книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

291

е\к)ф = e^ ix )- [ v ^ ( x ) ] ( x - £ k)x , r{k)afiX = VXS 0 ,

(6. 1.11)

получим, что уравнение (6.1.6) для е (х) при справедливости (6.1.9) примет вид

е<:ф(х) = е°ар(*) - J K ^ v (* - *') х (6.1.12)

где функции Р2(х) и Hs{х) определяются соотношениями

» , ( * ) = *< «.(* ) = ( * - & ) , . xeV >- к = 1.2......

Уравнение (6.1.12) является уже инте1родифференциальным относительно £*(х). Если поле £*(х) аппроксимировать

полиномами второй степени в области Vk9 то аналогичным путем придем к интегродифференциальному уравнению, в ко­ тором будут фигурировать производные второго порядка от

е(х).

Поле £ (х), удовлетворяющее уравнениям (6.1.8), (6.1.13) или им аналогичным, будем называть далее эффективным. При этом (6.1.8) назовем уравнением нулевого порядка, а (6.1.12)- уравнением первого порядка для эффективного поля.

§ 6.2. Некоторые средние однородных случайных полей

Данный параграф носит вспомогательный характер и в нем будут рассмотрены различные условные средние от слу­ чайных функций V (х ), £ (х ) и сг(х). Здесь V(х) - характе­ ристическая функция изолированных областей, которые од­ нородно распределены в пространстве. Поля типа тензоров деформаций £ (* ) и напряжений сг(х), а также эффективное

поле е*(х) являются функционалами случайного поля V(х).

293

Среднее от функции / (х) при этих условиях обозначим

через < /(х)| х;х,> , а выражение для этого среднего имеет ввд

( /M l *; )=(v(x)V{x-, X,))"' Jf{x)v{x)v{x- xx)d/4v),

(6.2.6)

где функция V(x; x,) определена соотношением (5.5.3).

Из определения условных средних следуют соотношения

( / (*)Г(*|;х)|*,) = (г(х,;х)| X,) { /( х)| х; дг,),

которые использовались в главе V при реализации метода эф­ фективного поля в одночастичном приближении.

Относительно всех фигурирующих здесь однородных слу­ чайных функций будет предполагаться эргодическое свойство: средние по ансамблю реализаций V (X) совпадают со средни­ ми по всему пространству для типичной фиксированной реа­

лизации. Пусть такой реализации Vo(x) соответствует фикси­

рованная функция / 0(Х). Тогда

(/Ml*)= (КМ)"' T^J/Xx)vX x)dx,

где W- область в R3, в пределе занимающая все пространство. В дальнейшем значок (о ) для фиксированной реализации бу­ дет опускаться.

В ряде случаев включения в композите удобно аппрокси­ мировать точечными дефектами (§ 5.14). Поэтому рассмотрим здесь различные условные средние обобщенных функций

Х(х) и Х(хх;х), определенных соотношениями (5.14.12). Итак, пусть X- однородное в пространстве случайное точеч­

ное множество с элементами (/=1,2,...), X - множество

294

ными точками х,,х2,...,хп пространства, Х(лг) и Х (х х,х2,...,

хп;х) - обобщенные функции, сосредоточенные на множест­

вах X и Хгг , Х1Х2хн

JT(x) = X < S (x - £ ), А -(х„хг..... х„;х) =

Здесь <-|х, > - среднее по ансамблю случайного точечного

множества X при условии х, &Х\ <-|х,;х2> - указанное сред­

нее при условии Xj,x2 € X, х, * х2. В общем случае символ

означает среднее при условии x,,x2,...,x m&Х, а точка с запя­ той разделяет переменные, которые не могут принимать оди­ наковые значения.

Множество X в дальнейшем предполагается эргодическим. Стандартный прием, который будет использован для построе­ ния средних типа (6.2.10), (6.2.11), состоит в применении эргодического свойства с последующим осреднением по ансамб­ лю, если это необходимо. Например, исходя из определения (6.2.9) функции Х(х), имеем

295

(Л -(х)) = Km ^ J -£S(x-4,)dx = tim ^ = n\ (6.2.13)

Здесь W- область в R3, в пределе занимающая все прост­ ранство; N- число элементов X, попавших в W, п - числовая концентрация элементов X.

