книги / Термодинамика

16.5. Ввиду важного значения этих со­ отношений они приводятся в таблич­ ном виде для различных значений по­ казателя адиабаты k в руководствах по газодинамике. Широко используют­

Положив в (16.27) р = 0, убеждаемся, что при истечении в абсолютный вакуум приведенная скорость достигает ма­ ксимума

Я*кс = 1/ ■ ( * + ! ) / ( * - 1),

согласующегося, естественно, со значением, которое можно найти по отношению wMaKCfa., где а>ма1(с определяется из формулы (16.12).

Наряду с приведенной скоростью К в качестве безраз­ мерной характеристики потока часто используется отноше­ ние скорости потока к местной скорости звука, называемое числом М. Очевидно, М/Л,=а*/а, причем, как нетрудно убедиться, из этой пропорции следует зависимость

M = i y Ç b / / ' - Е Т Т 1'-

Применение различных масштабов для скорости тече­ ния имеет своим следствием различия не только внешнего вида получаемых соотношений, но и их смысла. При этом числа Х=>ху/а* представляют собой, по сути дела, те же скорости wy только в безразмерном виде, так что зависи­ мость w=:f(p/po) на рис. 16.2 простым изменением масшта­ ба вертикальной оси превращается в зависимость Х= =/(р/Ро). В отношении числа М=w/a так просто посту­ пить нельзя из-за изменяемости знаменателя. Особенно сильно это различие проявляется в предельных условиях при р/ро— *0: здесь величины К и w ограничены уровнями

Ямакс и Домакс, в то время как число М неограниченно воз­ растает. Под этим углом зрения преимущества, создавае­ мые применением постоянного масштаба, очевидны. Вме-

284

Получаем, Принимая бо внимание условие p=const, зави­ симость

Fw=zconst,

Из которой ясно, что Для увеличения скорости течения не­ обходимо площадь проходного сечения канала уменьшить, Для уменьшения скорости — увеличить.

Гораздо сложнее дело обстоит при течении сжимаемой

Такое исследование, рассматриваем общий случай стацио­ нарного течения сжимаемого газа с трением, теплообменом Н производством технической работы. При этом остановим­ ся только на одной стороне вопроса — основных условиях Перехода через критическую скорость. В нашем исследова­ нии не будем выходить за рамки идеально-газового при­ ближения, тем более что распространение анализа на ре­ альные газы не меняет качественных выводов.

При анализе будем исходить из уравнений сплошности (16.31), сохранения энергии (13.5) и сохранения механи­ ческой энергии (Бернулли) (13.7), к которым присоединим Уравнение состояния p v = R Î и формулу di=kRdT/(k—1). Все уравнения будем рассматривать в дифференциальной форме. Таким образом, имеем

dF/F-\-dw/w-\- ф /р = 0 ;

dq= [k/(k— \)\ RdT-\-d(w2/2) -j-d/T; dp/p+d(w2/2) +Л,+<М,р= 0; dp/p=dp/p+dT/T.

Сопоставляя первую, третью и последнюю формулы, находим

RdT+d(w2/2) -Н/т-М /тР= а 2 (dF/F+dw/w) /к.

Далее с помощью второй формулы исключим dT. Вводя число М, после преобразований окончательно получаем

dF/F—dlv/a2— (к—1) dq/a2~ k d U /a 2= (М2—1 ) dw/w.

(16.32)

Каждое из слагаемых левой части (16.32) отражает не­ который специфический способ воздействия на скорость потока, стоящую в правой части уравнения. Если все чле­ ны в левой части, кроме первого, равны нулю и, следова­ тельно, единственным способом воздействия на скорость остается изменение поперечного сечения канала, то получим формулу

Здесь возможны два случая в зависимости от того, ускоряется вниз по потоку движение (dw>0) или замедля­ ется (dw< 0).

Допустим сначала, что движение ускоряется (dw>0). Положим, что начальная скорость мала (М <1). Тогда со­ гласно (16.33) получаем, что dF<0, т. е. вниз по течению канал должен сужаться, что согласуется с представления­ ми гидравлики. Однако если М>1, то из (16.33) следует, что d F > 0, т. е. оказывается, что при сверхзвуковых ско­ ростях для ускорения потока вниз по течению канал дол­ жен расширяться. Этот, на первый взгляд, парадоксальный

скорости.

