книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

261

где Е0, vo - модуль Юнга и коэффициент Пуассона среды,

Ет и Е, модуль Юнга стержня вдоль его оси (т) и в попереч­

ном направлении, vlmкоэффициент Пуассона в поперечном направлении. Стержень предполагается трансверсально-изот­ ропным с осью симметрии т. Функция f (х) в этих соотно­ шениях зависит от формы стержня, а ее явные выражения в некоторых частных случаях имеют вид (4.3.46), а(х) - пере­ менный радиус волокна.

Введем функцию L(x;x') соотношением

i*k

Спомощью этой функции локальное внешнее поле ё (х ),

вкотором находится волокно Lk(x eLk), принимает вид

ё(х ) = s° -jK (x -x ')A (x ',m ')L (x ;x ')d x '. (5.11.5)

Осредняя это соотношение при условии, что точка х на­ ходится на оси волокна ориентации т, получим

е*(т) = е° - |к(х-х')^Л(х',т')£’(т')^(х;х')|х,ти^&',

(5.11.6)

где <|х,т>- указанное условное среднее и ё {т)-<£ (дг)|де,/я>. В предположении о статистической независимости свойств волокон от их положения в пространстве среднее под интег­ ралом в (5.11.6) представляется в форме

( Л ( г > ') е ( /» ') 1 (х;х')|г)т ) = ( л ( т ') £ ( т ') ^ я( г - г ') )

(5.11.7)

262

где z - координата вдоль оси типичного стержня длины 21 с

началом в его середине, среднее < L{m)e*(т) > вычисляется по ансамблевым распределениям длин стержней, их ориента­ циям и свойствам. Как и в случае тонких включений ( § 5.4), функция ¥m(x) обладает свойствами

и определяет ввд корреляционной ямы, в которой находится типичное волокно ориентации т в композите. Далее будем считать, что существует линейное преобразование х -прост­

ранства, которое переводит функцию ^ т (х) в сферически симметричную. Таким образом, функция ¥т (х) имеет симмет­ рию эллипсоида вращения с осью т и полуосями а1=а2=а

и а„.

Вычисляя интеграл в (5.11.6) с учетом свойств *Fm(x), по­ лучим

Здесь предполагается, что фиксированной является внеш­ няя деформация среды, и использованы соотношения (5.2.13).

Для функции ^ ( х ) указанного выше вида тензор А(т) в

этом соотношении имеет вид (ср.(2.4.8), (2.4.12)) (у=а/ат<1)

А{т)-ахР2 +а2(р 1- у Р2)+аъ(Р2+Р 4)+а5Р5+а6Р6, Р'=Р(т),

263

«5 = - ( ! - / . - 4 / , ) , a ,= — [(l-«.X l-2 /.) + 2/,],

i+ y i

[(2+ r2)g -3 r 2].

H / i V '

Домножая обе части (5.11.10) на тензор Л(/и) и осредняя результат по ориентациям, длинам и свойствам волокон, по­ лучим уравнение, разрешая которое относительно среднего

< А(т)е ( т ) >, найдем

^Л(т)£*(т)^ = [/-(л (/я )Д (т ))] (А(т)}е°.(5.11.13)

Осредняя теперь выражение (5.11.1) для тензора напряже­ ний в среде с волокнами и учитывая соотношение

для случая фиксированных внешних деформаций получим

Здесь С*- искомый тензор эффективных модулей упругос­ ти композита, армированного короткими жесткими волокна­ ми.

Рассмотрим выражения (5.11.15) для тензора С*в конкрет­ ных частных случаях. Пусть все волокна в композите имеют одинаковые размеры, свойства и ориентацию. При этом тен­

зор Л(т) является детерминированным и определяется выра­ жениями

Л(ю)=Л,.Р2 +Л2(р ‘ Р2 )+Я3 (Р 3+Р4 )+Л5Р5+Л6Р6, F =Р1(/я),

264

Здесь р - объемная концентрация волокон, функция (p(q) имеет вид

смотренных в главе IV, функция (piq) определяется соотноше­ ниями, которые следуют из (5.11.17), (4.3.46):

а) цилиндрическое волокно радиуса a (St -a lt)

в) волокно в форме остроконечного веретена а(^) = а( 1-|<£|),

S, - a ll

265

вслучае однонаправленных волокон принимает вид

H(m)=hlP2+h2(p l~ j Рг)+}цР3+к4Р+И5Р5+И6Р6, F=F(m),

где коэффициенты о; и Я,, определены в (5.11.12), (5.11.16).

Тензор С* (5.11.15) является при этом трансверсально-изо­ тропным и определяется выражением (ср.(2.10.6))

С\т)=к.Р2+2т,(р1-^ Р 2)+1,(Р3+Р4)+ ^ ,Р 5+пфР6, F=F(m ) ,

267

лены зависимости модулей Юнга Е *(р) и Е3(/>) для компо­ зитов, армированных периодической системой однонаправ­ ленных волокон в форме параллелепипедов. Для изотропной

среды и включений (Eo/E m=0.05, i/m=0.3, vo = 0.35) эти модули

^=0(£,) расчеты по (5.11.23) практически совпадают с резуль­ татами [150].