Вычислим двухточечный момент функции X (х). Исполь­

Введем случайный вектор и пусть его плотность

распределения есть gg-(x). Осредним соотношение (6.2.14)

еще раз по ансамблю реализаций X . Указанное среднее от от­ дельных слагаемых в последней сумме имеет вид

296

< ^ (x ,;x )x (x 1)> = lim -^ ^ ^ ( x - x , ) . (6.2.18)

Пусть, например, случайное точечное множество X стати­ стически однородно и изотропно, а корреляция э расположе­ нии элементов X исчезает с увеличением расстояния между

ними. При этом, если |х-х,|—»оо, то

(Х(х1,х )Х (х ,))^ (х (х 1;х))(х{х,)) = (п-)\ (6.2.19)

а функция Т (х -х , )=(п°у2 <Х (х,,х) А^х, )> обладает свойст­ вами (сравни (5.5.7), (5.5.17))

'Р(х) = 'Р(|х|); 'Р ( о =) 0; при |х| — оо. (6.2.20)

Аналогичная функция использовалась в § 5.14 при рассмо­ трении среды со случайным множеством точечных дефектов.

Рассмотрим теперь случай, когда элементы множества X образуют случайную пространственную решетку. Пусть эле­

где т - вектор узла фиксированной в пространстве регуляр­ ной решетки, рт- независимые случайные векторы с нулевы­ ми математическими ожиданиями и одной и той же характе­ ристической функцией f*(k ) (f*(k ) - преобразование Фурье

плотности распределения f (X) вектора рт), Г - случайный вектор, равномерно распределенный во всем пространстве, один и тот же для всех ТП.

Отсюда следует, что характеристическая функция g*mn(k)

случайного вектора £mn = £m- £, = m~n+pm- p nимеет вид

Функция gm„(x), фигурирующая в (6.2.18), для рассматри­ ваемого точечного множества определяется соотношением

297

{2 ж)

(6.2.23) Отсюда и из (6.2.10), (6.2.18) и (6.2.13) следует, что выра­

жение для условного среднего < Х(х,;х)|х, > имеет вид

где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого

т = 0.

Перейдем к построению среднего в числителе (6.2.11). Ис­

W4„4 j,4 t <=iv{kj*i)

=fc!> Z.

4i.tj.4tMk,}*)

Осредним это соотношение еще раз по ансамблю реализа­

Sij (x)gki (х) •Среднее от отдельных слагаемых последней сум­ мы в (6.2.25) имеет вид

(Х (х ,;х)|х,; х2) = S(x - х2) + F(x, х , ,х2) , (6.2.27)

где функция F (X , X,, X2) определяется соотношением

I g(x\~хг -т)

т

Здесь штрих над знаком суммы означает пропуск слагае­ мого т-0 («=0).

При рассмотрении включений конечных размеров анало­ гом средних (6.2.10), (6.2.11) будут следующие средние:

Здесь точки х, и х2 находятся внутри разных включений,

р - объемная концентрация включений. Средние (6.2.30) для стохастических и регулярных множеств областей в пространс­ тве рассматривались в §§ 5.5 и 5.6.

пала точка хя. Характеристические функции (с аргументом х )

299

областей Кл ..хя и Ухл^ обозначим через V(х],х2,...,хп;х) и

F (х,,х2,..., хп;х ). Из этих определений следуют равенства

Если точки х, и х2 могут находиться только в разных включениях, то последнее слагаемое в правой части (6.2.34), очевидно, исчезает. Отсюда следует, что среднее (6.2.31) пред­ ставляется в виде суммы

( F ( X I ; X )|X 1; X 2) = ( F ( X 2; X )|X 1; X 2) + ( F ( X 1, X 2; X |XI ; X 2) .

(Г (х 2;х)|х,;х2) - » 0 , (Г (х1,х2;х)|х1;х2) -> /? 'Р (х - х 1).

(6.2.40) Качественно особенности поведения среднего (6.2.31)

описывает функция

300

являющаяся аналогом представления среднего (6.2.28) в слу­ чае системы точечных дефектов.

§ 6.3. Общая схема построения статистических моментов упругих полей в матричных композитах

Начнем с задачи построения статистических моментов эф­ фективного поля деформаций £*(х). Обозначим через £*(и)(х,,

х2,...,хп) П- точечный момент эффективного поля: среднее от

тензорного произведения е (х 1)® е (х 2)<8)...<8>£(хп) при усло­ вии, что точки хх,х2,...,хя принадлежат области V, занятой

включениями. В частности, математическое ожидание £-*(|)(х) и двухточечный момент £*(2)(х1,х2) эффективного поля - это средние вида

£ * (2 )( * 1 ,*2 ) = ( * ‘ ( * 1 )0 е * ( Х 2 )l^l >^2) •

В этом пункте отраничимся рассмотрением уравнения ну­

левого порядка относительно эффективного поля £ (6.1.8).

Для построения среднего е т(х) осредним обе части (6.1.7) по ансамблю реализаций случайного множества включений при условии х е V

мости поля £ (х) в области Vk от геометрических характерис­

тик последней и свойств к -го включения, представим среднее под интегралом в (6.3.2) в виде следующего произведения: