книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений
.pdf20
рис.10 видно, |
что О.А < |
О . А 1 . Поэтому для вычисления |
1). |
||
в формуле (33) |
следует брать перед корнем знак плюс. |
|
|||
2 |
. Летательный аппарат находится в левой внешней зоне, |
||||
когда |
0Z > 90°, в г , > 9 0 ° |
и направляющие косинусы ^ < 0 |
, л .О . |
||
В этом случае 0. А^*0.А . |
Следовательно, |
для вычисления |
D ^ |
||
перед корнем в формуле (33) следует также брать знак плюс/ |
|||||
3 |
. Летательный аппарат находится в правой внешней зоне, |
||||
когда |
0Z.<9O°и 0Z.< 9O \ |
но О^А >0^А |
. Для получения больше |
||
го значения Diy в формуле (33) надо брать знак минус.
Заметим также, что формулы вертикального конуса для определения координат ЛА по измеренным направляющим косинусам не име ют критической плоскости. Однако, как увидим позже, точность
Рис.12. Определение координат ЛА с использованием линии визи рования и базового конуса
определения координат с использованием этих формул не одинако ва на различных участках траектории. Поэтому получим формулы
для другого расположения оси' позиционного конуса. |
|
||
Если в j -й системе известен |
направляющий косинус п . |
, |
|
то ось позиционного конуса будет |
совпадать |
с осью zt- (2^.), |
на |
которой лежит база измерений. Назовем этот |
конус базовым |
|
|
21
(рис.12). Он описывается, |
как известно, следующий уравнение»: |
|
|
Л |
|
х! +hl |
fb=*uL.0. |
(35) |
1 -п г |
п . |
|
</ |
|
|
Выразив х . и у. из (15) через z. и подставив их в (35), по-
лучи» квадратное‘ уравнение относительно неизвестной z. в
L
виде
а г,.2 |
~ 2 b z . |
+с =0 |
(36) |
где |
/ 7 . - / 7 . |
|
|
|
_ 2 |
2 |
|
а |
= J___ L_ |
|
|
|
лс2 |
|
|
Ь = |
|
|
|
с |
= 6 2., |
|
|
|
« ' |
- |
|
После решения этого уравнения, выполнения подстановок и пре
образований, аналогичных тем, которые выполнялись при выводе
формул (32), получим формулы базового конуса для |
определения |
||||
координат по направляющим косинусам: |
|
1 |
|
||
X . |
= D ., |
l . |
, |
|
|
i |
1Н |
L |
» |
|
|
ft = |
m L- |
1 |
> |
(37) |
|
Z. = В ., |
n. |
, |
|
|
|
L |
L1 |
L |
1 |
|
|
где |
Б и |
|
|
|
|
D.t z= |
|
|
|
|
|
/ п - - 1 |
|
' |
(38) |
||
|
|
||||
П1 ~ П*У nz~t |
|
||||
|
|
||||
|
1 |
j |
|
|
|
Правило выбора знака перед корнем в |
последних формулах по |
||||
лучается в результате исследований, подобных тем, которые были
выполнены ранее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I . |
Если Ш |
находится во внутренней зоне (ри с.П б ), |
то |
надо, |
||||||
чтобы формула |
(38) |
давала |
£1А ^ |
0L А |
. А так как направляю- |
|||||
щий косинус п. < 0 |
(так |
как |
_ |
90°), а |
л.L s* 0 |
, |
то |
|||
перед корнем надо брать знак минус |
|
|
|
|
0. А, |
|||||
2. |
Если ЛА |
находится в левой внешней зоне, |
то |
|
||||||
а направляющие косинусы удовлетворяют |
условиям |
п. |
М |
0 |
2 |
|||||
«5 |
И |
|||||||||
nL =a 0 |
. Исходя из |
этого |
в формуле (38) необходимо брать |
знак |
||||||
минус. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
8 . В той случав, когда ЛА находится в правой внешней зоне,
расстояние |
QL А > 0. А |
, |
а так как |
п- |
з*. О |
и |
п. > |
0 |
, то в |
формуле (38) надо брать |
знак минус. |
В |
этой |
случае, |
как |
видно |
|||
ив формул |
(38), также |
нет критической |
плоскости. |
|
|
||||
1Полно было бы еще получить формулы для определения |
коорди |
||||||||
нат, используя позиционный конус с |
осью X j |
. |
Однако, |
как по |
|||||
казывают более подробные исследования, эти формулы не имеют преимуществ в точности перед полученными ранее вариантами фор мул для определения координат по измеренным значениям направ ляющих косинусов.
