книги / Термодинамика

таким образом значению энтальпии смеси и заданному* как правило, давлению в камере смешения определяется полностью конечное состояние. Что касается формулы (*)* то она практического применения не имеет.

13.3. Основные уравнения стационарного течения через турбомашину

В технических приложениях термодинамики открытых: систем рассматриваются два типовых случая. В первом изних имеется в виду турбомашина, во втором — поршневая машина. Другие частные случаи можно, как правило,- ис­ следовать на основе названных двух.

При постановке задач действительные физические про­ цессы схематизируются посредством нескольких упрощаю­ щих предположений, которые, однако, не должны искажать, сути определяющих соотношений. Необходимые оговорки

или проточной части (а не только малой по размерам труб­ ки тока) скорость, давление, температура и все другиепеременные полагаются равномерно распределенными. Кро­ ме того, считается возможным применять уравнения состо­ яния. Это значит, что в пределах очень тонкого дискообраз­ ного элемента среды, выделенного посредством двух близ­ ких поперечных сечений, отклонения переменных от соот­ ветствующих средних значений должны быть чрезвычайнонезначительными. Такая предпосылка заставляет с осто­ рожностью. применять термодинамический анализ, напри­ мер, к газовым течениям, в которых возникают сильные скачки уплотнения или детонационные волны. Разрывные явления подобного рода имеют место только при сверхзву­ ковых скоростях и принадлежат к категории резко нерав­ новесных процессов. Эти явления, как и задачи, для реше­ ния которых одномерное приближение вообще оказывает­ ся недостаточным, рассматриваются в курсах газовой ди­ намики и аэротермодинамики.

Имея в виду схему на рис. 13.4, принимаем, что кон­ трольной поверхностью термодинамической системы слу­ жит внутренняя поверхность машинного корпуса и замы­ кающие ее поперечные сечения впускного 1 и выпускного- 2 трубопроводов. Поскольку корпус машины недеформируем, поток способен производить внешнюю работу только в связи с действием вращающего момента, который поток

Может создаться впечатление, что наличие или отсут­ ствие трения вообще не играет роли в развитии процесса течения. Такое заключение было бы весьма ошибочным. Однако, прежде чем обсуждать этот вопрос, целесообраз­ но обратиться к уравнению энергии, рассматриваемому еще

ис других позиций.

Вгидравлике, т. е. в одномерной трактовке механики капельных жидкостей, широко известно уравнение Бер­ нулли

{Р2— Р\)/р+ (о>22— W2I )/2=0,

представляющее собой специфическую форму закона со­ хранения механической энергии для движущегося эле­ мента.

Применительно к газам плотность р нельзя уже считать постоянной, вследствие чего уравнение следует предста­ вить в дифференциальной форме, с тем чтобы затем его интегрировать, сообразуясь с частными условиями решае­ мой задачи. Заменяя также р на l/v, получаем

vdp+d{w2l2)=0. (13.6)

Вприведенной здесь форме уравнение Бернулли отно­ сится к невязкому и не производящему технической рабо­ ты потоку.

Всоответствии с расширенной областью применения обобщим уравнение Бернулли, пополнив его членами, вы­ ражающими работу трения и техническую работу потока:

Заметим, что слагаемое d(w2/2) определяет количество энергии, которое может быть использовано для получения работы. В связи с этим, представив уравнение (13.7) в ви­ де— ^р = ^ (ад 2/2 ) + 0 /тр+ ^т, замечаем, что величина vdp имеет смысл располагаемой работы. Если уравнение (13.7) вычесть почленно из уравнения энергии (13.5), то получим bq=di—vdp—Ô/TP.

При рассмотрении плоской или пространственной кар­ тины течения в общем случае выясняется, что работа, за­ трачиваемая на преодоление трения, лишь частично пре­ вращается в теплоту, а в остальном вызывает чисто меха­ нический эффект — некоторую перестройку поля скоростей. Однако при более схематизированном одномерном пред­ ставлении течения приходится полагать, что вся эта рабо­ та вызывает численно равное внутреннее тепловыделение /7тр, механический же эффект отсутствует: lTV= qTV. Кроме того, с достаточным основанием можно пренебречь растеч-

кой теплоты трения за пределы контрольного объема, вви­ ду чего взамен работы б/Тр (справа) следует ввести ôqTр (слева) :

здесь ôq представляет собой, как и всегда, количество те­ плоты, подводимой к потоку извне.

