Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Разность между точным значением измеряемого			параметра r f
и его расчетным значением по	элементам	нулевого	приближения
rj.0) обозначим через
A r f =	rf - rfi0).		(182)

Тогда величинаотклонения A r f , включающего ошибку изме рений и величину Д г, из (182), будет определяться соотношением

				A r f = r f - r f(0) .				(183)
Математическое			ожидание		случайной величины А гу будет
					M { A r f ) = A r f ,			( Ш )
а корреляционная матрица					случайной величины	Д гу	будет равна
корреляционной матрице ошибок измерений.
С учетом обозначений (181) уравнение (180) может быть за
писано	в виде
				П
	A r f		= Z a n		A 4 L ,			(185)
Это	система		N	линейных уравнений относительно			неизвест
ных поправок		А ц ь		.Н о	нам также неизвестны и точные			значения
отклонений		Дгу .		А известны лишь отклонения		А г р	,	искажен

ные ошибками измерений. Будем считать, что оценками поправок

А ц г	будут величины 6<^г .
	Тогда в качестве соотношений, которые можно использовать
для	определения	оценок искомых элементов траектории, необходи
мо использовать		систему линейных уравнений:
		ft

Запишем

где

A r f = Z	а .
i=1	' f l 6 4 l ’

f = 7 , 2 , . . . , А/,

Ь— / , 2 , . . . , / 7 .

эту систему в матричной форме:

	А Т )	м м >
	А Т )	H i
	[Дг]= A r f	H i
	[Дг]= A r f	Ч Г Н г
	А Г 2
		H i

(186)

(187)

Аг„

Н п

а п	O n - -	- o tn
a Z1	а 2 2 - • ■« г п
ГА] =		(188)
Of г	Of 2 •	• • Ofn

••

Oni а иг • - • a Nt\.

Матрица [д] представляет собой таблицу частных производ ных от измеряемых параметров по определяемым элементам.

Выберем зависимости определяемых (искомых) поправок от отклонений A r f в виде линейных функций:

. о,<	II Н О		Ч	,
где
	<*11	olJ2	.	. .	0 4 /м
	<*21	Ыг г	•	•	• 04 2 N

(189)

	*11	* 1 2 ‘ .		- * т
	_			‘ ^ n l t
есть матрица неизвестных коэффициентов.				Их необходимо выбрать
так, чтобы полученные	оценки были		несмещенными и эффективны
ми. А .это означает, что математическое ожидание поправок
должно равняться истинным значениям			этих поправок;
		=		(190)
а дисперсия оценки	должна быть минимальной:
	В	= m in .		(190')

. Использование условия несмещенности опенок

Применив операцию определения математического ожидания к системам уравнений (187) и (189), будем соответственно иметь

[Дг] = й [ д < й ,

( Ш )


[Д ?] = [ < ф г ] ,		(192)
где [Аг] = М \ Ъ г \ , [Д^\| =	матрицы математических ожида-

вий соответственно отклонений измерений и поправок к опреде ляемым элементам.

Подставляя матрицу [Дг] из соотношения (191) в	уравне
ние (192), получим
[Л ?] = Н [ Д ] [ Д ?] .	(193)

Из последнего соотношения получается, что произведение матрицы [oij на матрицу [7\J должно давать единичную матрицу [£] порядка п хп :

И М		= [Я ] »		(19*)
~1	0	0	. .0
0	1	0	. .0
•		* .
_0	0	0	. . . 1_	несме
Таким образом, мы видим,	что		использование условия	несме

щенности оценок привело к получению системы уравнений (194). Это система п х п линейных алгебраических уравнений, содержащая

