книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

301

(6.3.3)

где < £*(х')|х';х > - среднее при условии х' eV,x eVx,. Оче­

видно, что это среднее отличается от е*т(х).

Если свойства включений статистически не зависят от их пространственного расположения, то первый сомножитель в правой части (6.3.3) представляется в форме

где ЧР(х,х') - скалярная функция, свойства которой обсужда­ лись в § 6.2. Конкретный вид vF (x ,x ') и более сложных усло­ вных средних функций V (х,х') будет предполагаться извест­ ным.

Для построения второго сомножителя в правой части (6.3.3) (< £*(х')|х';х >) осредним обе части уравнения (6.1.8)

при условии xeV,xleFx и вновь воспользуемся гипотезой Н2.

В результате получим выражения для средних < £*(х)|х > и < £*(х)|х;х, > в следующем виде:

(е (x)|x;x,)=f (x )-jK (x -x ')^ >e(e (xO Ix'ix.XiX^xix'Jlxjx,)^',

302

замыкания этой цепочки приходится вводить дополнительные предположения о статистических свойствах эффективного по­

ля е (х). Простейшим из них является аналог так называемо­ го "квазикристаллического" приближения [199,248]

То есть здесь предполагается, что среднее значение эффектив­ ного поля в точке X совпадает с осреднением £*(х) по ансам­

блю множества неоднородностей при условии, что точка х, находится внутри одного из включений.

Тогда из (6.3.7) и (6.2.36) следует замкнутое уравнение для

математического ожидания эффективного поля ^’^ (х )

уравнением (5.5.12) метода эффективного поля в одночастич­ ном приближении.

Если внешнее поле е (х) отлично от постоянного, то ре­

где Л - псевдодифференциальный оператор, символ которого А*(к) определяется соотношением

Здесь К Т*(А:) - преобразование Фурье функции К т (х ) в (6.3.8). При выводе (6.3.9), (6.3.10) учтено, что (6.3.8) - уравне­ ние в свертках.

Следующее приближение для £*(1)(х) найдем, обрывая це­ почку уравнений для последовательности условных средних

функции е (х) на уравнении (6.2.6) при помощи соотноше­ ния

^ *(x ')| x ';x ,x j = ^*(х')|х';х,) = ф (х ',х ,). (6.3.11)

303

Функция Ф (х,х,) - среднее значение эффективного поля

£*(х) в точке х при условии, что в точке х, GVX имеется вклю­ чение, - описывает парное взаимодействие в системе взаимо­

<Г(Х, >^)|^i >%2

Перейдем теперь к построению второго момента эффекти­ вного поля £-*(2)( х |, х2). Для этого домножим обе части уравне­ ния (6.1.8) на £*(х,) и осредним результат при условии xl,x2eV

*‘(2)(*1.*2) = ® (* (*2)|*2 »■*1 ) ~ (6.3.15)

- Jк (*1 - х ')(р °(х ')£-*(^') ® е { х 2)F(x,; х')|х,, х2 )dx'.

Среднее под интегралом в этом соотношении в силу гипо­

+рР° (е(х') ® е ( х 2)|х', х2;х, )F (X',х,, х2).

Используя теперь предположение, аналогичное (6.3.7), (6.3.11)

304

(г*(дг')® ^(^2)|^',ЛГ2;Х|) = (£*(х')®г*(дС2)|х',Х2) = ^ 2)(х',Х2),

(6.3.17)

из (6.3.15) получим замкнутое уравнение для ^ ^ ( х , ^ )

-J К(х, - х')Р°(у (х,;х')|х, ,x2)c&'f*(2)(xl, х2) -

-J К(х, - х ')Р V (2)(x', х2И * \ *1,*2)<*',

где Ф (х,,х2) - решение уравнения (6.3.13). Путь построения

следующих приближений для ^ ^ (х , ,х2) в рамках предложен­ ного подхода очевиден.