Формулы (13.5), (13.7) и (13.8) выражают различные подходы к составлению энергетического баланса. Послед­ няя из них представлена в форме баланса для случая, ког­ да центр массы выделенного дискообразного элемента сре­ ды остается неподвижным. Для разъяснения этого сужде­ ния воспользуемся принципом обращения движения и, остановив мысленно элемент, вообразим, что движутся на­ встречу ограничивающие его стенки. Допустив сначала, что тренйе отсутствует, мы должны будем принять, что силы давления уравновешены относительно центра массы и как следствие применимо первое начало термодинамики в его обычной форме. Спрашивается, что нового в энергетиче­ ском балансе будет отмечено наблюдателем, находящимся внутри неподвижного элемента, если на поверхности со­ прикосновения его со стенками проявится действие трения? (Такая картина соответствует одномерной трактовке за­ дачи.) Разумеется, для преодоления трения к движущимся стенкам следует приложить определенную силу и затратить соответствующую работу. Однако неподвижный наблюда­ тель знать этого не бу^ет, он почувствует только дополни­ тельный приток тепла к элементу, как если бы это тепло

извне теплоты и генерируемой благодаря трению теплоты покрывает согласно первому началу приращение внутрен­ ней энергии элемента и производимую им работу дефор­ мации. Положение здесь совершенно аналогично тому, ко­ торое было описано в начале книги в связи с разъяснени­ ем, как именно термодинамический метод анализа прила­ гается к системам, внутри которых действуют химические источники тепловыделения.

Если теперь обратиться к обобщенному уравнению Бер­ нулли (13.7), то следует его расценивать как чисто меха­ ническое уравнение энергии, составленное для перемеща­ ющегося вниз по течению центра массы выделенного эле­ мента. В уравнении фигурируют все те виды работы не­ уравновешенных относительно центра массы сил, которые обусловливают изменение кинетической энергии элемента.

Что касается уравнения (13.5), то оно выражает пол­

ный энергетический баланс для выделенного элемента в его движении мимо наблюдателя, жестко связанного со стенками. Этот баланс можно рассматривать как резуль­ тат наложения двух эффектов: того, который соответству­ ет остановленному элементу при обращении его движения относительно стенок и, следовательно, в условиях равно­ мерно распределенного давления, и другого, чисто механи­ ческого, соответствующего перемещению центра массы элемента и происходящего, как правило, при изменяющем­ ся вниз по течению давлении.

Таким образом, все обсужденные здесь основные урав­ нения одновременно справедливы, и выбор того или иного должен зависеть исключительно от содержания поставлен­ ной задачи и удобства предстоящего анализа.

Взаключение вернемся к сделанному выше замечанию

окажущейся несущественности трения, если имеется в ви­ ду уравнение (13.5). Как видим, в другие два уравнения энергия трения входит самым непосредственным образом. Это значит, что при фиксированных значениях подведенной извне теплоты и произведенной технической работы сумма приращений энтальпии и кинетической энергии потока дей­

ствительно не зависит от проявления трения, однако эти приращения, взятые в отдельности, существенно связаны с интенсивностью трения: если на одно из этих прираще­ ний трение влияет в одном направлении, то на другое оно влияет в противоположном.

Решение конкретных задач, касающихся роли трения, будет произведено в дальнейшем, причем для этой цели окажется необходимым использовать наряду с соответст­ вующим уравнением энергии еще и уравнение второго на­ чала термодинамики.