в качестве неизвестных коэффициенты о и					з	линеаризованной
зависимости		(189) определяемых поправок			6 q L от отклонений
A r f .
Так как		f = J, 2 , . . /У» a	i = / ,	2	,	то число неизвест
ных коэффициентов o tf l равно'			А/х п	• Учитывая, что N =- П , мож
но утверждать, что неизвестных в системе (194) больше, чем
уравнений.
Недостающие ( N ~ n ) x п уравнений для					определения коэффици
ентов	d f i	находим из условия получения минимума дисперсии
оценок	(191).
	Применение условия эффективности				опенок

Применим условие получения эффективных-оценок сначала к одной случайной величине G(fa • На основании системы уравнений (189) уравнение для I -й.случайной величины можно записать в виде суммы

6 Я Г

Ы П

A r f ‘

(195)

f= 1

o q t

через

]JL

Обозначив дисперсию случайной величины

из теоремы о дисперсии суыкы зависимых случайных величин по

лучим

(196)

27,= S

E o i

f=i

il 1ClfLOL^ l <5f 6 o P f ’J

где

6 f , 6 , -

средние квадратические

отклонения случайных

неравно-

Г '

Д г v * P f v

7/j*.i

коэффициент кор

точных величин

Д гг

® о

реляции;

А7 [(Д 7>-Д^.)(Дг,-Д^)|-коРРеляционвый момент тех

же случайных величин.

На практике очень часто встречаются случаи, когда известны

только веса

измерений

rv>р

(197)

r f

6 V

б 0-

где

среднее

квадратическое

отклонение

некоторого фиктив

ного измерения,

имеющего вес Р 0=1>

Будем полагать, что веса измерений известны,

значение

б 0

требуется определить наряду с элементами траектории на основе

обработки измерений.

Если ввести

обозначение

Pfv

(198)

Pf 4>~ V p ? V p ~ i

то дисперсию

-й

случайной величины можно представить в

виде

~ 6 о

)

(199)

где

Я|. =

( 200)

Е Е Otr.ol

l Pf

f = T V = T

f l

Теперь задача состоит в отыскании значений коэффициентов

<xf l 1 ( l= l , 2 , . . . , n ; f = f , 2 , . . . , N ) , обеспечивающих минимум дисперсии

Л 1 ,

при условии, что на эти коэффициенты наложено условие несмещен ности оценок (194).

С этой целью используем неопределенные множители Лагранжа

и составим

функцию Г (о/

а .

)

с учетом условия

(194):

Ф ^ ] И - М ) М

’

( 201)

г д е ] о ^

, jjEjJ , [ a J

матрицы,

являющиеся строками соответ

ственно

введенных

ранее

матриц

[о(]

[£ ]

и матрицы неопреде-|

ленных множителей Лагранжа:

a j2

•

[Л ] =

А2/

а 22 .

•

2 Л

( 202)

^ 11

■*Чг '

•

1п

* ^

пп_

при наличии условия несмещенности оценок

(194),

необходимо

все!

производные функции

по Ы f l

приравнять

нулю. При этом об-

разуется

система

N х п

линейных алгебраических

уравнений,

ко

торая

совместно

с полученными ранее п х п

уравнениями

(194)

об

разует

замкнутую

систему п х ( п +

N )

уравнений с п х ( п + N)

неизвестными

<±п

А f l

функции

Fb по о/

и прирав

Производя

дифференцирование

нивая производную нулю, получим

15,

d R L

( М Й М 1 )

о ,.

(203)

д & f i

d o if i

Выполняя все указанные действия и учитывая, что'зависимоси (203) справедлива для любых сочетаний индексов f и I , можно получить обобщающее равенство, связывающее неизвестные коэффициенты ot и А при условии обеспечения минимума дис персии оценок 6 q t .‘

№ Г - И Р Г	(204)

Рассматривая соотношение (204) совместно с системой (194), получим формулу для вычисления матрицы неопределенных мноките-

- лей Лагранжа

1-7	(205)
й = $ -

Здесь матрица [fQ представляет собой произведение трех мат риц, одна из которых Гр! симметрическая, и, следовательно, имеет место равенство [р]г = [р] • С учетом этого матрица [д] может вычисляться по формуле