§2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ПО ИЗМЕРЕННЫМ АЗИМУТАМ
ИУГЛАМ МЕСТА ЛА
Хотя направляющие косинусы и указанные в заголовке углы азимута ( ci. ) и места ( у ) измеряются различными техниче скими средствами, но и в том и в другом случае в качестве по зиционного элеыента выступает линия визирования. Именно поэто му между направляющими косинусами и углами линии визирования существует однозначная простая связь, вытекающая непосредствен
но из |
рис.13. |
|
i=cos0I |
=cosj-cosd, |
|
т= cos 0^ = sin ^ , |
(39) |
|
n=cos0z = c o s j's L n d . |
||
Уравнения позиционных |
||
линий и конусов, |
опре |
|
деляемых углами |
сЛ и |
|
у , |
могут быть запи |
|
саны и решены подобно тому, как это деладось
в |
предыдущем |
параграфе, |
и результате |
получатся |
|
4 |
варианта расчетных |
|
формул для определения координат по углам |
сЛ и ^ |
.Н о значи |
тельно проще такой же результат можно получить,, если в готовые
формулы для определения координат по направляющим косинусам, полученные в предыдущем параграфе, подставить выражения для этих косинусов из соотношений (39).
28
Так, подставив направляющие косинусы из (89) в формулы
(20) |
и (2 1 ),получим |
ф о р м у л ы |
г о р и з о н т а л ь |
||||
н о й |
п р о е к ц и и |
для |
определения координат |
по и з - |
|||
м е р е н в ы м |
у г л а м |
линии |
визирования: |
|
|||
|
|
|
x L = dL r cosdL , |
(40) |
|||
|
|
|
Hi |
= dir Ч 7i |
> |
||
|
|
|
|
||||
где |
|
|
ъГ |
Ч.г Sind. v |
|
||
|
|
|
|
BLJ COSdj |
|
||
|
|
|
d.1Г= |
(41) |
|||
|
|
|
Sin(ci. ~dj) |
||||
|
|
|
|
||||
По геометрическому смыслу величина |
d . r является |
проекцией, |
|||||
наклонной дальности |
О . А ~ И . г |
на горизонтальную плоскость |
|||||
(рис.14). |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.14. Определение координат ЛА по углам двух линий визирова-
>ния
Анализ формул горизонтальной проекции для определения коор динат ЛА по измеренным значениям углов линии визирования d
и j показывает, что для них токе существует критическая плоскость, где эти формулы неприменимы. Так, если ЛА находит ся в базовой вертикальной плоскости, имеет место следующее со отношение между углами о(. и oL. :
1)d L = 270°, d j = 270°, когда ЛА находится в левой
внешней зоне;
2)d . = 90°, d . = 270°, когда ЛА находится во внутрен
ней зоне; L |
* |
24
3) ot. = 90°, d j = 90°, когда ЛА находится в правой внешней зоне.