Второе начало формулируется непосредственно приме­ нительно к таким частным, но практически важным случа­ ям, когда между сечениями 1 и 2 поток теплоизолирован От окружающей среды. Тогда удельный конвективный ток энтропии, выходящий из контрольного объема, равен (при обратимости процесса) или превышает (при его необрати­

Если теплообмен с внешней средой имеет место, то положение усложняется. В случае обратимости рабочего процесса можно утверждать, что выходящий ток энтропии равен сумме входящего тока и приращения энтропии, вы­ званного внещним теплообменом.. Если считать температур

среды Fw, проходящего через данное сечение в единицу времени, и плотности р. Очевидно, при отсутствии ответв­ ления или присоединения к потоку других потоков величи­ на т* сохраняет постоянное значение по всему тракту, если только процесс является стационарным,

m*=Fwp=Fw/u=const. (13.12)

Это кинематическое уравнение представляет собой частное выражение уравнения неразрывности движения (уравне­ ния сплошности). В гидравлике оно получает более про­ стой вид

V*=Fw=const,

так как удельный объем жидкостей считается существенно постоянным. Эта последняя предпосылка относится не только к капельным жидкостям, но и к газам, если только они движутся достаточно медленно и температура их сла­ бо изменяется.

13.4. Основные уравнения для выпуска рабочей среды из поршневой машины и впуска ее в машину

Рассмотрим поршневую машину, в крышке которой имеется отверстие для выпуска (рис. 13.5,а) или впуска (рис. 13.5,6) рабочей среды. Условимся считать контроль­ ной поверхностью контур, образованный внутренними по­ верхностями цилиндра и поршня. (Часть контрольной по­ верхности, проходящая по отверстию в крышке, показана на рисунках штриховой линией.) Примем далее, что со­ стояние заполняющей цилиндр среды изменяется равно­ весно (обратимо). Эта предпосылка является довольно

сильным упрощением задачи, в особенности при рассмот­ рении впуска, когда значения параметров поступающей среды (они помечены индексом е) и среды, находящейся внутри цилиндра, могут как угодно различаться и, следо­ вательно, вблизи отверстия в крышке заведомо устанавли­ вается неравномерность давления, температуры и других важных для анализа величин. Впрочем, в пользу прини­ маемого упрощения говорит то, что во всем дальнейшем

изложении скорости проникновения среды сквозь отверстие в контрольной поверхности считаются незначительными. Это приводит к дополнительному упрощению, а именно к пренебрежению кинетической энергией выходящей или входящей струи.

Обратимся сначала к задаче о выпуске рабочей среды из цилиндра. В течение элементарного интервала времени к цилиндру подводится теплота dQ, одновременно посред­ ством поршня отдается наружу работа dL=pdV и с выте­ кающей средой выносится конвективный ток энергии idmy где dm — приращение массы рабочего тела в цилиндре (но не абсолютное количество массы, проходящей через отверстие). В данном случае dm — величина отрицатель­ ная. Очевидно, уравнение энергетического баланса должно содержать, с одной стороны, подведенную теплоту, с дру­ гой— произведенную работу, вынесенную конвективным током энергию и приращение внутренней энергии среды, заключенной в цилиндре:

Это же уравнение справедливо и при впуске в цилиндр (здесь dm > 0), если только притекающей среде свойствен­ ны скользящие параметры, в каждый момент совпадающие с соответствующими внутренними параметрами, которые, естественно, могут изменяться в общем случае в зависи­ мости от времени.

При впуске среды в цилиндр практически более инте­ ресным является такой случай, когда давление нагнетае­ мой среды превышает давление в цилиндре, будучи под­ держиваемым на постоянном уровне ре. В этом случае на входе в цилиндр должны быть предусмотрены вентиль, клапан, задвижка или другой регулирующий орган, как схематически показано на рис. 13.5,6. Поскольку внешние воздействия, в том числе теплообмен, в таком устройстве отсутствуют, конвективный ток энергии при прохождении среды через него не изменяется. Поэтому, если перед вен­ тилем энтальпия была ie, то такой же она останется на входе в цилиндр (Вспомним, что кинетической энергией потока решено пренебрегать.) Однако же давление может быть указанным способом снижаемо по произволу так, что­ бы оно не сильно отличалось от мгновенного давления в ци­ линдре, чем будет обеспечиваться достаточная постепен­ ность наполнения. При этом приходится считаться с воз­ можностью любого несоответствия между температурой

нагнетаемой среды и температурой внутри цилиндра. Так, если рабочей средой служит идеальный газ, энтальпия ко­ торого определяется его температурой, то остающемуся не­ изменным непосредственно на входе в цилиндр значению ie соответствует и неизменившаяся температура Те, кото­ рая может сколь угодно отличаться от температуры в ци­ линдре.