И = Й г К Г И >

(206>

где [р]] - матрица коэффициентов корреляции измерений, выражен-' ных через веса измерений:

Рп	Pli •	•	P i n
= h ,	Рп '	’	(207)
			PfN
P n i	РN2 ‘	■P n n

Основная система уравнений

После, подстановки матрицы (205) в соотношение (204) полу чим формулу для определения матрицы коэффициентов линейной функции поправок к определяемым элементам траектории (189):

И = К Г М ГК Г -

<208>

Полученные отсюда коэффициенты d f l обеспечат определе ние несмещенных и эффективных оценок искомых параметров из си стемы уравнений (189), При этом если учесть, что ^ F d q l = ^ q , ,

L 1

~ №	К Г М		ГШ ” 1>?1-		(209)
Формула (209) является решением системы линейных алгебраи
ческих уравнений
	И	М	= М ,		<210>
где [3} - матрица коэффициентов при неизвестных					опре
деляется по формуле (206); [с] = ЭДГ				г ] - одностолбцовая
матрица правых частей.
Система уравнений	(210)	называется		о с н о в н о й . Ре
шая ее, можно вычислить поправки			hq/ l	к элементам	движения ну

левого приближения и исправленные значения элементов траекто рии:

Ч 1 = Я ? ) + Ь Я 1 -

Одвако в связи с теп, что при линеаризации зависимостей измеряемых параметров от определяемых элементов траектории мы ограничились линейным членом разложения в ряд Тэйлора (180), то найденные поправки A q L после первого решения системы (210) могут не обеспечить получения достаточно точных значе


ний исковых элементов траектории		. Для того, чтобы повы
сить точность их определения, необходимо применять			м е т о д
п о с л е д о в а т е л ь н ы х		п р и б л и ж е н и й .		Он
заключается в том, что найденные выше исправленные			значения
элементов траектории	принимаются за первое приближение.

По ним путем решения системы дифференциальных уравнений (Г?6) определяются частные производные от измеряемых параметров по определяемым элементам, а также отклонения опытных измерений от их расчетных значений (Лгу). После этого формируются все матрицы, входящие е систему (210), решая которую, получают

поправки	A q L второго		приближения и т .д .
При этом в s		-м	приближении элементы траектории		опреде
ляются по формуле
			? ? '=	t Д ? Г ; , ■	(211)
				m=j
где ш =	1 , 2 , . . . , s	-	текущий номер приближения.

Приближения выполняются до тех пор, пока не выполнятся условия прекращения итераций. Эти условия можно задавать.двумя способами.

Первый из них заключается в том, что задается совокупность

минимально учитываемых поправок		ег .	Итерации прекращаются
тогда, когда выполняются все условия:
	^ £I ’	Ь — 1/	2 , . . , , / 7 ,	( 2 П ')
Недостатком этого способа является произвол в выборе зна
чений	.

Второй способ задания условий прекращения итераций лишен этого недостатка. Итерации в этом случае прекращаются тогда, когда выполняются условия

	И П	(2 П ,:)
	© (S) и	(2 П ,:)
	© (S) и

		87
где	б д - средняя квадратическая ошибка определения элемен
тов	траектории в s	-м приближении.
	На оценке точности	элементов траектории остановимся несколь

ко позднее.