Во всех трех случаях и числитель и знаменатель формулы (41)
буду® равны нулю, |
и величина d i r по ней(не может быть найдена. |
|
Последнее обусловлено тем, что 0-t А и^-А в |
этом случае слива |
|
ются и не имеют единственной точки пересечения. |
||
Ф о р м у л ы |
в е р т и к а л ь н о й |
п р о е к ц и и |
для определения координат по углам линии визирования получают ся' при подстановке значений направляющих косинусов из соотно
шений (39) в формулы (24) |
и (25): |
|
|
|
|||
|
|
х. |
= of. |
соsd . , |
|
|
|
|
|
s ' i - С |
т - |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
= |
|
t 9 Ь _________ |
|
|
(43) |
■£e |
t n j s i n d r m f i s i n d * |
|
|
|
|||
Критической плоскостью для этих формул является горизон |
|||||||
тальная плоскость, |
при нахождении ЛА в которой |
у. |
= |
у. = 0 . |
|||
Ф о р м у л ы |
|
в е р т и к а л ь н о г о |
оt- |
|
a j |
||
|
к о н у с а |
||||||
для определения координат ЛА по углам линии визирования полу чаются при подстановке выражений для направляющих косинусов
(39)в формулы (32) и (33):
1.= d.a cosd. ,
|
y i |
= |
d i! j 4 l ! i |
> |
’ |
|
(44) |
где |
2.L |
= |
d.cy Sin d |
l. ’ |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d. = |
|
|
B i j co4 i |
|
|
|
|
|
|
/ Sin2У; |
, |
2 |
, |
(45) |
|
4f |
|
|
|||||
сову. slnd. ± y iIHr^-+cos fcsm |
d .-t |
|
|||||
Ф о р м у л ы |
б а з о в о г о |
к о н у с а |
для опре |
||||
деления координат ЛА по углам линий визирования могут быть по
лучены из формул (37) и (38), после подстановки в них выраже ний (39), в следующем виде:
т. = d |
cosd. |
, |
|
||
Z .= |
Ilf., |
Sin d; . |
№ |
||
J |
|||||
i |
i i |
i |
|
||
25
где
d. =
rcos2^ sLn2d.L- l 1
cos^ sLnot. ± COS^. SlnoL
COS2^ S l n Zdlrf. - / '
Формулы вертикального и базового конусов при использовании углов о! и не имеют критических плоскостей, и при их при менении можно пользоваться теми же правилами выбора знака пе ред корнем, что и в соответствующих формулах, полученных при использовании направляющих косинусов.
§ 3. УЧЕТ ОТЛИЧИЙ ФАКТИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ИЗМЕРЕНИЙ ОТ РАСЧЕТНОЙ
Выведенные нами в первых двух параграфах формулы были по лучены для расчетной схемы измерений, показанной на рис.14.
Так как измерительные пунйты обычно размещаются на поверхности Земли, а вертикальные оси измерительных систем координат ориен тируются по местной вертикали, то фактические схемы измерений, как правило отличаются от схемы, принятой нами при выводе фор мул для расчета координат по направляющим косинусам, углам ме ста и азимутам ЛА.
ного определения координат, необходимо учесть кривизну Земли
Рис.15. Отличия фактической схемы измерений от расчетной
26
и разяоориентированность осей местных измерительных систем.
Для этого |
рассмотрим две |
измерительные |
системы |
L -ую и |
J |
-ую |
||||||||||
на сферической Земле (рис.15). Вертикальные оси этих систем |
||||||||||||||||
у. |
и у ■ совпадают с |
направлениями радиусов-векторов, |
прове |
|||||||||||||
денных из |
центра Земли |
0 |
в |
точки |
0- |
и Oj |
. Пусть |
ось |
ъ. |
|||||||
составляет |
с |
базовой вертикальной плоскостью 0 0 . |
0. |
угол |
р . , |
|||||||||||
а ось |
г • |
- |
угол |
p j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для того, чтобы прийти к расчетной схеме измерений, приня |
|||||||||||||||
той |
ранее |
при выводе формул, |
необходимо для каждой местной |
си |
||||||||||||
стемы ( x L |
|
?■ |
и X j Jjj |
Z. ) |
выполнить по два поворота. |
Так |
||||||||||
как эти повороты для обеих систем выполняются одинаково, то |
||||||||||||||||
дальнейшие |
выкладки приведем |
только |
для |
L -й |
системы. |
|
|
|||||||||
|
П е р в ы й |
п о в о р о т |
выполним вокруг, оси |
у . |
на |
|||||||||||
угол |
р. |
до |
совмещения |
оси z. |
с базовой вертикальной плос |
|||||||||||
костью. Новое положение осей |
L -й системы (рис.16) обозначим |
|||||||||||||||
теми же буквами, |
но со |
штрихами. |
При этом ось |
х . |
станет |
пер |
||||||||||
пендикулярной вертикальной базовой |
плоскости. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Рис.16. Изменение углов линии визирования при первом повороте
|
системы координат |
|||
Пусть в |
i -й исходной системе измеренные значения угловых |
|||
координат ЛА |
были равны d . |
и |
Ус- |
После поворота значения |
азимута о(. |
и ,И |
|
||
и угла места |
у. могут быть вычислены по формулам• |
|||
|
|
—/ |
= 61. - |
В. . |
|
|
dI.• |
||
|
|
1 |
L |
Г1 > |
( Щ
f i = Ус
27
Но после первого поворота ось |
ъ . |
хотя |
и находится в |
верти |
|||||
кальной плоскости, |
но с базой измерений |
0. |
0 . |
составляет |
угол |
||||
6. (рис.16). |
|
|
|
L |
* |
|
|
|
|
В т о р о й |
п о в о р о т |
|
выполним вокруг оси |
? £. |
на |
||||
угол |
Ь. до совмещения оси z ! |
с базой измерений 0 . 0 . |
(рис.17) |
||||||
Оси в |
новом положении обозначим через ^ |
, |
у. |
, Z- |
. Они |
||||
направлены относительно базы измерений точно |
так ае, |
как |
и |
||||||
в расчетной схеме |
измерений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.17. изменение углов линии визирования при втором повороте системы координат
Чтобы получить |
расчетные формулы для углов d . и у. |
, |
про |
|||
ведем из точки |
0. |
сферу радиусом |
I I . |
= 0. А . Точки L |
, |
И |
и N . являются |
точками пересечения |
этой |
сферы с координатными |
|||
осями до выполнения второго поворота. После второго поворота
на угол |
&. |
точка |
И |
переместится |
вместе с осью у^ в |
точку |
И , a |
L - |
в точку |
L |
. Тогда для |
определение углов d- |
и % |
можно рассмотреть сферический треугольник А М М (рис.18).