Перейдем теперь к вычислению статистических моментов полей деформаций £"(х) и напряжений о(х) в композитной

среде. Если поле £*(х) является постоянным в каждом из включений, то в силу (6.1.3), (6.1.5) и (6.1.7) выражения для е(х) и <т(х) примут вид

е(х) = £°(х) - | к (х - х ')Р ° (х 'У (x')v(x')cbc', (6.3.19)

о(х) = <т°(х) - J S(x - х’)°а(х')£ (x')v(x')dx'.(6.3.20) Осредним эти соотношения по ансамблю случайного мно­

жества включений и учитывая, что в силу гипотезы Н2

( P ° ( X ) £ ( X ) V ( X ) ) = ( P ° ( X ) V ( X ) ) £ (,)( X ) = P ° £ 0) ( X ) ,

(6.3.21)

будем иметь

(ф с)) = £ ° (х ) - J K ^X - X ' ^ V ^ X '^ X ', (6.3.22)

(о(х )) = a - ° (^ ) - j5 (x - x ')5 ° P V (1)(x')^x'. (6.3.23) Запишем теперь выражение для второго момента поля де­

формаций е(х) в композите через условные моменты эффек­ тивного поля. Исходя из соотношения (6.3.19), запишем:

306

§ 6.4. Оператор эффективных свойств

Введем оператор С*, связывающий математические ожи­ дания тензоров напряжений и деформаций в композитном материале

(о (х )) = (С ’ (*))(х) = JС *(х - *')(«(*'))<&'• (6.4.1)

Исключая тензоры в и <т=С°е° из соотношений (6.3.22), (6.3.23) и учитывая (6.3.9), (6.3.10), получим выражение для символа псевдодифференциального оператора С* (преобразо­ вание Фурье ядра С*(Х)) в (6.4.1) в виде

является нелокальной, поскольку С*- оператор свертки с об­ общенной функцией С*(X), которая имеет сингулярную (про­

порциональную £ (* )) и регулярную составляющие. Исключе­ ние представляет собой случай однородного внешнего поля. В этом случае <е> и <сг> - постоянные тензоры, связанные между собой соотношением, которое следует из (6.4.1)-(6.4.3):

Это выражение для тензора эффективных модулей упруго­ сти композита совпадает с (5.5.23). Соотношения (6.4.1)-(6.4.3) можно рассматривать гак обобщение одночастичного прибли­ жения метода эффективного поля на случай переменного вне­ шнего поля.

Будем считать, что множество включений статистически изотропно (vP(X)='F(|x|)). Введем радиус корреляции / слу­ чайного множества неоднородностей соотношением

308

Всилу (6.4.1) и уравнения равновесия для <сг(х)> поле

<и ( Х ) > удовлетворяет уравнению

Поскольку С*- нелокальный оператор, то (6.4.13) описыва­ ет поле перемещений <и> в некоторой однородной среде, обладающей пространственной дисперсией. Если символ опе­

ратора С*аппроксимировать первыми двумя членами разло­ жения (6.4.9), то (6.4.13) перейдет в дифференциальное урав­ нение относительно вектора < и >

c S I ( Up ) “ ( ^сфХр ^ Х р у р т в ^ у р у ^ c S х 'У т'*2 s ( U у ) = Я р ■

(6.4.14)

Это уравнение по существу совпадает с системой уравне­ ний моментной теории упругости для среды со стесненным вращением [81,207]. Роль параметра с размерностью длины, характерного для моментной теории, играет в данном случае радиус корреляции случайного множества включений / .

Заметим, что в предыдущие соотношения не вошел еще один параметр задачи - характерный размер включения. Это

связано с тем, что локальное внешнее поле £ (X) предполага­ лось постоянным в пределах каждого включения. Зависимость

оператора С*от характерного размера включений можно учесть, реализуя схему метода эффективного поля на основе

уравнения первого порядка для £ {X) (6.1.12). Для простоты рассмотрим скалярный аналог этого уравнения, который воз­ никает при решении задачи осреднения стационарных темпе­ ратурных и электрических полей в композитной среде (см.

§ 2.5). Упрощение связано со снижением на единицу тензор­ ной размерности задачи. Будем считать, что среда и включе­ ния изотропны, а форма включений сферическая. Используя решение задачи для изолированной сферической неоднород­ ности в постоянном (2.5.11) и линейном (2.5.14), (2.5.21) полях

310

мультиполям, сосредоточенным в центрах включений <£. (см. § 1.4). В случае сферических включений найдем (у=4яп3/3 )

Переходя в (6.4.18) к £ -представлению, получим линейное

уравнение относительно £*('\к), решение которого имеет вид

П У * ) = K W ( i k x), К * ( * ) = J К ^ (х )вх(x)eikxdx,

(6.4.22)

где К*(&) - преобразование Фурье К(Х), А*(к) определено в (6.4.3).

Найдем средние значения векторов напряженности и по­ тока поля в композите, заданных соотношениями (6.4.15). Учитывая равенства