Пусть теперь волокна равномерно распределены по ори­ ентациям. При этом композит будет макроизотропным, а вы­

ражения для эффективных модулей объемного сжатия к, и

сдвига / 4 , которые следуют из (5.11.15), имеют вид

j 2 = ■^•^2Я,я, + з(.А3я3 + Л2а2) ~2(Я,я3 + Л3 г1) —(Л3 г6+ Л6д3) +

"^^б^б] >

где коэффициенты Л1,а определены в (5.11.12), (5.11.16).

На рис.5.21 представлены расчетные (сплошные кривые) и экспериментальные (светлые кружки [202]) зависимости моду­

ля Юнга Е» и коэффициента Пуассона у, от объемной кон­ центрации волокон р для композита на основе термореактив­ ной смолы (Е0=2.25ГПа, К,=0.4), армированной хаотической системой цилиндрических стекловолокон (Ет=77ГПа, vm=0.25,

268

<5,=0.002). Расчетные кривые получены из (5.11.24) при у=28х. Полученные в данном пункте результаты позволяют сде­

лать следующие выводы.

Г. Если функция формы стержня а(£) имеет характерный масштаб изменения порядка длины волокна, то при <7 > 10

("очень длинные" волокна) и <7 < 0,1 ("очень жесткие" волок­ на) форма волокон практически не сказывается на величине упругих модулей композита и тензор С*зависит либо от объ­ емной концентрации наполнителя p(q> 10) либо от безраз­

мерного параметра % - ~п°1г/ In 8Х, (q <0Д ).

2°. В композитах, армированных волокнами в форме эл­ липсоидов или остроконечных веретен, материал наполнителя используется более рационально, чем в композитах с цилинд­ рическими волокнами. Это следует из того, что графики функции <p(q), соответствующие эллипсоиду и веретену (кри­ вые 2,3 на рис.5.18), проходят выше, чем график <p(q) для ци­ линдра (кривая I).

3°. Сопоставление расчетов с экспериментальными дан­ ными показывает, что фигурирующий в теории параметр у

должен иметь порядок среднего аспекта волокон 8Х. При этом величина у максимальна для сильно коррелированной в пространстве (регулярной) системы волокон (/« 3 £ ,) и нес­

269

колько меньше (y=(l +2)SX для случайного множества воло­ кон. Это соответствует геометрическому смыслу параметра у, который связан с вероятностью взаимного сближения воло­ кон в композите. При стохастическом армировании, когда оси волокон могут сближаться на расстояния порядка их диаметра (2а), величина отношения полуосей корреляционной ямы для

типичного включения имеет порядок <5,. При квазирегулярном расположении волокон значение у определяется отноше­ нием размеров ячейки периодичности и может быть несколь­

ко больше Sv Значение у зависит от технологических осо­ бенностей изготовления композита и должно определяться из стохастического анализа его микроструктуры.

§ 5.12. Упругая среда, армированная однонаправленными слоистыми волокнами

Рассмотрим композит, армированный системой однона­ правленных круговых цилиндрических волокон бесконечной длины. Предполагается, что каждое волокно состоит из N ци­ линдрических слоев с различными упругими свойствами. Ма­ териал среды и волокон будем считать трансверсально-изот­ ропным с осью изотропии, совпадающей по направлению с осью армирования. Распределение волокон в ортогональной к оси армирования плоскости предполагается статистически од­ нородным и изотропным, внешнее поле - однородная дефор­

мация ё .

Следуя методу эффективного поля, будем считать, что каждое включение в композите ведет себя как изолированное

в поле внешней деформации ё , одинаковой для всех включе­ ний. При этом поле е(х) внутри любого включения представ­ ляется в форме

(5.12.1)

где х = х(хх,х2),х х,х2 - декартовы координаты в плоскости,

ортогональной оси волокна тензор А(х) определяется соотно­ шениями (2.10.20), (2.11.2) главы П. Схема метода эффектив­

270

ного поля в данном случае полностью аналогична изложенной в § 5.3 для случая среды, армированной эллипсоидальными

включениями. Выражения для тензоров е и эффективных

модулей упругости композита С* представляется в форме,

аналогичной (5.5.21), (5.5.23) (п - числовая концентрация во­ локон)

Здесь тензоры Р° и А° определяются выражениями (см. (2.4.14))

P° = (v ) - ^ J c ’ (х )[/ + A(x)]d£j, (v) = n(a2N), (5.12.4)

А°(т )=^Р\т )+^Щ р\т )-^Р\т ))+— P\m), x = - ^ ~ , 4mo 4m0 L p0 k0+m0

(5.12.5)

где v - область на плоскости хих2, занятая включением с внешним радиусом aN,m - орт оси армирования, к0,то,ро -

упругие параметры матрицы. Заметим, что тензоры С° и

С = С° + С 1 в базисе Р'(т) представляются в виде (г =|х|)

С°=к0Р2+2т0(р'~\Р 2) + 10(Р3+Р 4)+4р0Р5+п0Р6,

С{г)=к{г)Р2+2т{г)(рх- \ Р 2)+1{г)(рг+Рл)+4р{г)Ръ+п{г)Р6.

(5.12.6) Для цилиндрически слоистого включения в последнее соотно­

шение параметры упругости в /-м слое (а,_, <r<ai, /=l,2,...N, ао= 0, а - радиус /-го слоя) принимают значения kl,mj,li,pj,nr

Выражение для тензора Р° с учетом (2.10.21), (2.11.2) пре­ образуется к виду (Р‘ = Р’(т))