28
Из него по теореме косинусов можно записать, что
sinj-. =sinf. cosfi.-t-cosy, slnS-slnd^ . |
(49) |
M
Рис.18, Связь между измеренными и расчетными значениями углов линии визирования
А по теореме синусов из того же треугольника можно установить, что
|
|
|
|
|
|
|
~i |
cosy! |
• |
|
(50) |
||
|
|
|
|
cp sd . = cos'd. |
|
|
|
||||||
Эти формулы совместно с формулами |
(48) позволяют |
по углам |
|||||||||||
ЛА, полученным в измерительной системе ( о (. |
, ^ |
), |
вычислить |
||||||||||
углы места |
( у, |
) и азимута ( oL |
) |
в |
расчетной |
системе коор |
|||||||
динат. Такие же формулы получаются для углов |
оГ |
и ^ |
■ . |
||||||||||
Если известны геоцентрические координаты измерительных |
|||||||||||||
пунктов ф |
. , |
Л . и |
ф„. , |
Л .. |
и азимуты осей |
Z . и Z . по от- |
|||||||
ношению к |
северному направлению меридиана А~. и Ag |
(рис.19), |
|||||||||||
то формулы для углов |
в. |
, |
В- |
и |
8 . |
, |
S. |
могут быть записа- |
|||||
ны в виде |
|
|
|
* t |
|
'о |
|
|
|
d.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В. = А. - А~ |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
re |
i |
|
г- |
’ |
|
|
(51) |
|
|
|
|
|
|
а. = |
А . - А- |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Ъ |
4 |
|
г. |
|
|
|
|
|
Углы А. |
и |
А^. |
определяются по формулам |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
sin А. = собФ . |
S'L.n ^ |
, |
|
(52) |
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
Тoj |
sm Ц) |
> |
|
|
||
29
sin A. = cosiI)„. |
SLnAA |
(53) |
|
rf |
тOl |
sintf ’ |
|
где cosif = sintpo£sin^ 0 - +cosipQ. cosijJ^.cos AA ,
c.L (54)
Рис.19. К расчету углов поворота местных систем измерительных пунктов
Если размеры измерительной базы превышают 150 километров или требуемая точность расчета координат по формулам, получен ным в первых параграфах, весьма высока, то учет кривизны по верхности Земли необходимо выполнять на эллипсоиде вращения.
В заключение заметим, что пересчет направляющих косинусов из измерительной системы в расчетную можно выполнить таким хе методой, как и пересчет углов. Однако такого же результата мож но достигнуть, если в формулы связи углов и косинусов (39) под
ставить выражения углов d и |
% |
через |
d |
и |
у |
. А после это |
|
го перейти с помощью тех же формул связи (39) |
к измеренным зна |
||||||
чениям направляющих косинусов |
Г , |
, |
л. и |
I |
. , |
/Л,- , Л'j . |
|
Для примера выразим направляющий косинус |
|
т . |
через |
направ |
|||
ляющие косинусы в измерительной системе |
I . |
, |
т. |
, п . . |
Из |
||
формул связи получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
т .= sin у . . |
|
|
|
|
|
||
|
I |
о L |
|
|
|
|
|