1.9.2. Метод контурных токов

С помощью законов Кирхгофа можно рассчитать любую схему. Однако в случае сильно разветвленных цепей приходится решать систему с большим числом уравнений, поэтому естественно стремление найти менее трудоемкие методы расчета цепей. Одним из наиболее распространенных является метод контурных токов. Этот метод позволяет уменьшить общее число m совместно решаемых уравнений на (k – 1) и свести систему к числу m  (k 1) уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.

В основу данного метода положено понятие о контурных токах, под которыми понимают расчетные (условные) токи, замыкающиеся только по своим контурам.

Рис. 9

Рассмотрим, например, схему цепи рис. 9. Разобьем ее на три соприкасающихся контура и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток I_I, I_II и I_{III .}Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым - часовой стрелке, как показано на схеме. Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, направление которых также нанесено на схему, можно установить, что величины контурных токов совпадают с величинами действительных токов только во внешних ветвях:

I_I = I₁, I_II =  I₆, I_III = I₃ (1.19)

Токи же смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:

I₂ = I_II – I_III, I₄ = I_I – I_II, I₅ = I_III – I_I. (1.20)

Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.

Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого из контуров:

для контура I: (r₁ + r₁₀ + r₄ + r₅)I_I – r₄I_II – r₅I_III = E₁ + E₄,

для контура II: (r₂ + r₄ + r₆)I_II – r₄I_I – r₂I_III = E₂ – E₄ , (1.21)

для контура III: (r₂ + r₃ + r₅)I_III – r₅I_I – r₂I_II = E₃ – E₂.

Решая полученную систему уравнений, определим контурные токи, а по ним - действительные токи ветвей.

Методом контурных токов часто используются для доказательства других возможных методов расчета и для анализа цепей в общем виде. В этом случае уравнения, составляемые для контурных токов, записывают в обобщенном виде. Для этого суммарное сопротивление данного контура обозначают двумя нижними индексами, указывающими номер контура, и называют его собственным сопротивлением контура. Так, собственные сопротивления трех контуров схемы равны:

r₁₁ = r₁ + r₁₀ + r₄ + r₅,

r₂₂ = r₂ + r₄ + r₆, (1.22)

r₃₃ = r₂ + r₃ + r₅.

Общие сопротивления смежных контуров рассматривают как коэффициенты при токах и обозначают двумя нижними индексами, указывающими, между какими соседними контурами включено это сопротивление. Так, например, для рассматриваемой схемы

r₁₂ = r₄, r₁₃ = r₅, r₂₃ = r₂ (1.23)

Учитывая эти обозначения, уравнения (1.21) можно переписать в более общем виде:

r₁₁I_I – r₁₂I_II – r₁₃I_III = E_I,

- r₂₁I_I + r₂₂I_II – r₂₃I_III = E_II, (1.24)

- r₃₁I_I – r₃₂I_II + r₃₃I_III = E_III.

Э.д.с. в этих уравнениях:

E₁ = E₁ + E₄, E_II = E₂ – E₄ , E_III= E₃ – E₂. (1.25)

являются контурными э.д.с., величины которых определяют алгебраическим суммированием отдельных э. д. с. ветвей данного контура. При этом э.д.с., совпадающие с направлением контурного тока, суммируют со знаком «плюс».

Уравнения контурных токов обычно решают с использованием определителей или матриц.

ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ ПО ГЛАВЕ 1

ТЕСТ № 1. 1. Закон Ома

Вопросы		Варианты ответа	Выбран вариант
U I	1. При каком условии справедлив приведенный здесь график?	R=const
		R const
	2. Какой график соответствует изменению напряжения U при Е=const, Ro = const?	U I
		U I
		U I
	3. В результате изменения сопротивления нагрузки ток в цепи увеличился. Как это будет влиять на напряжение на зажимах цепи?	Напряжение U будет расти
		Напряжение U будет уменьшаться
		Напряжение U будет неизменным
	4. В каком положении ключа К показания вольтметра будут больше?	В разомкнутом
		В замкнутом
	5. Какая из приведенных формул для определения тока I1 верна?