книги / Термодинамика

ясно, что чем большая часть перепада давления расходу­ ется на преодоление трения, тем меньше возрастает кине­ тическая энергия. Вместе с тем из уравнения (16.1) видно,, что любое изменение кинетической энергии сопровождается соответствующим изменением энтальпии. В полном согла­ сии с этим рассуждением из уравнений (16.1) и (16.2) получим

vdp—di—dlTр,

откуда следует, что чем больше трение, тем меньше при данном перепаде давления перепад энтальпии. В связи с этим естественно назвать КПД процесса отношение дей­

Наряду с КПД в технических расчетах применяют так­ же следующие коэффициенты: £ — коэффициент потерь и Ф — коэффициент скорости, причем

г) однозначно связаны друг с другом, они в равной мере могут служить характеристикой эффективности канала.

На практике расчетные задачи обычно возникают в та­ кой постановке, что заданными можно считать начальные параметры и давление на выходе (точка 0 и давление р на рис. 16.1). При этих граничных условиях реальный про­

найдена из уравнения (16.2), в котором следует положить ditр=0. Тогда уравнение (16.2) упрощается до равенства

d(w\J2) = — vdp.

из которого получаем

(16.9)

• = - j 'vdpPO

Чтобы представить решение в замкнутом виде, необхо­ димо располагать аналитической зависимостью v= f(p)s.

Соответственно возможны два варианта постановки расчета: при k=f(T) и при Æ=const. Формула (16.10) применима в обоих случаях, причем при k=* =f(T) значение k следует брать как некоторое среднее на интервале от 0 до 1' При этом часто используются формулы

k= f (Тср)> где Гср=0,5 (Уо- +Гид), и k=\g(po/p)J\g(vmiJvo).

Первая формула дает некоторую погрешность, поскольку обычно k является нелинейной функцией 7, вторая обес­ печивает точное решение уравнения (16.10). Обратим вни­ мание, что при k ^ l формула (16.10) неприменима. (Си­ туация, когда А ^1, может возникнуть, например, при рас­ чете равновесных изменений состояния влажного пара.)

Если рассматривается истечение, формула (16.10) при­

рис. 16.2, из которого видно, что при уменьшении р в ин­ тервале между р=0,8 и р=0,2 скорость растет почти ли­ нейно; при больших и меньших р возрастание скорости идет быстрее. Интересно заметить, что если конечное дав­

Этот результат можно интерпретировать так, что при истечении в совершенный вакуум в самом крайнем случае можно исчерпать хаотическое молекулярное движение, на­ цело превратив его энергию в кинетическую энергию на­ правленного движения, но не больше. Такое истолкование становится особенно наглядным, если обратиться к случаю идеального газа, для которого в связи с тем, что poVQ= =/?То, формула (16.12) может быть представлена так:

“ 'ид. макс = V 2 k h RTo= V W * >

отсюда непосредственно видно, что максимальная скорость полностью определяется начальной температурой 70, кото-

за внутренних сопротивлений энергия меньше работы, за­ траченной на преодоление этих сопротивлений. Соответст­ вующий процесс можно представить следующим образом: адиабатный поток, преодолевая внутренние сопротивления, совершает работу /тр. При этом теплота qTр, остающаяся в потоке, частично восстанавливает кинетическую энергию, затраченную сначала в количестве, эквивалентном /тр. Ко­

гаемую работу, затраченную На создание кинетической энергии ек и на работу трения в действительном процессе; тОГ'пт — располагаемую работу, затраченную в идеаль­ ном (без трения) процессе на создание той же кинетиче­ ской энергии (вдоль линии 11" соблюдается условие i= =const). Следовательно, разность этих площадей, т. е. площадь фигуры OlqnV'O, представляет собой полную ра­ боту трения. Но часть этой площади, а именно площадь фигуры 01ГО, соответствует интегралу в уравнении (16.14), т. е. определяет работу Трения, идущую на восста­ новление кинетической энергии. И, значит, только площадь l"rqnl" характеризует «чистую» потерю.

Выше было показано, что при адиабатном расширении трение сдерживает возрастание Кинетической энергии. На­ против, при восстановлении Деления посредством адиа­ батного сжатия наличие трения» как в этом нетрудно убе­ диться, построив соответствующий процесс в i, s-диаграмме, вызывает необходимость в больИюм падении кинетической энергии для одинакового повышения давления в обоих — изоэнтропийном и действительном — процессах.