§12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТРАЕКТОРИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В случае, когда измерения, входящие в выборку r , явля ются независимыми, не содержат систематической погрешности, а случайные их ошибки распределены по нормально^ закону, норми рованная корреляционная матрица имеет вид

	1
	»
	О»
	Г
	1	о .
	»	о .
	60	в* . .
	0	в* . .
\|\|CS	0	*
\|\|CS	II	S o
		S o
	*
	о	0 • •
	1

Как видно, она становится равной матрице, сов измерений:

—I

б*

б |_

обратной матрице ве

И =DT>

где матрица весов независимых измерений

р,	0 . .	0
р,
0	Р г • •	0	(213)
	•	•	(213)
•	. .
о	о *

Матрица коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (210), которую мы обозначим через [ в ] , после подстановки вы ражения (213) в (206) будет вычисляться по формуле

Р Ы аГ Н М , ■

(214)

где	матрица	[р ]	имеет	вид	(213).
	Система уравнений для определения уточняющих поправок в
этом	случае	называется		с и с т е м о й		н о р м а л ь н ы х
у р а в н е н и й			и записывается в виде
			Н М		= Н »	<215)

где одностолбцовая матрица правых частей нормальной системы

уравнений определяется	выражением
И	= й г [ / > № ] .	(216,

Система нормальных уравнений, как известно, может быть по лучена путем непосредственного применения метода наименьших квадратов, который базируется на предположении о независимости и нормальности измерений. Здесь же она получена как частный случай более общего подхода к решению задачи об определении элементов траектории по результатам коррелированных измерений.

Следует заметить, что определение начальных условий для интегрирования дифференциальных уравнений, с целью удовлетво рения результатам достаточных измерений, представляет собой краевую задачу. Поэтому очень часто задачу определения эле ментов траектории по результатам избыточных траекторных изме

рений с использований! уравнений движения ЛА также			называют
к р а е в о й	з а д а ч е й .
Решение системы нормальных уравнений (215) можно записать
в виде
		Й Г ' И ,	(217)
поскольку матрица		[g] - неособенная.

Так как метод наименьших квадратов имеет широкое распро странение, то остановимся на нем более подробно.

Систему нормальных уравнений (215) можно записать в сле дующем виде:

Ьп 4 i + Ьп А Яг + ‘ - - + bu A i l + - -

ьг1А Я, + ьг г А Яг + " + b z i A 4 i + ' ’ bmi А Ч/ + bm z Acl z + '

■+ Ь 1пА Я п = Сг>

+ b Zn L q n = с г ,

> (218)

‘ + Ьт п А Ч п ~

&л , ' Ч + 6 л г ^ 2 +" - • + ьт А Яг+ •’' + Ьпп ^ Я п ~ Сп »_

где коэффициенты		Ьт1		при неизвестных			Aq,t являются		элемен
тами матрицы	И	и вычисляются по формуле
			,	- Т ’	д г f	d r f
				m l ~ h	\ d q m '	dq-1		*	(2I9)
				m = 7, 2 , . . . , n }
				t = 1 , 2 , • • • , n .
Правые части	Cm	,	где m =		1 , 2 , . . . ,		n , являются		элементами
матрицы [с]	:
				f=/	°9)т?				(2 2 0 )
				f=/	°9)т?
Нетрудно видеть,			что матрица [ # ]				симметрична относительно
главной диагонали		и элемент			b t m =	b m t .		Как видно из формул
(219) и (220), формирование матриц [#]							и [с"] можно произво
дить последовательно			по мере поступления					измерений	и вы

числительный процесс на ЭЦВМ может быть организован достаточно рационально.

Основными элементами (блоками) этого вычислительного про цесса являются:

а) определение предварительных значений элементов траекто
рии (элементов нулевого приближения)
б)	определение расчетных значений измеряемых параметров r f
в	соответствии с выборкой их измеренных значений r f ;

в) вычисление частных производных от расчетных значений измеряемых параметров в данном приближении по определяемым эле

ментам	орбиты;
г)	формирование элементов матрицы	[SJ ;
д)	предварительная обработка измерительной информации;
е) определение отклонений расчетных значений измеренных
параметров от их опытных значений;
ж)	формирование элементов матрицы	[ с ] ;
з)	оценка точности определения элементов траектории;
и)	организация итерационного процесса.

Некоторые из перечисленных элементов вычислительного про цесса выполняются достаточно просто на основании материала, изложенного выше.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