Напомним, что процесс, совершающийся при прохож­ дении потока через вентиль или аналогичный регулирую­ щий орган, называется дросселированием; мы уже встре­ чались с ним (см. § 7.6), в дальнейшем излржвнийГон; бу­ дет рассмотрен подробнее. Здесь существенно только то, что при впуске среды, характеризуемой перед вентилем эн­ тальпией ie, приращение внутренней энергии рассчитыва­ ется по формуле

Как было сказано, энергетический баланс стационарно­ го потока, проходящего через турбомашину, целесообразно относить к единице массового расхода рабочей среды, т. е. выражать соответствующие уравнения в удельных величи­ нах. В случае поршневой машины этот прием не подсказы­ вается физической обстановкой и большей частью расчет­ ных преимуществ не дает.

Переход к удельным величинам должен, очевидно, сво­ диться к делению всех членов уравнений (13.13) и (13.14) на массу среды т , которая в данный момент находится в цилиндре и является функцией времени, протекшего от начала процесса. При этом надо учесть, что

dU=udm-\-mdu\ dV=vdm-\-mdu,

но в отличие от этого, поскольку Q не является функцией состояния,

ôQ=m8q.

Твким образом, из уравнения (13.13) получаем

0q-jridm/m=udm/m-{-du-\-pvdm/m-\-pdvi

й так как i=u-\-pv, то

8q=du-\-pdv. (13.15)

Следовательно, для выпуска рабочей среды, а также длН ее впуска, но при скользящих параметрах, совпадаю­

щих с внутренними, справедливо обычное выражение пер­ вого начала, представленное в удельных величинах.

Для впуска при произвольно заданных параметрах на­ гнетаемого потока из (13.14) получаем

ôq^ièdm/m=udmlm-{-du-\-pvdm/rn-{-pdv\

1)То обстоятельство, что в формулах (13.13) и (13.14) произведения idm и iedm суммируются с количеством под­ веденной теплоты, дает некоторым авторам повод тракто­ вать их тоже как теплоту, но на этот раз вносимую прони­ кающей через контрольную поверхность массой. Такая ин­ терпретация порочна. Масса является носителем энергии, но не теплоты.

2)В формулах (13.15) и (13.16) члены pdv определяют не всю удельную внешнюю работу, а только часть ее, обус­ ловленную деформацией среды, заполняющей цилиндр. Действительно, повторяя сделанные только что преобразо­ вания, получаем

8l=SLIm=pdv-\-pvdmlm.

Первый член справа отвечает случаю закрытой системы. Поршень при этом может перемещаться не иначе как из-за изменяемости удельного объема, т. е. благодаря деформа­ ции среды. Однако же если средой является объемно-ус­ тойчивая капельная жидкость (a=const), то перемещение поршня, а следовательно, и внешняя работа, производятся только в результате открытия системы, а описанный порш­ нем объем равен объему соответствующего количества массы, прошедшей сквозь отверстие в оболочке: vdm= = d(vm )= dV В общем случае обе причины перемещения поршня накладываются друг на друга, и для удельной внешней работы получается двухчленное выражение.

Завершая обсуждение основных уравнений, обратимся ко второму началу. Если предположить, что среда, запол­ няющая цилиндр, имеет однородную температуру Г, то приращение энтропии, обязанное внешнему теплообмену, будет 6Q/T. Конвективный ток энтропии при впуске среды со скользящими параметрами, совпадающими с внутрен­ ними (а также при выпуске), определяется величиной sdm. Отсюда итоговое приращение энтропии содержимого

цилиндра

dS=ôQIT+sdm. (13.17)