16.2. Критическая скорость и приведенные параметры

Исследование задач термодинамики потока примени­ тельно к вопросу об изменении состояния движущейся сре­ ды приводит к соотношениям, которыми значения искомых переменных определяются через заданные значения пара­ метров начального состояния /?о, Т0, ^о, являющиеся отли­ чительными признаками рассматриваемого частного слу­ чая. Получаемым соотношениям можно придать обобщен­ ный характер, если перейти от абсолютных значений пере­ менных ру T, V к относительным р/ро, Т/Т0, V/VQ, т . е. выра­ зить искомые значения в долях от заданных. В этом слу­ чае известные по условию задачи параметры начального состояния получают смысл характерных масштабов. При­ мером такого рода относительных переменных может слу­ жить уже знакомая нам величина р=р/р0, и мы в состоя­ нии оценить преимущества, создаваемые ее применением.

Значительно сложнее складываются условия в отноше­ нии скорости течения среды, причем возникающие здесь трудности ни в какой мере не связаны с необходимостью учитывать ее начальное значение (которое, кстати говоря, при изучении широкого круга вопросов, относящихся к про­ цессу истечения, а именно им мы будем главным образом заниматься, вообще не вводится в рассмотрение). Суть в том, что для процессов движения среды помимо основной переменной — скорости движения элементов самой среды существенной является и другая величина, также пред­ ставляющая собой скорость, но характеризующая эффект совершенно иной физической природы — скорость распро­ странения малых возмущений (звуковых колебаний). Именно эта величина есть та скорость, с которой распро­ страняется в движущейся среде возмущение (изменение давления), возникшее по тем или иным причинам в неко­ тором месте потока. Скорость распространения звука в данной точке движущейся среды полностью определяет­ ся ее локальными упругими свойствами и, следовательно, изменяется в зависимости от термодинамических парамет­ ров состояния, но совершенно не зависит от скорости тече­ ния и характера процесса.

Таким образом, каждый элемент среды характеризует­ ся двумя значениями скорости: скоростью его собственного движения и локальной скоростью (относительной для дан­ ного движущегося элемента) распространения звука. Эти две абсолютные характеристики могут быть сведены к од­ ной относительной, если построить ее в виде отношения первой из них ко второй. В этом случае масштабом (пере-

менйым) служит Локальная скорость збука. ВозмоЖёй й другой вариант, когда в качестве масштаба выбирается скорость звука в некотором, характерном для процесса со­ стоянии среды. Остановимся на рассматриваемом вопросе подробнее.

Известно (это было установлено еще Лапласом), что скорость распространения малых возмущений (скорость звука) в упругой среде определяется уравнением

где ip=lfv — плотность. Индекс 5 означает, что рассматри­ ваемые малые деформации в данной точке среды сопро­ вождаются адиабатными и изоэнтропийными (так как фа­ ктически /Тр=0) изменениями местных параметров состо­ яния.

Для идеального газа отношение (dp/dv)8 легко нахо­ дится из дифференциального уравнения адиабаты k(dv/v)-\-(dp/p)= 0. В итоге получаем простые формулы

причем с учетом комментариев к формуле (16.10) можно утверждать, что первые два равенства (16.16) справедли­ вы также для перегретого пара.

Согласно третьему равенству (16.16) для идеального газа скорость звука зависит только от температуры и с ее ростом увеличивается. Кроме того, чем меньше относи­ тельная молекулярная масса, тем больше газовая постоян­ ная (см. § 3.2). Поэтому легкие газы характеризуются вы­ сокой скоростью звука, так, при 0°С для воздуха а= =332 м/с, для водорода а=1270 м/с.

Рассматривая давление как некоторую функцию двух параметров, например р=/(и, Т), получаем для реальных

Имея в виду, что звуковые колебания представляют собой изоэнтропический процесс, отнесем это уравнение к про­ цессу s=const. Получающуюся при этом производную (dTldv), найдем по правилу круговой перестановки

(dT/dv)a(d<vlds)T(dsldT)v= — \, или (àT/àvs)e= — (dsJâv)TX X(dTJàs)v, но (dTlàs)v=T/cv и (às/àv)т— {др/дТ) П о с л е подстановки в (*) окончательно получаем

В случае идеального газа полученная зависимость упро­ щается до (16.16), поэтому величина di может быть пред­ ставлена в виде

Подставляя полученный результат в уравнение энергии (16.1), находим

Предыдущие выкладки относятся к идеальному газу, однако дополнительное условие постоянства теплоемкостей

это означает, что вдоль всего потока справедливо условие

■^Y+frZT-f=const. (16.18)

Применим условие (16.18) к сечению канала, где мест­ ная скорость потока совпадает со скоростью звука, т. е. w=a. Как мы убедимся в дальнейшем, в этом состоянии поток обладает особыми, важными для развития процесса свойствами. В связи с этим, выделяя параметры в этом се­ чении, будем именовать их критическими и отмечать ин­ дексом *. Итак, имеем wt = a i, и, следовательно,

Применим теперь условие (16.18) к входному сечению канала (индекс 0) и положим, что рассматривается исте­ чение (о>0= 0). Очевидно, a20=kp0vo, так что в силу урав­ нений (16,18) и (16.19) получим формулу