указывают на то, что реше­ ние уравнения (2.8.33) можно искать в форме

где (Тт(5) - преобразование Меллина скалярной функции

Отсюда следует, что произведение С 1£П в (2.8.33) имеет

вид

Сф*(Г)*%,(Г>П) = S A r)Sap+S2A r)nanf>> (2.8.39)

SXT(г) = [3кх(г) + Л, (г)D]fiT (г), к, (г) = к(г) - ко,

S2T(r) = 2nx(r)DpT(r), ка=Ля+%р0.

Подставляя (2.8.37) и (2.8.39) в (2.8.33), с учетом соотно­ шений (2.8.35) и (2.8.36) придем к равенству, левая и правая

части которого пропорциональны тензору h(s,n). Прирав­ нивая коэффициенты при этом тензоре, получим

97

(Ae+2//e)(3 -5 )^ (j)+ [5 ;r( 5 ) - ^ ^ r (j)]=y*(j). (2.8.40) Домножив обе части этого соотношения на S и переходя

к Г - представлению, получим дифференциальное уравнение

для функции Рт{г)

Из (2.8.38) и свойств тензоров е'т(г,п) следует, что функ­

ция рт(г) должна быть ограничена при г = 0 и стремиться к нулю при г —>оо. При этих условиях решение уравнения (2.8.41) определяется однозначно. После того, как это реше­ ние известно, из (2.8.29) и (2.8.38) можно вычислить темпера­ турные напряжения и деформации в среде со сферически симметричной неоднородностью.

§ 2.9. Сферическое слоистое включение

Пусть модули упругости и коэффициенты линейного рас­ ширения включения - кусочно постоянные функции Гс раз­

рывами в точках г =at ,i = \,2...,N,0 <ах<а2 <...<aN. В этом

случае включение состоит из ядра и (N —1)-го сферического слоя с постоянными термоупругими характеристиками.

Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции ах,а г,Р и Рт, определяющие решения упругой и термоупругой задач, в областях, где термоупругие характерис­ тики постоянны, упрощаются и принимают вид

D(D + 3)P=0, D(D + 3)PT= 0.

Эти уравнения следуют из общих формул (2.8.21)-(2.8.26) и (2.8.41) . Их общие решения в интервалах а ._ ,< г< а (,

/= 1,2,..., N +1; а =0, aw+1 = оо представляются в форме

а, (г) = У‘+ УУ+ У‘Г 3+ У у 5, аъ {г) = У‘+ У'г2+ У у Ч У‘Г 5,

99

С учетом равенств (2.9.3) и (2.9.5) функция O ’ (s) в (2.8.22) принимает вид

« а д = 2 2 {(5 + 2 )(5 г -8 J + 9)[/,,«, 1 -4 (* + 2 )[Л а ,], - »=1

Непосредственным интегрированием можно показать, что

для функции а, (г) вида (2.9.2) справедливо равенство

s(s + 2)(s - 3)(s - 5)(//а, )*(s) = - ]Г {s3[//a, ]; - s[^(6 + D)а ,], +

1= 1

+^//(Z)2+ 6 £ )-l)a 1j - ^ ( D 3+6Z>2-Z )-30)a, j}a/. (2.9.7)

Подставляя (2.9.6) в первое из соотношений (2.8.21) и учитывая (2.9.7), придем к соотношению

S {* > .[« ,! - * 2я((Д+6)а,1 Ц Д в 2 +6D -l)a,] -

/ = 1

-[//, (7 а, - 3Dax+ 4а3 +4Z)ar3)]1) - [//(Z)3 + 6D2- £>- 30) а, ], +

+2[//i (4 а 3 - 4Da3 - 9а, + 3Da,)], = - 2 £ (2 + s )[/4 а / .

(2.9.8) Приравнивая множители при линейно независимых фун­

кциях в левой и правой частях этого соотношения, придем к N равенствам, каждое из которых связывает два полинома. Коэффициенты при одинаковых степенях S у этих полиномов должны быть равны. Отсюда, после алгебраических преобра­ зований, получим следующую систему условий на скачки

функции ах(г) и ее производных в точках г = на границах слоев

100

Тем же путем из второго соотношения (2.8.21) с использо­ ванием (2.8.26) можно получить аналогичные условия на скач­

ки функций аг и /? и их производных

[(Я+2//)£>2а 3 ],= - 2[ц\-({ц(\+D) а, ],-4[//а3 ] -[(5Я+6//)£>а3 ],, [(Я+2//)Я3а3],=16[//],+24[//(2+Z>)а, ](+32[//а3],+[(25Я+42//)/)а3]1,

функций ах, аъ,Р и (Зтпри г = 0 и г —>оо можно найти все

произвольные постоянные У‘, входящие в выражения (2.9.2),

которые определяют вид этих функций внутри слоев. Обра­ тимся к построению алгоритма вычисления этих постоянных в общем случае.

Введем Я +1 двенадцатимерных вектора У, компонента­

ми которых являются постоянные}", определяющие решение задачи на i -м интервале (в / -м слое) согласно (2.9.2), и N + 1 векторов X (г) с компонентами