При переходе от dF< 0 к dF> 0 сечение канала, оче­ видно, имеет минимум. Из уравнения (16.33) видно, что минимальная площадь (dF=0) соответствует М =1. Таким образом, при течении без потерь в наиболее узком месте канала (горле) устанавливаются критические параметры. До критического (минимального) сечения канал сужается

общую касательную, так что в окрестностях горла должно

для воды. Если же начальная скорость является сверхзву­ ковой, то для замедления потока необходимо применить

обеспечения монотонности процесса знак изменения площа­ ди канала необходимо изменить на противоположный. При этом при дозвуковых скоростях потока профилирование трубы качественно отвечает принципам гидравлики, при сверхзвуковых скоростях — противоположно им.

В заключение отметим, что короткую конфузорную тру­ бу с плавным входом принято называть сходящимся или простым соплом. Комбинацию простого сопла с диффузо­ ром называют соплом Лаваля в честь шведского ннжене-

288

ра, впервые применившего такую конструкцию Для Полупи ния сверхзвуковых скоростей при подаче пара на турбин­ ное колесо.

Вернемся снова к уравнению (16.32) и допустим те­ перь, что поперечное сечение канала сохраняется неизмен­ ным (dF=0), внешний теплообмен и трение отсутствуют {dq^dUр=0). Таким образом, в левой части остается только одно слагаемое, представляющее внешнюю работу, и уравнение (16.32) приобретает вид

Отсюда следует, что при М<1 для возрастания скорости (dw>0) необходимо производство потоком работы против внешних сил (d/T> 0 ). Таким образом, если дозвуковой по­ ток производит внешнюю работу, например вращая турби­ ну, встроенную в рассматриваемую цилиндрическую трубу, то скорость потока растет. Одновременно падает его тем­ пература, что видно из записанного для этих условий урав­ нения сохранения энергии

Поскольку температура падает, падает также и скорость звука. Уменьшение скорости звука и одновременный рост скорости потока — оба эти фактора способствуют увеличе­ нию числа М, которое в конце концов достигнет значения М =1. С этого момента знак разности М2—1 изменяется на обратный, и если мы по-прежнему стремимся к ускоре­ нию потока (d w > 0), то, очевидно, знак dlT необходимо изменить на отрицательный. Отрицательная техническая работа (г//т< 0) способствует, например, ситуация, когда встроенный в трубу пропеллер приводится во вращение от постороннего двигателя, создавая некоторую тягу в пото­ ке. Из (16.35) получим wdw= —di—d/T, отсюда видно, что при сверхзвуковых скоростях увеличение кинетической энергии не может обеспечиваться только за счет уменьше­ ния энтальпии, а требует еще дополнительного подвода ме­ ханической энергии извне.

санная картина аналогична тому, что происходит в сопле Лаваля, и если сопло Лаваля называют геометрическим

Ёоплом, tô цилиндрическую трубу, в которой с itoMoüiUô знакопеременной технической работы осуществляется пе­ реход через М =1, можно назвать механическим соплом.

Примем теперь, что dF=dlT=dlvp=0. Это значит, что единственным воздействием на поток газа, движущийся ро цилиндрической трубе постоянного сечения, является внешний теплообмен. В этих условиях из (16.32) получим

откуда видно, что увеличение скорости при дозвуковом ре­ жиме (М2—1<0) требует подвода теплоты к потоку извне (dq>0). Чтобы судить, как при этом изменится число М, необходимо сопоставить относительные изменения скорости потока (dw/w) и скорости звука (da/a). По определению М=w/a, так что

dM./M.=dw/w—da/a=dw/w—0,5 (dT/ T), (16.3?)

где при переходе ко второму равенству использована фор­ мула a2=kRT. Выразим dw/w через df/T . Для этого обра­ тимся к уравнению состояния dT/T=dp/p — dp/p, в кото­ ром в данном случае из уравнений сплошности и Бернулли имеем соответственно dp/p= —dw/w и

Используя эти значения, получаем окончательную фор­

из которой следует, что при малых числах М ускорение по­ тока, происходящее под влиянием подвода теплоты, сопро­

увеличение скорости потока сопровождается уменьшением скорости звука, и, следовательно, число М здесь безуслов­ но растет. Чтобы получить возможность судить о поведе­

нии числа М при его значениях, меньших чем 1 /]Пг, под­ ставим (16.38) в (16.37). Получим

290